考慮殘余強度的層狀巖體損傷演化規律

寇 昊 ，何 川 ，陳子全 ，周子寒 ，蒙 偉 ，肖龍鴿

（1.西南交通大學交通隧道工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031；2.中國建設基礎設施有限公司，北京100029）

我國廣泛分布著不同層理產狀的巖體，如頁巖、板巖、千枚巖等.由于其層理弱面的存在，導致不同傾角巖體力學性質之間的差異顯著，這種巖性的各向異性對工程穩定與安全影響重大[1-2].

許多學者針對層狀巖體的各向異性特征和損傷演化過程進行了理論與試驗研究.劉運思等[3]采用內時理論并引入損傷變量，推導了層狀巖體的內時損傷本構方程；史越等[4]建立了考慮單軸荷載損傷的層狀千枚巖損傷本構模型，分析了不同層理角度下千枚巖的損傷演化特征；Wang 等[5]基于Drucker-Prager準則構建橫觀各向同性巖體的彈塑性本構模型；Saroglou 等[6]和Shi 等[7]分別采用各向異性指數kβ和αβ，修正Hoek-Brown 準則以描述層狀巖體三軸強度的各向異性；Li 等[8]研究了橫觀各向同性板巖的尺寸效應；Pouragha 等[9]將砂巖、板巖看作黏結顆粒的集合體，結合局部強度準則和接觸變形的微觀力學公式，描述了層狀巖體的強度各向異性特性；Gholami等[10]采用單軸、三軸和巴西劈裂試驗評估了不同層理方向板巖的彈性參數和強度特性，具有明顯U 形分布特征；衡帥等[11]、儲超群等[12]分別研究了層狀頁巖和層狀砂巖的力學行為、強度、破壞模式等的各向異性特性；鄧華鋒等[13-14]研究了層理弱面對砂巖的強度變形特征及縱波波速的影響機制；陳子全等[15]分析了千枚巖不同層理角度的能量損傷演化特征.上述研究多集中于層狀巖體的力學參數、強度特性、破壞模式等，而對于其損傷演化的全過程研究尚不完善.

為了更好地描述巖石的應力-應變全過程變化曲線，劉冬橋等[16]基于花崗巖三軸壓縮試驗的缺陷發展過程，建立了應變軟化損傷本構模型，反映出了巖石峰前和峰后的完整變形過程.溫韜等[17]通過巖石損傷與耗散能的關系，建立了考慮巖石初始損傷和殘余強度的本構模型.曹文貴等[18]將巖石承載看作由未損傷和損傷2 部分承擔，提出了考慮殘余強度的巖石損傷本構模型.李海潮等[19]從巖石損傷閾值角度，建立了反映低應力水平和殘余強度變形特征的損傷模型.為更加真實準確地描述層狀巖體的應變軟化過程，本文基于橫觀各向同性材料的彈性本構方程，采用修正的Lemaitre 應變等價假設，推導了考慮殘余強度的層狀巖體損傷本構方程，通過頁巖、千枚巖和板巖的三軸壓縮試驗數據驗證了模型的合理性，最后分析了不同層理角度巖體的全過程損傷演化規律.

1 層狀巖體損傷本構模型

1.1 層狀巖體彈性本構方程

層狀巖體往往存在明顯的層理弱面，具有顯著的強度各向異性，因此，可以將其視為橫觀各向同性材料[4]，如圖1 所示.圖中：σx、σy、σz分別為x、y、z向的應力；θ為層理角度.在局部坐標系O1-x1y1z1中，橫觀各向同性材料的應力-應變關系為

圖1 橫觀各向同性材料坐標示意Fig.1 Diagram of coordinate system for the transversely isotropic materials

根據彈性力學局部坐標與整體坐標之間的轉換關系，可得到整體坐標系O-xyz中，橫觀各向同性材料的應力-應變關系為

式中：

ε、σ、S分別為整體坐標系的應變張量、應力張量和柔度矩陣；A為坐標轉換矩陣.

在三軸壓縮條件下，切向應力為0，則應力（σx，σy，σz）與應變（εx，εy，εz）之間的關系為

1.2 考慮殘余強度的層狀巖體損傷本構方程

對于常規三軸壓縮試驗的圓柱體試件（圖2），軸向應力σy=σ1，軸向應變為εy=ε1，圍壓σx=σz=σ3，則式（3）的第二式可以改寫為

圖2 圓柱體試件示意Fig.2 Schematic diagram of cylinder rock

巖體在外荷載作用下會產生損傷，許多學者采用Lemaitre 應變等價假設[20]，引入損傷變量D進行損傷描述，可以得到

當巖體破壞時D=1，殘余強度為0，往往與實際試驗結果不符，不能體現出巖體破壞后的殘余強度σr.因此，采用殘余強度對Lemaitre 應變等價假設進行修正[19]，得到

由于巖體內部損傷過程隨機發生，具有隨機分布的特征，因此，采用Weilbull 概率分布構建統計損傷本構模型[19-20]，當荷載加載到應變ε1時，D可表示為

式中：m和ε0均為分布參數.

將式（8）代入式（7）得

考慮到巖體受荷達到峰值強度時（ε1=εc），其應力-應變應該滿足以下2 個條件[19-20]：1）σ1=σc；2） ? σ1/?ε1=0.其中，σc和εc分別為層狀巖體應力-應變曲線在峰值強度處的應力值和應變值.

