深孔麻花鉆靜剛度半經驗模型研究

曾滔,劉戰強,左小陳,湯愛民

1山東大學機械工程學院;2株洲鉆石切削刀具股份有限公司

1 引言

靜剛度對刀具切削性能的影響很大,其反映了刀具在靜載荷下抵抗變形的能力,可用其幾何結構的變形量來衡量靜剛度的大小,刀具靜剛度越大,其受力時產生的變形越小。刀具剛度不足會導致加工中產生振動,引起加工表面振紋和加工精度超差等問題,嚴重時甚至導致刀具折斷。相對于普通鉆頭,深孔麻花鉆長徑比大,剛性相對較差,為保證其切削性能,靜剛度是設計結構的重要考慮因素之一。

麻花鉆靜剛度的研究主要包括定性分析和定量計算兩方面。定性分析常采用有限元軟件分析鉆頭關鍵結構參數如芯徑、螺旋角、槽長、排屑槽面積、排屑槽參數對刀具剛度的影響,優化麻花鉆結構設計參數。謝大綱等[1]通過有限元分析證明了增大芯厚能提高麻花鉆剛性,但芯厚過大會導致負面影響,需要合理修磨橫刃。寧明志等[2]針對不同截面形狀的麻花鉆進行變形和模態分析,得出鉆頭橫截面輪廓線的內切圓直徑與鉆芯直徑比為1～1.5時鉆頭綜合性能最優的結論。言蘭等[3]利用ANSYS對比分析了微鉆結構參數變化對鉆頭剛度的影響,結果表明微鉆頭芯徑與直徑之比取0.3～0.4甚至更大時剛度較好。劉小川等[4]研究表明,微鉆頭芯徑與直徑之比取0.18～0.28剛性較好,與前者的研究結論略有不同。許立福等[5]研究表明,同等芯厚時,直槽鉆頭比螺旋槽鉆頭抗扭剛性好,該結論與陳婧[6]的研究可以相互印證。靳交通等[7]對比兩種不同截面形狀的麻花鉆受力時的扭轉變形,驗證了所設計的異形螺旋槽具有更好的鉆體剛度,實現螺旋槽結構優化。

定量計算一般是通過簡化麻花鉆橫截面幾何模型,計算截面的慣性矩和慣性積,應用彈性力學理論或有限元法建立可間接計算麻花鉆剛度的模型。 Huang B.W.等[8]采用帶局部裂紋的預扭梁模擬帶裂紋的鉆頭,建立了具有時變邊界條件的鉆頭振動模型,并考慮裂紋、轉速、預扭角和推力對鉆頭振動的影響,通過振動情況間接分析鉆頭剛性。R.H.Thornley等[9]通過研究鉆尖不同結構參數與截面積、面積極矩特性之間的關系,提出了一種基于螺旋槽內切圓直徑衡量麻花鉆螺旋槽排屑能力的數學方法,建立了計算截面特性的經驗方程。孫東明等[10]和萬光珉等[11]應用彈性力學理論和有限元方法,通過計算對比不同截形的麻花鉆扭轉剛度,提出了高抗扭剛度麻花鉆橫截面優化設計方法,優化試制了一種新型麻花鉆,并對鉆頭扭轉剛度理論計算值和實測值進行對比,結果表明二者比較接近。Fang Chuan等[12]通過線性回歸方法建立了以鉆芯厚度、排屑槽面積和螺旋角為自變量的計算扭轉剛度的經驗公式。

根據麻花鉆剛度的研究結論對麻花鉆剛度進行定性分析時,可用芯徑結合長徑比間接表征彎曲剛度,用刀具徑向截面內切圓直徑與刀具直徑的比值間接表征扭轉剛度。需定量計算麻花鉆剛度,根據麻花鉆橫截面輪廓的幾何方程,應用圣維南原理求解復雜的應力函數[13]。

