超高速動能撞擊密實小行星的動量傳遞規律

劉文近，張慶明，龍仁榮，龔自正，任健康，任思遠，武 強，宋光明，陳 川，張品亮

（1.北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點試驗室，北京 100081；2.北京衛星環境工程研究所，北京 100094）

引 言

雖然小行星和彗星撞擊地球的概率低，但后果和危害極其嚴重[1]。動能撞擊目前被認為是使對地球有潛在威脅小行星偏離與地球碰撞軌道的最有效方法[2]。2021年11月24日美國成功發射了“雙小行星重定向測試”（Double Asteroid Redirection Test，DART）探測器，于2022年9月26日以超過6.2 km/s的速度撞擊雙小行星Didymos的次星Dimorphos，成功進行了人類歷史上第1次全尺寸的小行星動能撞擊偏轉測試試驗[3]。小行星是一個多樣化的種群，在形狀、密度、強度和結構方面有很大差異[4]。當通過動能撞擊偏轉技術改變小行星軌道時，小行星物質屬性通常是未知的[5]。因此，需要通過理論分析、試驗和數值模擬，分析撞擊速度和小行星的物理特性對動量傳遞系數的影響規律，降低動能撞擊偏轉小行星的風險和不確定性。

Gault等[6]通過超高速撞擊試驗獲得了6.3 km/s撞擊玄武巖的動量傳遞系數。Hoerth等[7]撞擊不同孔隙的巖石結果表明，動量傳遞系數隨著巖石孔隙率的增加而降低。Chourey等[8]對多孔干砂、玻璃微球、月球風化層模擬物的撞擊試驗結果表明動量傳遞系數均隨著撞擊速度的增加而增加。George等[9]在美國國家航空航天局（National Aeronautics Space and Administration，NASA）艾姆斯垂直靶場對各種隕石和隕石模擬物進行了一系列超高速碰撞試驗，結果表明含水隕石模擬物動量傳遞系數均顯著大于同等孔隙度無水隕石的動量傳遞系數，動量傳遞系數隨著隕石孔隙率的增加而降低。受試驗條件的限制，試驗速度大都低于6.5 km/s，而且大部分超高速撞擊試驗缺乏對小行星模擬材料性能的完整描述。試驗室模型試驗通常不能直接重現動能撞擊小行星表面所涉及的大撞擊器尺寸和極高撞擊速度[10]。數值模擬可有效彌補模型試驗在尺寸和速度的不足，得出大尺度和高速條件下的碰撞結果[11-12]。Raducan等[11]使用iSALE以雙小行星重定向測試任務為例進行了2D數值模擬，發現動量傳遞效率系數主要受材料初始孔隙度和內摩擦系數的影響。Rainey等[12]使用CTH模擬了DART撞擊均質小行星模型，分析了模型參數對動量傳遞效率系數、隕石坑直徑和深度的影響，結果表明動量傳遞效率系數、隕石坑直徑和深度主要由材料的強度和孔隙率決定，但相關模擬未與試驗結果比較，驗證模型參數的準確性。

因此，本文首先開展球形鋁彈丸撞擊玄武巖靶試驗，獲得不同撞擊速度下成坑的結果和動量傳遞系數。利用AUTODYN軟件光滑粒子流體動力學（Smoothed Particle Hydrodynamics，SPH）法進行數值模擬，將模擬結果與實驗室規模試驗數據進行了比較，驗證了模型參數的準確性。在此基礎上，模擬了最高10 km/s撞擊速度對拋射物質量、速度分布和動量傳遞系數的影響。結合試驗和數值模擬結果，獲得動能撞擊密實小行星的動量傳遞系數相似律，揭示撞擊速度對動量傳遞系數的影響規律。

1 超高速撞擊分析

1.1 玄武巖靶

玄武巖經水鉆鉆取成棒材，然后用磨床進行打磨得到如圖1所示的圓柱靶，尺寸Φ123.3 mm×123.3 mm，同時制備了測量巖石力學特性的試驗試件，單軸壓縮試驗試件尺寸Φ50 mm×100 mm，巴西圓盤劈裂試驗試件尺寸Φ50 mm×50 mm。在應變速率為1 × 10–4/s的條件下，采用單軸壓縮和巴西圓盤試驗測定了試件的抗壓和抗拉強度。測得玄武巖單軸抗壓和抗拉強度的平均值分別為146.0 MPa和9.8 MPa。通過測量抗拉試件質量和體積，得到玄武巖的密度2.876 g/cm3。

圖1 玄武巖靶和試件Fig.1 Basalt targets and specimens

為直接測量撞擊玄武巖的動量傳遞系數，玄武巖靶被掛在2根42 cm的尼龍繩上，懸掛在靶室中央，形成彈道擺。為防止巖石材料在受高速撞擊時崩落破壞，在玄武巖的側面纏繞幾圈玻璃纖維增強塑料膠帶，如圖2所示。

