交叉熵蒙特卡洛法在含風電場電力系統小擾動穩定性評估中的應用

蔣 慧

(淮南聯合大學 智能制造學院, 安徽 淮南 232038)

0 引 言

風電作為最具有開發潛力的可再生能源在世界范圍內迅速發展。根據全球風能理事會《2022年全球風能報告》發布的數據,2021年,全球新增風電裝機容量93.6 GW,累計風電裝機容量達837 GW,同比增長12%。2021年,中國風電新增并網裝機容量47.57 GW,占全球當年新增裝機容量的50.91%。截至2022年底,中國風電累計裝機容量395.6 GW,占全球風電總裝機容量三分之一以上。隨著風電場裝機規模的不斷增加,產生的風功率波動致使風電輸出功率不穩定,甚至造成風力發電機組脫網,特別是隨著滲透率的不斷提升,風電功率隨機性和波動性被視為隨機擾動注入電網,從而對電網的穩定性產生影響[1-2]。

電力系統小擾動穩定性分析方法主要包括確定分析法和概率法兩類,目前多采用概率分析方法[2-4],隨機理論中的隨機響應面法、點估計法、蒙特卡洛法相繼被應用于分析隨機電力系統的隨機小擾動穩定性問題[5-9]。文獻[5]考慮風速相關性的風電場群模型,運用隨機響應面法分析了系統的小擾動穩定性。文獻[6]將風速作為威布爾分布的隨機變量,基于2m+1點估計法和Cornish Fisher展開法,采用正交變換技術處理風電場之間的相關性,提出一種對具有相關風源的電力系統進行小信號穩定性分析的概率方法。其中,由于蒙特卡洛仿真(Monte Carlo Simulation, MCS)對系統輸入概率函數模型無特殊要求,且收斂性與系統維數無關,所以被廣泛應用。文獻[7]將系統的發電方式、負荷水平和網絡拓撲的不確定性作為隨機擾動,基于蒙特卡洛狀態抽樣方法,通過分析系統特征參數的概率特性和失穩概率研究了電力系統小擾動概率穩定問題。文獻[8]針對小擾動穩定概率評估問題,利用特征值分析法結合蒙特卡洛模擬法對系統進行評估。通過建立負荷水平和網絡拓撲隨機變量的概率模型和小干擾穩定概率指標,對新英格蘭系統進行了評估。但是傳統的蒙特卡洛算法在計算精度和計算時間兩個方面存在矛盾,為了克服這一矛盾,常采用分層抽樣法、重要抽樣法、等分散抽樣法、拉丁超立方抽樣法等減方差技術提高收斂速度和仿真效率[9]。其中,重要抽樣法最為常用,基于交叉熵的蒙特卡洛法(Cross Entropy Monte Carlo Simulation, CEMCS)作為一種高效的重要抽樣法,可以克服傳統蒙特卡洛法對稀有時間的不敏感問題,引入到電力系統可靠性分析中,有效地克服了傳統蒙特卡洛仿真收斂滿的缺點[10-11]。文獻[10]提出一種基于交叉熵的蒙特卡洛法,并將其應用于發電系統充裕度評估中,使用重要抽樣密度函數,通過求解最優問題獲得該函數的最優參數,從而提高傳統蒙特卡洛法的抽樣效率。文獻[11]提出一種計及多狀態離散型和連續型隨機變量的蒙特卡洛擴展交叉熵法,融合預抽樣階段和最優抽樣階段的樣本信息得到綜合可靠性指標,進一步提升了電網可靠性評估擴展交叉熵法的計算效率。

文中將風電功率波動和負荷變化作為隨機小擾動源,構建基于特征值的小擾動穩定性概率指標,通過交叉熵非序貫蒙特卡洛法對系統小擾動穩定性進行仿真。

1 小擾動穩定性概率指標

小擾動穩定分析即在系統穩定運行點時受到隨機小干擾后的系統穩定性。

綜合文獻[3-8,12]對基于特征值的小擾動穩定性進行論述。

設電力系統描述一階微分-代數方程組為

(1)

式中:x----系統狀態向量;

u----系統輸入向量;

y----系統輸出向量。

在穩定運行點(x0,y0)處對上式進行線性化可得

(2)

當零輸入狀態時,式(2)變換為

(3)

其特征方程為

|λI-A|=0。

(4)

特征方程的每個解為共軛復數

λi=σi±jωi,

(5)

式中:σi----特征值的實部,反映了阻尼振蕩模式;

ωi----振蕩頻率,ωi=2πfi。

由于阻尼比與特征值存在以下關系,

(6)