隨著刀具技術的發展,麻花鉆(特別是深孔麻花鉆)的橫截面形狀越來越復雜,為了兼顧其剛性和排屑性能,通常將螺旋槽設計為成型槽,橫截面輪廓為多段曲線光滑連接而成的自由曲線,建立求解其靜剛度的理論模型難度較大。本文基于深孔麻花鉆橫截面幾何性質計算模型,結合有限元仿真分析建立麻花鉆靜剛度半經驗模型,預測深孔鉆受力時的彎曲和扭轉變形。

2 麻花鉆橫截面幾何性質

理論上來說,麻花鉆在使用過程中只受軸向力Fz和扭矩M作用,但由于實際切削過程中,徑向力通常存在輕微不平衡,麻花鉆受到徑向力Fr作用,其受力模型可簡化為圖1所示懸臂梁結構。

圖1 麻花鉆受力懸臂梁模型

圖中,懸臂梁分成連接部分①和切削部分②,連接部分的長度為ln,d為切削部分直徑,H為長度,β為螺旋角。麻花鉆連接部分一般為圓錐或圓柱狀,它對麻花鉆剛性的影響程度由麻花鉆刃部直徑和柄部直徑決定,變幅不大;而切削部分因麻花鉆槽型設計的多樣化,對麻花鉆剛性的影響更復雜,故研究麻花鉆的靜剛度重點在于分析切削部分的靜剛度。

如圖2所示,粗實線表示麻花鉆螺旋槽截面輪廓,虛實線表示麻花鉆外徑圓輪廓。假設麻花鉆螺旋槽橫截面輪廓曲線的解析方程為y=f1(x),外徑圓輪廓曲線的解析方程為y=f2(x) ,則螺旋槽截面對坐標軸的慣性矩和慣性積為

圖2 螺旋槽截面性質積分求解

(1)

麻花鉆有兩條螺旋槽,且螺旋槽的橫截面輪廓關于原點對稱,如圖1主視圖所示。假設其中一條螺旋槽對坐標系o-xyz的x軸、y軸和原點o的慣性矩、慣性積分別為Ixf,Iyf和Ixyf,根據慣性矩和慣性積的轉軸定理,可求得麻花鉆橫截面對坐標軸、坐標原點的慣性矩和慣性積為

(2)

麻花鉆橫截面對原點o的極慣性矩為

(3)

根據麻花鉆螺旋槽的端截面輪廓方程和式(1)可計算出單個螺旋槽截面對x軸、y軸的慣性矩Ixf,Iyf和對原點o的慣性積Ixyf。再根據式(2)和式(3)可求出麻花鉆橫截面的幾何性質。

3 深孔鉆抗彎剛度模型

3.1 截面平均慣性矩

針對圖1所示的懸臂梁結構模型,令ln=0,即只研究切削部分剛度,假設N-N橫截面的實線輪廓如圖3所示。橫截面對x軸、y軸的慣性矩和慣性積分別為Ixt,Iyt和Ixyt。因麻花鉆螺旋槽為螺旋狀,不同位置處橫截面相對于x軸的相位角不一樣,其慣性矩也不相同。

圖3 切削部分橫截面旋轉

根據轉軸定理,相對于N-N截面逆時針轉動角度α的任意橫截面(虛線輪廓)對x軸的慣性矩為

Ix2(z)=Ixtcos2α+Iytsin2α+Ixytsin2α

(4)

整理式(4)為

Ix2(z)=C1+C2sin(2α+σ)

(5)

有

(6)

麻花鉆任意橫截面對x軸的慣性矩Ix2(z)是以表征該截面距離端面的位置參數α為自變量,且與螺旋槽導程相關的周期函數,其最小周期為T=π。對深孔鉆而言,切削部分長度大于螺旋槽導程,即H≥2πR/tanβ時,切削部分橫截面對x軸的慣性矩存在極小值Ix2(z)min=C1-C2,極大值Ix2(z)max=C1+C2,如圖4所示。

圖4 橫截面對x軸慣性矩的變化

雖然麻花鉆切削部分任意位置處的橫截面形狀幾乎一致,但由于螺旋槽的螺旋狀特征,各橫截面對x軸的慣性矩是以α為自變量的函數。為了簡化結構模型,將麻花鉆切削部分等效為等截面懸臂梁,并用所有截面慣性矩的平均值Iavg作為該懸臂梁的慣性矩。