圖2 雙吊繩彈道擺Fig.2 Double rope pendulum

1.2 彈丸和彈托

試驗采用如圖3（a）所示的直徑為6 mm球形2024鋁合金彈丸，用聚碳酸酯彈托發射，彈托強制分離系統將彈丸與彈托分離，然后用磁測速測量彈丸速度[13]。為測量無彈丸情況下彈托的速度，將彈托切分為上下兩瓣，彈托中心開槽，槽內放置一塊鋁片后，將分瓣彈托組合在一起，形成內部包含鋁片的彈托。彈托內部鋁片用于觸發磁測速，測量無彈丸情況下彈托的速度，如圖3（b）所示。

圖3 彈丸和彈托Fig.3 Projectile and sabot

1.3 試驗系統和裝置

試驗加載系統如圖4所示，二級輕氣炮加速彈丸和彈托，彈丸和彈托出炮口后，用彈托分離器將彈丸與彈托分離[14]，通過磁測速獲得彈丸速度信號。為測量無彈丸情況下的彈托速度，將磁測速裝置安裝在彈托分離器前面，彈托首先通過磁測速裝置，彈托內鋁片觸發磁測速，獲得彈托速度信號。速度信號觸發高速攝像，高速攝像記錄彈道擺的整個擺動過程。高速攝像的拍攝幀率為1萬幀/s，靶室內高速攝像機的對面設置了1個LED燈補光。靶室內環境的空氣壓力保持在100 Pa左右。當彈丸碰撞靶板后，輕氣炮高壓氣室中的氮氣和一級段泵管中的氫氣會尾隨彈丸進入靶室。為最大限度地減小輕氣炮發射氣體對目標的影響，在二級發射管與靶室間放置了一個圓形檔板，檔板中心開一個直徑20 mm的圓孔，一方面可減小輕氣炮發射氣體對目標動量的影響；另一方面可減少進入靶室的黑煙，影響高速攝像的拍攝。

1.4 動量傳遞系數的計算和誤差分析

1.4.1 計算方法

從高速攝像記錄彈道擺運動過程圖中找出彈道擺的初始位置和最大位置處如圖5所示，將2幅圖片導入Adobe Photoshop軟件，測量得到彈道擺最大水平位移xmax。根據彈道擺的最大水平位移xmax和幾何關系可算出彈道擺的最大擺角θmax和彈道擺上升高度h。

圖5 撞擊誤差分析Fig.5 Impact error analysis

根據能量守恒，計算彈丸撞擊靶板后靶板獲得的速度增量v為

為排除發射氣體對動量傳遞的影響，開展相同工況下不裝載彈丸發射試驗，標定發射氣流引起彈道擺水平位移xbd和最大擺角 θbd。彈丸引起彈道擺角度的實際變化 θ等于彈丸撞擊彈道擺的最大擺角θmax減去不裝載彈丸發射試驗最大擺角 θbd，實際動量傳遞系數的大小為

其中：mp為彈丸質量；U為根據磁測速信號計算的彈丸速度；M為撞擊后靶和吊繩的質量；g為重力加速度。

1.4.2 誤差分析

在靶板質心建立Oxyz坐標系，如圖6所示，坐標原點位于靶板質心，彈丸速度和x軸的夾角記為 α，撞擊角度對動量傳遞系數帶來的誤差 ?1為

圖6 超高速撞擊動量傳遞測試系統示意圖Fig.6 Schematic figures of the hypervelocity impact momentum transfer test system

撞擊角為10°時，撞擊角對動量傳遞系數帶來的誤差1.6%。實際試驗中彈道擺垂直懸掛在靶室中，彈丸出炮口后均沿水平方向運動。因此，彈丸均垂直撞擊靶板表面α ≈0，因此撞擊角度帶來的誤差約為0。

超高速撞擊動量傳遞測試系統如圖6所示，當撞擊點在靶板表面中軸線z′上下移動，如圖6（b）所示，由于撞擊點改變對動量系數無影響，當撞擊點在靶板表面中軸線左右移動時，撞擊點距z′軸線距離為e，撞擊后彈道擺向后運動過程中同時發生旋轉，因此試驗前需要進行激光對中。由圖5可知，彈道擺未發生偏轉，試驗帶來誤差可忽略不計。

