三角代數上的可乘映射

劉 磊, 李開鵬, 王緒迪

(1.西安電子科技大學 數學與統計學院, 陜西 西安 710071; 2.西安理工大學 理學院, 陜西 西安 710054)

多年來,如何刻畫代數上在某點可導的映射受到許多數學家的關注。對于某些代數,幾位作者討論了G分別為零、單位元、非平凡冪等元、可逆元素的情況[1-6]。

受可導映射啟發,如果對S,T∈A使得ST=G時就有φ(ST)=φ(S)φ(T),則稱可加映射φ在G處可乘。對于可乘映射的研究也有相關結果。Zhu等[7]研究了矩陣代數上在可逆元和單位元處可乘的映射。Gong等[8]研究了矩陣代數上某些點Jordan可乘的映射。Li等[9]刻畫了在含有單位元的Banach代數上分離點和單位元點處可乘的映射。Burgos等[10]在研究了C*-代數上在零點、單位元點和投影點上可乘的映射。

如何刻畫三角代數上在任一固定點可乘的映射是一個很自然的問題。但是,到目前為止,還未見到此方向上的研究成果。本文描述了在三角代數上任一固定點可乘映射的結構,將結果應用到了套代數上。

1 預備知識

2 主要結論與證明

(i) 對任意的a∈A,存在某個正整數n滿足nIA-a在A中是可逆的;

(ii) 對任意的b∈B,存在某個正整數n滿足nIB-b在B中是可逆的。

則對任意的A,B∈T,φ(AB)=φ(A)φ(B)成立,即φ是T到U上的同態映射。

斷言1對任意的a∈A,有f12(a)=0,f22(a)=0。

(1)

其中:

由式(1)可得,對于任意可逆的a∈A,有:

由此可知,對于任意可逆的a∈A,有f12(a)=0,f22(a)=0。

由假設 (i)得,對于任意a∈A,存在正整數n,使得nIA-a在A中可逆。因此,對任意的a∈A,有f12(nIA-a)=0,f22(nIA-a)=0。又由于nIA在A中可逆,故對于任意a∈A,f12(a)=0,f22(a)=0。

斷言2對任意的b∈B,h11(b)=0,h12(b)=0。

斷言3對任意的m∈M,g11(m)=0,g22(m)=0。

(2)

其中Δ=(g22(m0-λm)+h22(b0))(ID+g22(m))。

由式(2)可知,對任意的m∈M,有:

(3)

g22(m0)+h22(b0)=

(g22(m0-λm)+h22(b0))(ID+g22(m))

(4)

由式(3)、(4)可得:

g11(m)+g11(m)g11(m)=0

(5)

g22(m)+g22(m)g22(m)=0

(6)

將等式(5)和等式(6)中的m用-m替換,有:

-g11(m)+g11(m)g11(m)=0

(7)

-g22(m)+g22(m)g22(m)=0

(8)

對任意的m∈M,比較等式(5)和等式(7),有g11(m)=0。類似地,比較等式(6)和等式(8),有g22(m)=0

(9)

斷言4對任意的a∈A和m∈M,g12(am)=f11(a)g12(m)成立。

(10)

由式(10)可得:

g12(m0)=λf11(a)g12(m)+g12(m0)-λg12(am)

因此有g12(am)=f11(a)g12(m)。 由假設 (i)可知,對任意的a∈A,存在一個整數n使得nIA-a在A中是可逆的。所以對任意的a∈A和m∈M,有g12((nIA-a)m)=f11(nIA-a)g12(m)。注意到nIA是可逆的,最終推斷出對任意的a∈A和m∈M,有g12(am)=f11(a)g12(m)。

斷言5對任意的b∈B和m∈M,有:g12(mb)=g12(m)h22(b)。

斷言6對任意的a1,a2∈A,f11(a1a2)=f11(a1)f11(a2)。

對任意的a1,a2∈A和m∈M,應用斷言 4,一方面,有:

g12(a1a2m)=f11(a1a2)g12(m)

另一方面,再一次使用斷言 4,有:

g12(a1a2m)=f11(a1)g12(a2m)=

f11(a1)f11(a2)g12(m)

比較這兩個等式可知:

(f11(a1a2)-f11(a1)f11(a2))g12(m)=0

由于φ是滿射并且N是忠實的,所以從上式可得對任意的a1,a2∈A,f11(a1a2)=f11(a1)f11(a2)。

對任意的b1,b2∈B和m∈M,應用斷言 5,一方面,有:

g12(mb1b2)=g12(m)h22(b1b2)

另一方面,再一次應用斷言 5,有:

g12(mb1b2)=g12(mb1)h22(b2)=g12(m)h22(b1)h22(b2)

通過和斷言6類似地討論,易得如下斷言。

斷言7對任意的b1,b2∈B,等式

h22(b1b2)=h22(b1)h22(b2)成立。

斷言8定理1成立。

由等式(9)及斷言 4～7可知,對任意的

直接計算可得:

即φ是T到U上的同態映射。

3 應 用

令H是實或復的Hilbert空間。眾所周知,H上的套是H上的正交投影鏈,在強算子拓撲中是封閉的,并且包含0和單位算子I。如果一個套包含至少一個非平凡投影,則稱其為非平凡的套。由algN表示與N關聯的套代數,它是由所有保持N不變的有界線性算子組成的算子代數。很明顯,每個非平凡的套代數都是三角代數。所以有以下推論。

證明由條件易知與N關聯的套代數可以用H=ran(P)⊕ran(P)⊥和H=ran(Q)⊕ran(Q)⊥表示為兩種三角代數,并且滿足定理1中的條件。因此由定理1可得φ是algN上的自同構。又因為套代數上的每個自同構都是空間的(參見文獻[12]),所以存在可逆算子S∈algN滿足對任意的A∈algN,有φ(A)=SAS-1。

4 結 論

本文刻畫了三角代數上在固定點可乘的可加映射,證明了在任一固定點可乘的可加滿射一定是同態映射。作為應用,證明了套代數上在固定點可乘的可加雙射在一定條件下一定是自同構。