慣性矩平均值Iavg為

(7)

式中,αH=2Htanβ/d。

根據式(7)繪制圖5所示平均慣性矩—懸伸長變化曲線。圖中直線表示極慣性矩Ip的一半(Ip=2C1),波浪線表示平均慣性矩Iavg,可見Iavg的大小隨著刃長H的增大逐漸逼近極慣性矩的1/2,而且麻花鉆越長,兩者越接近。

圖5 平均慣性矩隨刃長的變化

(d=6mm,β=30°,Ixt=3.272×10-11m4,Iyt=3.458×10-11m4,Ixyt= -1.904×10-11m4)

確定麻花鉆螺旋槽橫截面輪廓后,可根據其數學方程求得麻花鉆截面慣性矩Ixt,Iyt和慣性積Ixyt,并將其代入式(7)中計算出橫截面對x軸的平均慣性矩Iavg。

3.2 彎曲變形修正模型

對于長度為H且橫截面為圓形的細長懸臂梁,若該梁只在自由端受到垂直于其軸線且向下的外力F時,根據材料力學,該梁在自由端的彎曲變形計算式為

(8)

式中,E為懸臂梁材料彈性模量;I為橫截面對軸的慣性矩。

麻花鉆的雙螺旋槽結構使得其橫截面為異形截面,減小了麻花鉆的橫截面抗彎系數,也導致在計算圖1所示麻花鉆懸臂梁自由端的彎曲變形時采用式(8)進行計算誤差很大。由于麻花鉆截面不規則,利用材料力學或彈性力學理論很難定量求解麻花鉆懸臂梁自由端受徑向力時的撓曲變形量,引入麻花鉆彎曲變形修正系數Cb對式(8)進行修正。Cb越大,麻花鉆抗彎剛度越小,受力時彎曲變形越大。

修正后的彎曲變形計算式為

(9)

根據式(9)可知,當麻花鉆幾何結構確定后,其抗彎剛度由彎曲變形修正系數Cb和截面平均值慣性矩Iavg兩個因素決定。

3.3 彎曲變形仿真分析

針對直徑6mm的深孔麻花鉆,設計圖6所示DHL,DHM和DHG三種不同的螺旋槽,建立深孔鉆三維模型,開展靜力學仿真,利用仿真結果擬合彎曲變形修正系數Cb,并實現參數辨識。

(a)DHL (b)DHM (c)DHG

圖7為深孔鉆三維模型,圖中從上到下依次為1#,2#和3#深孔鉆,分別對應DHL,DHM和DHG槽型。深孔麻花鉆的鉆芯設計有錐度,表1為鉆芯的最大芯徑、最小芯徑、螺旋槽夾角(表征螺旋槽寬)、截面慣性矩和慣性積參數。麻花鉆的材料類別、主要物理屬性和網格控制方式設置見表2。

表1 直徑6mm深孔麻花鉆槽型特征值

表2 有限元分析參數設置

圖7 深孔麻花鉆三維模型

為保證與理論計算一致,仿真分析時忽略內冷孔對剛度的影響。圖8為麻花鉆的網格模型和加載條件,圖中麻花鉆靠近槽尾端固定,鉆尖部分為自由端,在靠近鉆尖處主刃帶的微小范圍內沿面法向加載均布壓強,均布壓強為10N徑向力除以加載范圍的面積。

圖8 彎曲仿真分析網格模型和加載方式

對于不同結構的麻花鉆,因均布壓強加載范圍面積大小的差異,加載壓強略有不同,1#,2#,3#深孔鉆加載的均布壓強分別為7.35MPa,5.34MPa和5.46MPa。分析懸伸H長度值分別為30mm,48mm,60mm,72mm,90mm五種情況時的每種深孔鉆變形。經仿真計算,當懸伸H=90mm時,1#,2#,3#深孔鉆的彎曲變形云圖如圖9所示。

圖9 彎曲變形云圖(H=90mm)

