一般三棱鏡偏向角與入射角的關系

王夢影,顧菊觀,徐海斌,曹炳松,俞軼帆

(湖州師范學院 理學院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

在《光學》[1]和《光學實驗》教材[2]中,對三棱鏡的討論都是針對等邊三棱鏡及其在空氣中偏向角、最小偏向角與入射角的關系.在實驗和教學過程中,教師和學生很難從理論上解釋偏向角與入射角的關系曲線,也很難從光線傳播軌跡上進行分析.文獻[3]研究了空氣中等邊三棱鏡入射角、棱鏡頂角、折射率的變化對偏向角的影響.文獻[4]討論了空氣中等邊三棱鏡偏向角與入射角、棱鏡折射率的關系,以及最小偏向角與頂角、折射率的關系.文獻[5]探討了空氣中等邊三棱鏡偏向角與入射角的關系,并得到其最小入射角.文獻[6]研究了空氣中等邊三棱鏡偏向角與入射角的關系,以及最小入射角與棱鏡頂角、折射率的關系.文獻[7]討論了空氣中等邊三棱鏡偏向角與入射角的關系,得到測量偏向角需要考慮棱鏡頂角、折射率、入射角和入射點等因素.文獻[8]通過推導得到了一般三棱鏡的最小入射角、最大頂角和折射率要求.文獻[9]討論了影響棱鏡頂角和最小偏向角測量的因素.文獻[10]和[11]分析討論了空氣中三棱鏡折射率、入射角的測量方法,以及測量中的入射點問題.以上教材和文獻都沒有對曲線的各部分進行理論分析和光路模擬分析,也沒有對一般三棱鏡的具體情況進行分析討論.本文應用幾何光學原理,得到在頂角、兩側折射率和自身折射率不同的情況下,一般三棱鏡偏向角和最小偏向角的理論公式,并運用Matlab研究偏向角與入射角的關系曲線,以及運用TracePro模擬光線傳播分析討論關系曲線和光線軌跡,觀察入射角、頂角和折射率變化對出射光線出射的影響.

1 理論分析

1.1 偏向角與入射角、出射角、頂角的關系

一般三棱鏡的光路示意圖見圖1.A、B、C為三棱鏡的三個角,A為頂角,B、C為底角.i1為AB面的入射角,r1為AB面入射角i1對應的折射角,O點為AB面的入射點.r2為AC面的入射角,i2為AC面入射角r2對應的出射角,E點為AC面上的入射點.θ為出射光線與入射光線的夾角,即偏向角.α為AB面法線與AC面法線的夾角,兩法線交點為F點.n2為三棱鏡的折射率,n1、n3分別為棱鏡兩側的折射率.

圖1 一般三棱鏡的光路示意圖

由圖1和幾何關系得:

r1+r2=A.

(1)

偏向角θ為AB面的入射光線經AB面折射和AC面折射對應的出射光線,以銳角逆時針轉至入射光線延長線所對應的夾角,且為正值[1-11].偏向角θ與入射角、出射角、頂角的關系為:

θ=(i1-r1)+(i2-r2)=i1+i2-(r1+r2)=i1+i2-A.

(2)

由此可得,偏向角θ與B、C角沒有關系,而與入射角、出射角和頂角有關.該結果與空氣中等邊三棱鏡的研究結果[1,3,5-7]一致.

1.2 偏向角與入射角、頂角的關系

由式(1)、式(2)和折射定律式(3):

(3)

化簡得:

(4)

將式(4)代入式(2),得偏向角與入射角、頂角的關系:

(5)

式(5)表明了一般三棱鏡的偏向角θ與入射角i1、頂角A,以及折射率n1、n2、n3的關系,說明偏向角θ與折射率n1、n2、n3是有關系的,測量偏向角時需要選擇合適的入射角、頂角和折射率.

1.3 最小入射角與最大頂角的關系

文獻[8]通過討論得到了最小入射角i1min、最大頂角Amax和折射率要求,即:

ICP-OES法同時測定煅爐甘石中氧化鋅及13種金屬元素雜質的含量 ……………………………………… 謝 凱等（16）：2179

(6)

(7)

折射率要求:

n1n3.