可知阻尼比和特征值的實部互為異號,根據李雅普諾夫穩定性第一定理可知,狀態矩陣A的特征值有負實部,則系統小擾動穩定性,同時,在電力系統中,阻尼比反應的是系統振蕩模式,綜合兩個參數的關系以及系統穩定狀態見表1。

表1 小擾動穩定性對照表

由表1可知,阻尼比小于零為系統小擾動失穩的條件,即小擾動失穩指數(Index of Small Signal Instability, ISSI)為

(7)

式中:f(ξ)----阻尼比ξ的概率密度函數。

當ISSI>0時,系統不穩定。

實際情況下,只有當ξ>0.03時,才能保證系統具有足夠的低頻振蕩穩定性,所以,當ξ∈(0,0.03)時,屬于弱阻尼振蕩模式,存在不穩定風險,確定不穩定風險指標,

(8)

當IR>0時,存在不穩定風險。

2 交叉熵非序貫蒙特卡洛算法

2.1 非序貫蒙特卡洛法

非序貫蒙特卡洛法是一種大量隨機試驗法,在電力系統穩定性分析應用中,非序貫蒙特卡洛法不考慮故障時間和維修時間,主要采用按照某種概率密度函數隨機抽樣系統各元件的狀態,繼而組合成系統的狀態,通過系統分析和穩定性判定[7-8]。

設變量x的期望值μ=E(x),x按照某種概率密度分布函數隨機抽樣獲得互相獨立的樣本空間為x=(x1,x2,…,xN),計算平均值為

(9)

根據大數定律可知

(10)

(11)

由中心極限定律可知,隨著樣本數N的增加,樣本均值的概率分布趨于正態分布N(μ,δ2),即樣本均值在期望值附近的概率最大。則樣本均值方差為

(12)

定義方差系數β作為收斂精度和條件為

(13)

2.2 交叉熵算法

在大多數情況下,小擾動穩定指標ISSI=P{ξ<0}屬于稀有事件的概率,采用傳統非序貫蒙特卡洛算法進行無偏估計需要大量樣本才能獲得足夠的計算精度。

交叉熵法作為重要抽樣法的一種,其核心是構造一個重要抽樣概率密度函數g(x)代替原概率密度函數f(x),計算均值與期望值的距離,以交叉熵距離最小為收斂依據,表示g(x)與最優gopt(x)越相似,g(x)具體構造過程如下[9-11]：

理論上,系統失穩指標的期望值為

(14)

式中:f(x;α)----隨機抽樣概率密度函數;

L(x)----狀態變量x對應的系統失穩測度函數,滿足以下關系:

(15)

構造的重要抽樣密度分布函數g(x;ν)需滿足,

Eg[L(x)W(x;α,ν)],

(16)

則式(16)的無偏估計為

(17)

式中:xi----通過概率密度函數g(x;ν)隨機抽取的獨立同分布樣本。

(18)

然而,實際值l是未知量,無法直接得到最優重要抽樣密度函數,因此在尋優階段,通過迭代減小待更新的重要抽樣概率密度函數g(x;ν)和理論上最優的重要抽樣概率密度函數gopt(x;ν)的交叉熵來尋找到近似最優的重要抽樣概率密度函數。具體為

(19)

(20)

將式(18)代入式(20)可得

(21)

在重要抽樣概率密度的交叉熵尋優階段,按照式(20)進行隨機抽樣,式(17)進行小擾動失穩指標的無偏估計。

3 基于交叉熵蒙特卡洛的含風電場電力系統小擾動失穩判定

通過上述分析可知,基于交叉熵蒙特卡洛算法的核心是構造以交叉熵距離最小為依據構造重要抽樣概率密度函數g(x)替代原初始抽樣概率密度函數f(x),則文中的隨機小擾動考慮風電功率波動和負荷變化,兩者的初始隨機抽樣概率密度函數構造有以下幾點。

3.1 風電功率隨機抽樣

考慮因風速隨機波動引起風電功率輸出隨機波動作為隨機小擾動。由于雙參數Weibull分布的曲線形狀與現實狀況很匹配,被廣泛用來描述風速的分布。風速波動可以采用雙參數Weibull分布模擬風速條件概率密度為[13]

(22)

式中:v----風速;

k----形狀系數;

c----尺度系數。

風力發電機組一般工作在停車、最大風能跟蹤和恒功率輸出三個階段。為了簡化計算,風力發電機在不同風速下的有功輸出采用近似功率曲線直接轉換風速值的方法進行計算,近似計算模型為[14]