根據圖9和另外四種懸伸時深孔鉆的彎曲變形云圖獲取不同懸伸長度時各深孔鉆的彎曲變形仿真值,見表3。

表3 深孔鉆彎曲變形仿真值 (mm)

3.4 修正系數辨識

由表1中的數據和式(7)計算出三種深孔鉆不同懸伸長度時的橫截面對x軸的平均慣性矩(見表4),可見平均慣性矩Iavg與C1值(極慣性矩的1/2)非常接近。

表4 深孔鉆截面平均慣性矩Iavg

假設yi為彎曲變形觀測值(仿真值),Yi為估計值(擬合值),由于不同懸伸長時彎曲變形差異達到數十倍,觀測值與估計值之間的殘差小時兩者相對誤差并不一定小,故采用相對誤差平方和最小的方法對式(9)進行擬合,即求解合適的彎曲變形修正系數Cb,使得離散函數取得最小值為

(10)

式(10)中要保證函數f(Hi,Iiavg,yi) 取得最小值,彎曲變形修正系數Cb需滿足

(11)

通過計算得到1#,2#和3#深孔鉆對應的截面彎曲變形修正系數的數值均在開區間 (1,2) 內,具體值見表5。

表5 深孔鉆彎曲變形修正系數Cb

3.5 抗彎剛度模型

將表4中的平均截面慣性矩Iavg和表5中彎曲變形修正系數Cb代入式(9),求得不同深孔鉆不同懸伸時的彎曲變形量估計值,將估計值與表3中的仿真值進行對比,分析兩者之間的誤差見表6?？梢?最大擬合相對誤差不超過7%。

表6 深孔鉆彎曲變形誤差分析

為更直觀地對比六種深孔鉆彎曲變形的估計值與仿真值,根據式(7)、式(9)以及表6中的仿真結果繪制如圖10所示變形擬合對比。圖中三種曲線為深孔鉆彎曲變形擬合曲線,其總體變化趨勢與立方曲線吻合,但因為Iavg并非恒定常數,其值會隨懸伸長度的變化而輕微變化,故擬合曲線在小范圍內與立方曲線之間存在較小偏離;三種點數據為彎曲變形仿真值,點偏離擬合曲線的距離均很小,曲線擬合誤差小。

圖10 彎曲變形擬合曲線

麻花鉆抗彎剛度半經驗模型為

(12)

4 深孔鉆抗扭剛度模型

4.1 扭轉變形修正模型

對于圖1所示麻花鉆懸臂梁模型,切削部分任意橫截面的輪廓形狀與N-N橫截面相同,只是相對于N-N截面轉動了角度α,由于極慣性矩不受轉角影響,故當ln=0時,距離原點z且垂直于麻花鉆軸線的任意橫截面對截面中心的極慣性矩由式(3)計算得到。

對于長度為H,橫截面為圓形的等截面細長桿,若圓桿只在自由端受到扭矩M,根據彈性力學理論可知,圓桿自由端截面相對于固定端的轉角計算式為

(13)

式中,G為材料的剪切模量。

由于深孔鉆橫截面為非圓異形截面,不能直接應用式(13)計算麻花鉆的相對扭轉角,需引入引入麻花鉆扭轉變形修正系數Ct對式(13)進行修正。Ct越大,麻花鉆抗扭剛度越小,自由端相對固定端的扭轉角越大。

修正后的相對扭轉角計算式為

(14)

根據式(14)可知,當確定深孔鉆結構后,其抗扭剛度由扭轉變形修正系數Ct和截面極慣性矩Ip兩個因素決定,扭轉變形與麻花鉆懸伸長度成正比。

當深孔鉆受扭時,其外圓周面的變形最大,由于深孔鉆扭轉角φ是微小量,對于半徑為R的麻花鉆,最大扭轉變形與扭轉角的關系為

(15)

4.2 扭轉變形仿真分析

為求得深孔鉆扭轉變形修正系數,采用ANSYS軟件對圖7所示三種不同槽型結構深孔鉆開展靜力學仿真分析。材料類別、材料物理屬性和網格劃分和控制方式設置與彎曲變形仿真分析時相同。為保證仿真精度,鉆體僅設計螺旋槽,忽略內冷孔、鉆尖和刃背特征。