(8)

式(6)指在給定折射率和棱鏡頂角時,當AC面產生全反射時AB面對應的最小入射角i1min,即若要在AC面觀察到折射光線(出射光線),則對應AB面的入射角應大于最小入射角i1min.式(7)指在給定折射率時,若要在AC面觀察到折射光線(出射光線),則對應的棱鏡頂角必須小于最大棱鏡頂角Amax.式(8)指在AC面觀察到折射光線(出射光線)且偏向角為銳角正值的情況下,對應的折射率關系為棱鏡的折射率必須大于兩側的折射率.

1.4 最小偏向角與入射角的關系

對式(2)兩端的i1進行求導,得:

(9)

(10)

對式(1)求微分,得:

dr1+dr2=0.

(11)

對式(3)求微分并化簡,將式(10)和式(11)代入式(3),得:

(12)

將式(12)平方后,得:

(13)

(14)

將式(3)平方后,代入式(14)化簡,得:

(15)

當n1=n3=1時,式(14)可化簡為sini1=sini2,則i1=i2,與空氣中等邊三棱鏡最小偏向角的條件[1-2,6-7,10-11]相同.

由式(15)可得:

(16)

將式(16)代入式(2),得到最小偏向角:

(17)

式(17)中的θmin是滿足一定入射角[式(16)出射角對應的入射角]時對應的最小偏向角.式(17)說明最小偏向角θmin與三棱鏡的底角B、C無關,而與入射角i1、頂角A,以及棱鏡的折射率n2、兩側的折射率n1、n3有關.

2 偏向角與入射角的關系曲線和模擬光路

當給定棱鏡折射率、兩側折射率和棱鏡頂角時,偏向角θ與入射角i1的關系由式(5)確定.但要考慮對應的最小入射角i1min和棱鏡最大頂角Amax[4-8],才能直觀正確地得到關系曲線,才能在AC面觀察到出射光線.由式(6)可得到給定棱鏡的最小入射角i1min,由式(7)可得到給定棱鏡的最大頂角Amax.

2.1 n1=1,n2=1.647 5,n3=1,A=60°,Amax=74.743 0°

圖2中偏向角與入射角的關系曲線與文獻[3-6]中的關系曲線相似,其中直線部分對應的是AC面發生全反射的情況.圖3、圖4中的D點是指棱鏡內的折射光線(粗的黑線)剛好入射到棱鏡的C點所對應的入射點.D點和BD區間內的入射光線經BC面反射,再經AC面折射,在AC面觀察到出射光線,此時偏向角不是文獻[1-5,7-8,11]及本文所定義的偏向角;D點和BD之間的區域大小與入射角、折射率、頂角有關,關于D點位置和BD之間區域大小的研究將另文探討.這就要求在實驗和教學過程中,要注意入射角i1應大于最小的入射角i1min,且入射點在AD之內(圖4、圖5)時,才能在AC面能觀察到出射光線,且偏向角θ為文獻[1-5,7-8,11]和本文所定義的偏向角θ.由圖2可知,當入射角i1大于最小入射角i1min時,偏向角θ隨入射角i1的增大而非線性地減少;當入射角i1滿足式(15)的條件時,偏向角θ達到最小值θmin;當入射角i1繼續增大時,偏向角θ也隨之非線性地增大.

注:空氣中的等邊三棱鏡,A=60°,n2=1.647 5.圖2 偏向角θ與入射角i1的關系曲線

注:在空氣中,入射角i1=30°.圖3 等邊三棱鏡的光路軌跡示意圖

注:在空氣中,入射角i1=50°.圖4 等邊三棱鏡的光路軌跡示意圖

注:在空氣中,入射角i1=60°.圖5 三棱鏡的光路軌跡示意圖

圖2中的直線部分因在AC面發生全反射,故出射光線從BC面出射(圖6).對應的偏向角θ是虛數,取實部為:

圖6 全反射對應的偏向角光路示意圖

(18)

實際上,此時的偏向角θ對應圖6中的FH線與入射光線EH線的夾角.由圖6可得:

(19)

式(18)的Matlab計算結果與式(19)一致.由式(19)可知,對給定的棱鏡頂角A,此時的偏向角θ與入射角i1有關,且為線性關系,并對應于圖2的直線部分.式(19)的理論分析與關系曲線相符.以下的偏向角θ與入射角i1的關系曲線(圖6中的直線部分)分析都與此相同.

2.2 n1=1,n2=1.647 5,n3=1,A=74°,Amax=74.743 0°

圖7為當棱鏡頂角接近頂角最大值Amax時,偏向角θ與入射角i1的關系曲線.由圖7可知,只要棱鏡不大于最大頂角Amax,就一定會存在偏向角θ隨入射角i1由大逐漸減小至最小,再逐漸增大的變化過程,同時存在最小入射角i1min和最小偏向角θmin.