1.5 結果分析

不同撞擊速度下成坑直徑、深度和動量傳遞系數如表1所示。撞擊速度從2.3 km/s增加到3.9 km/s，β從1.96增加到2.51。不同撞擊速度下，彈丸撞擊玄武巖靶成坑形貌基本一致。6 mm彈丸以3.9 km/s撞擊玄武巖典型成坑結果如圖7所示。玄武巖靶上形成的空腔由一個碗狀中心小坑（圖7中白色虛線圈內）和一片較大的淺層剝落區（圖7中白色和紅色虛線圈內）組成，與之前超高速撞擊致密巖石成坑形貌一致[7]。碗狀的中心坑是由沖擊開挖流產生的，淺層剝落區是沖擊波與稀疏波在自由表面的相互作用導致材料發生拉伸破壞形成的[15]。

表1 超高速撞擊條件下的試驗參數及結果Table 1 Experimental parameters in hypervelocity impact conditions and results

圖7 撞擊速度為3.9 km/s時，玄武巖的成坑結果Fig.7 Craters formed in basalt，with impact velocity of 3.9 km/s

2 數值模型

2.1 算法及模型

AUTODYN軟件與其它仿真軟件在計算隕石坑大小、撞擊過程中峰值壓力和動量增強系數大小進行了基準比較[16-18]，廣泛用于模擬動能侵徹、空間碎片防護、隕石成坑等超高速撞擊問題[19-22]。動能撞擊偏轉小行星涉及超高速和大變形的成坑過程，相對于基于網格的方法，SPH模擬超高速撞擊成坑問題不但可以避免網格畸變，而且可以追蹤在隕石坑形成過程中拋射出的粒子質量和速度?；贏UTODYN軟件二次開發功能，可以導出所有SPH粒子在不同時間的空間位置、質量和速度信息。根據所有拋射物的質量和速度信息，將撞擊方向上產生的所有拋射物粒子動量分量相加，動量傳遞系數β-1等于拋射物在撞擊方向上的總動量除以拋射物初始動量[23]。

利用AUTODYN軟件建立二維軸對稱模型進行數值計算如圖8所示，球形彈丸直徑6 mm，采用航天器常用材料Al2024。靶厚度和直徑均為123.3 mm的玄武巖，彈丸半徑20個粒子，SPH粒子大小為0.15 mm[16]。

圖8 簡化計算模型Fig.8 Simplified calculation model

2.2 材料模型及參數

Al2024采用Shock狀態方程、Johnson-Cook強度模型和最大拉應力失效，失效應力取2.6 GPa[24]，材料參數來自AUTODYN材料庫，具體材料參數見表2和表3。

表2 Al2024和玄武巖的Shock狀態方程參數[19，25]Table 2 Parameters of shock for Al 2024-T4 and basalt

表3 Al-2024 的Johnson-Cook本構模型和失效參數[26]Table 3 The Johnson-Cook model and failu parameters for Al-2024

玄武巖采用Shock狀態方程，玄武巖采用Drucker-Prager強度模型，模型考慮了屈服強度Y與靜水壓力P之間的線性關系。

玄武巖初始屈服強度Y0取146 MPa，摩擦系數f取0.6[11]，玄武巖采用最大拉應力失效，失效應力取50 MPa[27]。

2.3 計算結果與試驗結果比較

6 mm鋁彈丸3.9 km/s速度撞擊玄武巖的成坑結果如圖9所示。從0.05～0.2 ms成坑深度不變，表明開坑完成。撞擊0.2 ms后，層裂碎片與靶完全分離，速度不會再發生改變。層裂碎片速度較低，完全離開靶板表面需要較長，可根據導出的SPH粒子空間位置、質量和速度信息，計算反濺拋射物和層裂碎片的動量。因此，為節約計算時間，取不同撞擊速度下撞擊0.2 ms后，計算反濺拋射物和層裂碎片的動量。