(23)

式中:ν、νin、νout、νN、PN----分別為風力發電機的實時、切入、切出、額定風速以及額定功率。

綜合式(1)和式(2)可得每臺發電機的風電有功輸出的抽樣值?？紤]同一風電場的風速基本相同,將每臺發電機的有功輸出值求和,可得該風電場的有功輸出隨機抽樣值。

3.2 負荷變化隨機抽樣

實際系統中節點負荷是一個時刻波動的不確定變量,負荷的變化對系統潮流影響比較大,而電力系統小擾動穩定與網絡潮流的初始解有關,因此在小干擾穩定評估中負荷隨機性越大,系統的穩定性也就越差。

節點負荷變化的隨機性也是影響電力系統小干擾穩定的主要因素之一,所以文中將負荷變化作為隨機小擾動。負荷功率概率模型一般采用服從正態分布的概率密度函數進行模擬,

(24)

式中:u----負荷功率的期望值,取統計數據的均值;

σ2----方差,取均值的2%。

3.3 小擾動失穩判定計算流程

設定初始抽樣的樣本數目Nk,收斂精度γ,按照以收斂精度結束仿真的條件,得出基于交叉熵蒙特卡洛的含風電場電力系統小擾動概率穩定性判定的具體流程,如圖1所示。

圖1 小擾動失穩判定計算流程

4 算例仿真與分析

為了驗證本算法風電功率隨機波動對系統穩定性影響的有效性,在3機9節點系統的基礎上并上一個風電場[15]作為穩定性測試系統,其總裝容量為100 MW,其余為300 MW的常規發電機,采用標幺值計算且基準值均取100 MVA,如圖2所示。

圖2 含風電場的3機9節點電力系統

具體Matlab仿真結果與分析見表2。

表2 各常規發電機有功輸出概率模型

兩臺常規發電機有功輸出均采用表2中降額概率模型,輸電線路采用兩狀態概率模型。設定切入風速、額定風速以及切除風速分別為3.5 m/s,13 m/s和30 m/s,按照式(22)和式(24)分別對風速和負荷波動進行隨機抽樣。特征值采用QR算法,潮流計算采用牛頓拉夫算法。

通過風速隨機抽樣概率密度函數計算得出風電功率抽樣的直方圖及核密度估計如圖3所示。

圖3 風電輸出功率概率直方圖

從圖3可以看出,風電場零功率輸出和滿額輸出的概率最大,且風電場的功率輸出多集中在0.2～0.4 pu之間,能起到隨機小擾動的作用。

CEMCS與MCS在小擾動失穩指數(ISSI)和不同收斂精度下的結果見表3。

表3 小擾動失穩指數計算及仿真性能表

由表3可知,隨著設定方差系數的減小,兩個算法計算的小擾動失穩指數均在減小,說明ISSI的計算精度都有所提高,且CEMCS算法的計算精度略高于MCS算法。隨著收斂方差系數的減小,傳統MCS算法需要大量的抽樣次數才可以獲得相應的ISSI計算精度,而CEMCS算法的抽樣次數和計算時間變化不大。橫向比較可知,同一方差系數下,CEMCS算法的抽樣次數和計算時間均優于MCS,達到減方差的效果。

設定抽樣次數為1 000次,CEMCS和MCS在此抽樣次數下的小擾動失穩指標及其方差系數收斂過程分別如圖4和圖5所示。

圖4 小擾動失穩指標收斂過程

圖5 小擾動失穩指標方差系數收斂過程

從圖4可以看出,MCS得到的小擾動失穩指標在抽樣400次以內的波動非常大,而CEMCS得到小擾動失穩指標快速趨于平穩。圖5中CEMCS的方差系數最小值是0.017,而MCS的方差系數最小值為0.081。由此可知,在相同的抽樣次數下,CEMCS的方差系數小于MCS的方差系數,即在收斂精度方面CEMCS較優。在收斂速度方面,CEMCS在抽樣400次左右已趨于最優值,而傳統算法近1 000次迭代才達到最優值。

5 結 語

將風速引起的風電功率波動和負荷波動作為隨機擾動源,利用特征值時域分析法確定小擾動失穩指標,采用非序貫蒙特卡洛分析方法進行概率模擬評估。引入交叉熵降低失效事件的稀疏性,提高蒙特卡洛算法的收斂精度和計算效率。通過算例仿真結果顯示,交叉熵非序貫蒙特卡洛算法在小擾動穩定性評估中具有一定的有效性和優越性。