注:空氣中的一般三棱鏡,A=74°,n2=1.647 5.圖7 偏向角θ與入射角i1的關系曲線

2.3 n1=1,n2=1.647 5,n3=1,A=3°,Amax=74.743 0°

圖8為當棱鏡頂角很小、入射角很小(i1<5°)時,偏向角θ與入射角i1的關系曲線.由圖8可知,當入射角i1較小時,偏向角基本不變.由θ=(n2-1)A=(1.647 5-1)×3=1.942 5°,θmin=1.943 5°可得,偏向角θ和最小偏向角θmin基本相等,這與理論分析和文獻[2,6]一致.同時,當棱鏡頂角很小時,不存在全反射情況,偏向角θ與入射角i1的關系曲線沒有出現直線部分.

注:空氣中的一般三棱鏡,A=3°,n2=1.647 5.圖8 偏向角θ與入射角i1的關系曲線

2.4 n1=1,n2=1.647 5,n3=1,A=80°,Amax=74.743 0°

圖9為當棱鏡頂角A大于棱鏡最大頂角Amax=74.743 0°時,偏向角θ與入射角i1的線性關系曲線,其滿足式(19).圖10和圖11說明,棱鏡頂角A不能大于折射率給定情況下的棱鏡最大頂角Amax,否則無論入射角θ為多大,出射光線都不能從AC面出射,對應偏向角θ也不是文獻[1-5,7-8,11]定義的偏向角θ.

注:空氣中的一般三棱鏡,A=80°,n2=1.647 5.圖9 偏向角θ與入射角i1的關系曲線

注:在空氣中,入射角i1=30°.圖10 三棱鏡的光路軌跡示意圖

注:在空氣中,入射角i1=70°.圖11 三棱鏡的光路軌跡示意圖

2.5 n1=1.333 0,n2=1.647 5,n3=1,Amax=91.380 0°

圖12和圖13為當棱鏡兩側折射率不同時,對應棱鏡頂角A為60°和91°時,偏向角θ與入射角i1的關系曲線.該關系曲線與圖2相似,也存在最小入射角i1min和最小偏向角θmin.當棱鏡頂角大于Amax=91.380 0°時,同樣不存在文獻[1-5,7-8,11]定義的偏向角θ.

注:左側在水中,A=60°,n2=1.647 5.圖12 偏向角θ與入射角i1的關系曲線

注:左側在水中,A=91°,n2=1.647 5.圖13 偏向角θ與入射角i1的關系曲線

當棱鏡頂角A=91°時,由圖13可知,入射角i1應大于84.306 9°,這樣才能從AC面觀察到出射光線,否則不能從AC面觀察到出射光線.

圖14對應的是入射角i1=82°,從模擬光路看出光不能從AC面出射;圖15對應的是入射角i1=85°,從模擬光路看出光能從AC面出射.這與理論分析和Matlab曲線、TracePro模擬光路分析一致.

注:左側在水中,入射角i1=82°.圖14 三棱鏡的光路軌跡示意圖

注:左側在水中,入射角i1=85°.圖15 三棱鏡的光路軌跡示意圖

3 結 論

本研究表明,對給定的棱鏡頂角、棱鏡折射率,在滿足一定條件下,一般三棱鏡的偏向角與入射角的關系曲線和空氣中的關系曲線相似.通過模擬光路可直觀地觀察到光線的傳播軌跡,且很容易判斷和理解光是否直接從AC面折射出射,或經過其他方式從AC面出射,或從BC面出射的情況.理論分析、Matlab關系曲線和TracePro模擬光路分析表明,當入射角小于一定角度時,從AC面觀察不到出射光線,對應的偏向角不是文獻[1-5,7-8,11]定義的偏向角;最小入射角隨頂角和折射率的改變而改變.本文理論和模擬分析了關系曲線直線部分的原因,得到入射點D也會影響出射光線.曲線和理論分析表明,最小偏向角隨頂角和折射率的改變而改變,且當頂角小于5°時,其偏向角在入射角較小時基本不變.該研究結果對實驗、教學及研究過程中如何選擇棱鏡頂角、棱鏡兩側折射率及AB面上的入射角具有很好的參考價值和指導作用.