圖9 撞擊后成坑結果，左0.05 ms，右0.2 msFig.9 Crater results，left 0.05 ms，right 0.2 ms

撞擊后0.2 ms不同撞擊速度形成的拋射物的質量–速度分布如圖10所示。對拋射物質量–速度分布曲線積分，得到拋射物累積動量PI，動量傳遞系數β-1=PI/mU。水平橫線上是層裂碎片的質量和動量，層裂大大提高了拋射物的質量，如圖10（a）所示。但層裂碎片速度較低，貢獻動量較小如圖10（b）所示。在不同速度下，使用AUTODYN模擬預測的隕石坑直徑和深度分別與試驗相差4.7%～10.9%和3.7%～8%。數值模擬得到的動量傳遞系數與試驗的最大誤差為10.2%。通過與不同速度的試驗結果對比，驗證了動量傳遞系數的統計方法、所選算法和模型參數的合理性。在此基礎上，模擬了5～10 km/s這4種不同撞擊速度撞擊玄武巖靶，研究撞擊速度對拋射物質量、速度分布和動量傳遞系數的影響，結果如表4所示。隨著撞擊速度提高，彈丸和靶板可能會發生融化和氣化，Shock狀態方程不能直接計算得到溫度或焓，只能間接估算，因此本文未考慮融化和氣化對拋射物產生和質量–速度分布的影響。之前的數值模擬結果表明，在10 km/s以下，彈丸和靶板發生融化和氣化的比例較低，Shock狀態方程是適用的[27-28]。但在更高速度的情況下，需考慮熔化和氣化問題，選擇可以描述物質的凝聚態（固液）、膨脹態（氣）和混合態的狀態方程[29]，研究融化和氣化產物對動量傳遞的影響。為防止高速下靶板被撞碎，將靶板尺寸擴大1倍。當隕石坑直徑達到幾米時，在隕石坑表面形成大面積的損傷，損傷區域的拋射物無法獲得足夠的速度離開小行星表面[30]。因此，將小型試驗和模擬結果外推到小行星尺度需要修改試驗和模擬結果，去除層裂機制產生的拋射物對動量傳遞的貢獻。

表4 數值模擬與試驗結果的比較Table 4 Comparison between numerical simulation and experimental results

圖10 不同速度下的拋射物的質量和速度分布Fig.10 Mass-velocity distribution of ejecta at different velocities

2.4 數值計算結果及分析

2.4.1 拋射物的質量與速度分布規律

速度大于v的累積拋射物質量M（>v）分布曲線如圖11所示，拋射物的速度逐漸變小，拋射物累計質量分布趨于平緩，接近拋射物質的總質量。不同撞擊速度下累計拋射物質量M（>v）分布規律相似，撞擊速度越大，拋射物的累計質量越大。撞擊速度從5 km/s增加到10 km/s，β-1從1.64增加到2.72（見表5）。拋射物的質–速度分布函數可簡化為冪律分布[10]，圖11中黑色直線斜率等于-3μ，μ是耦合參數，黑色直線斜率等于–1.65。

圖11 速度大于 v拋射物的質量 M(v)分布規律Fig.11 Distribution of ejecta with velocity over v

2.4.2 動量傳遞相似律

相似律模型廣泛用于將試驗室尺度的試驗和模擬結果外延至行星級別，強度區間的動量相似律[10]為

其中：δ、U、Y、ρ分別為彈丸密度、撞擊速度、靶強度和密度；ν為耦合參數；n=3μ；Ks、Kvs為材料相關的常數。

其中：m為彈丸質量；Me為速度大于v的拋射物質量；v?為拋射物的最小速度。

速度大于v的拋射物質量如圖12所示，玄武巖動量相似關系常數Ks=0.29，Kvs=0.47。將彈丸和靶板的參數帶入到式（7），得到撞擊密實小行星的動量傳遞曲線（U單位km/s）：

圖12 速度大于 v的拋射物質量Fig.12 Mass with ejection velocity v

在10 km/s撞擊速度范圍內模擬的結果（圖13）和相似律結果的最大誤差在10%之間（見表5）。因此，在10 km/s以內的速度范圍內，動量增強系數 β隨撞擊速度的0.65次方的增大而增大，相律模型可以很好地預測動量增強系數。

圖13 密實小行星動量增強系數 β與撞擊速度的關系Fig.13 Relationship between momentum enhancement factor β and impact velocity

根據威布爾理論，脆性巖石的強度Y隨著其質量長度xmax的增大而減小，Y=Y0(L0/L)1/i，其中i通常為2～3[31]，靶板質量長度為L0時靶板強度大小為Y0。將實驗室靶板質量長度L0外推至近地小天體大小，需要考慮巖石強度的變化。因此，考慮近地小天體尺寸的動量傳遞因子 β為

其中：β0為試驗室條件下動量傳遞系數的大小，由式(11)可知，對于μ=0.55，i=2，β-1隨近地小天體尺寸的0.16次方增大而增大。將試驗室巖石的尺寸12 cm增加到140 m，近地小天體巖石的強度從146.0 MPa降低到4.2 MPa，則撞擊140 m密實小行星的動量傳遞曲線（見圖13）（U單位m·s–1）為

3 結 論

本文利用二級輕氣炮進行了6 mm鋁彈丸以2～4 km/s超高速撞擊玄武巖靶試驗，獲得了在不同速度下撞擊玄武巖的動量傳遞系數。將模擬結果和試驗結果進行了比較，驗證了計算模型和參數的準確性。模擬和相似律模型結果均表明，密實小行星的動量增強系數明顯依賴撞擊速度。撞擊巖石目標數值模擬結果與相似律模型計算結果吻合較好，相似律模型可以很好地預測動量增強結果，在10 km/s以內的速度范圍內，動量增強系數 β隨撞擊速度的0.65次方的增大而增大。