邊界條件和加載方式設置如圖11所示,麻花鉆靠近槽尾端(左側)固定,刃部為自由端(右側),在距離刃部端面2mm范圍內的刃瓣外圓周面上加載4N·m扭矩(載荷名為“Moment”)。針對每一種深孔鉆,分析懸伸H長度值分別為30mm,45mm,60mm,75mm,90mm五種情況時的扭轉變形。

圖11 扭轉仿真分析網格模型和加載方式(H=75mm)

經仿真計算,當懸伸H=75mm時,三種深孔鉆的扭轉變形云圖如圖12所示?？梢?鉆體上某個點處的扭轉變形大小與該點到固定端的距離以及該點到軸線的距離都相關,距離越遠,變形越大。

圖12 扭轉變形云圖(H=75mm)

通過對直徑10mm、不同長度的硬質合金圓柱棒模型加載同樣的載荷進行仿真分析發現,其最大變形與通過式(15)計算得到的轉角數值成正比,比值為5,說明扭轉仿真得到的最大變形數據表示深孔鉆外圓周面的最大扭轉變形。

根據圖12和另四種懸伸時深孔鉆的扭轉變形云圖,獲取各深孔鉆不同懸伸長度時的扭轉變形數值見表7。

表7 深孔鉆扭轉變形 (mm)

4.3 修正系數辨識

假設yi為扭轉變形觀測值,Yi為估計值,同樣采用相對誤差平方和最小的方法對式(15)進行擬合。

求解合適的扭轉變形修正系數Ct,使得離散函數取得最小值為

(16)

對于式(16),要保證函數g(Hi,yi)取得最小值,扭轉變形修正系數Ct需滿足

(17)

通過計算得到1#,2#和3#深孔鉆對應的截面扭轉變形修正系數,見表8。

表8 深孔鉆扭轉變形修正系數Ct

4.4 抗扭剛度模型

將表8中扭轉變形修正系數Ct代入式(15),求得不同深孔鉆不同懸伸時的扭轉變形量,將估計值與表7中的仿真值進行對比,分析兩者之間的誤差見表9。

表9 深孔鉆扭轉變形誤差分析

可見,3#深孔鉆在懸伸長度H=30mm時擬合誤差最大,為12.23%,其余情況下擬合的相對誤差均在10%以內。為更直觀地對比三種深孔鉆扭轉變形的估計值與仿真值,根據式(15)以及仿真結果數據繪制變形擬合對比見圖13。圖中,三條直線為深孔鉆扭轉變形擬合曲線,點數據為三種深孔鉆的扭轉變形仿真值?？梢?1#和2#深孔鉆五個點數據偏離曲線的距離較小,曲線擬合誤差小,3#因個別點誤差大,導致整體擬合誤差偏大。

圖13 扭轉變形擬合曲線

可以確定深孔鉆抗扭剛度半經驗模型為

(18)

5 結語

(1)建立了麻花鉆懸臂梁等效模型,推導了麻花鉆截面慣性矩、慣性積、極慣性矩和截面平均慣性矩的數值計算公式。分析發現,隨著刃長H的增大,麻花鉆截面平均慣性矩逐漸逼近極慣性矩的1/2,而且麻花鉆越長,兩者越接近。

(2)提出了麻花鉆彎曲和扭轉變形修正系數,基于有限元分析和數值擬合的方法建立了麻花鉆彎曲和扭轉變形修正模型,并基于變形修正模型建立了深孔鉆靜剛度半經驗模型。誤差分析表明,修正模型預測麻花鉆受力變形的精度小于13%。

(3)任意槽型結構的深孔鉆受力時的彎曲和扭轉變形均可類比圓截面桿受力時的變形進行計算,只需引入表征截面形狀特性的變形修正系數對模型進行修正。結果表明,若進一步研究揭示刀具槽型結構與變形修正系數之間的對應關系,可實現刀具螺旋槽截形的優化設計,該結論也可應用于其他桿狀切削刀具的受力變形計算模型中。