對式（9）求偏導可得

由條件 1） 可得

由條件 2）可得

聯立式（11）和式（12）得到損傷本構模型的分布參數為

以E= 46.64 GPa，μ= 0.342，εc= 0.004 22，σc=147.29 MPa，σ3=10 MPa 的巖石為例，在考慮殘余強度σr=83.4 MPa 時，m=3.291，ε0=0.00513；σr=0 時，m=3.6976，ε0=0.00597.上述2 種情況的應力-應變曲線和損傷過程曲線如圖3 所示.可以看出，考慮殘余強度所得到的應力-應變關系曲線更加真實；此外，考慮殘余強度的巖石在加載過程中的損傷和損傷速率均提前，且考慮殘余強度的最大損傷速率增大，2 種情況的損傷演化過程存在明顯的差異.可見，采用考慮殘余強度的損傷本構模型進行損傷演化規律研究才更加合理.

圖3 考慮殘余強度與不考慮殘余強度對比Fig.3 Comparison between the considered and unconsidered residual strengths

2 模型驗證

為了驗證上一節層狀巖體損傷本構模型的準確性，以賈長貴等[21-23]的層狀頁巖、千枚巖、板巖三軸壓縮試驗結果進行檢驗.將賈長貴等[21]在不同圍壓條件下考慮層理角度分別為0°、30°、60°、90° 的頁巖壓縮試驗結果代入式（13）、（14），可以得到該頁巖損傷本構模型的m和ε0，如表1 所示.根據唐克東等[22-23]的千枚巖、板巖三軸壓縮試驗結果，得到損傷本構模型參數如表2 所示，受篇幅限制，僅列出圍壓為10 MPa 的主要參數.

表1 頁巖三軸壓縮試驗的主要參數[21]Tab.1 Main parameters of triaxial compression test for shale [21]

表2 千枚巖、板巖三軸壓縮試驗的主要參數[22-23] （σ3=10 MPa）Tab.2 Main parameters of triaxial compression test for phyllite and slate [22-23] （σ3 = 10 MPa）

由式（4）中的Eθ可以計算得到彈性模量的理論值，其中，由試驗得到的頁巖μ、μ1分別為0.37 和0.34，千枚巖μ、μ1分別為0.30 和0.28，板巖μ、μ1均為0.20，G1可由任意層理角度的試驗值計算，即

彈性模量理論值與試驗值的對比如圖4 所示.由圖可知：不同層理角度的彈性模量理論值與試驗值較為接近，層理角度小于45° 時彈性模量基本不變，大于45° 后表現為隨著層理角度的增加而增大；當θ=0° 時，巖體整體剛度由層理弱面控制，壓縮變形相對較大，彈性模量??；當θ=90° 時，巖體整體剛度則由基質起主導作用，抵抗變形能力增強，因而彈性模量變大[12].可見該理論解能夠反映層狀巖體彈性模量受層理角度的影響.

圖4 彈性模量的理論值與試驗值對比Fig.4 Comparison between theoretical and experimental values of elastic modulus

通過考慮殘余強度的層狀巖體損傷本構模型得到不同層理角度的頁巖、千枚巖和板巖三軸壓縮應力-應變關系理論值，將其與試驗值進行對比（圖5和圖6），可見理論計算的應力-應變關系曲線與試驗曲線形態基本一致，可以很好地描述巖體的彈性變形階段，還可以較好地體現出巖體峰后的應變軟化過程，整體上能夠反映層狀巖體的力學行為.

圖5 頁巖應力-應變關系的理論值與試驗值對比Fig.5 Comparison between theoretical and experimental values of stress-strain curves for shale

圖6 千枚巖、板巖應力-應變關系的理論值與試驗值對比Fig.6 Comparison between theoretical and experimental values of stress-strain curves for phyllite and slate

3 層狀巖體損傷演化規律研究

根據表1 和表2 的試驗參數，由式（8）計算可得層狀頁巖、千枚巖和板巖的損傷變量D在整個加載過程中的變化規律，如圖7 和圖8 所示.不同于文獻[4, 20]，由于其未考慮殘余強度，損傷演化曲線整體向右發生偏移，與實際對應的應力-應變曲線有所偏差.本文的損傷演化曲線更符合試驗結果，整體表現為：在前期加載過程中巖體處于壓密階段，損傷基本為0 （未發生損傷）；隨著應力的增加，巖體內部裂隙開始萌生、發展，直至貫通破壞，損傷也相應呈現出緩慢增長、加速增長、減速增長以及達到殘余強度后穩定于1.

圖7 頁巖的損傷演化曲線Fig.7 Damage evolution curves of shale

圖8 千枚巖、板巖的損傷演化曲線Fig.8 Damage evolution curves of phyllite and slate

從圖7 還可以清晰看到，頁巖層理角度為60°的巖體損傷演化曲線最陡，損傷發展速度最快，最先破壞；對比相同圍壓（10 MPa）的頁巖、千枚巖和板巖損傷演化曲線，千枚巖相較頁巖、板巖的層厚更薄，強度更低，層理角度為90° 時最先破壞，而板巖相對較厚，強度更高，層理角度為45° 時最先破壞.在單軸壓縮條件下，層理角度為60° 的頁巖最先發生損傷；在三軸壓縮條件下，層理角度為90° 的頁巖最先發生損傷，并且圍壓越大，損傷開始位置越靠前.在10 MPa 圍壓作用下的千枚巖、板巖也是層理角度為90° 時最先發生損傷.當巖體層理角度為90° 時，單軸壓縮下巖體發生劈裂張拉破壞，三軸壓縮下巖體發生張剪破壞[13].由于圍壓的作用約束了環向變形，因而偏應力作用下使得作為巖體主要剛度貢獻者的基質首先發生損傷，但損傷增速小于層理角度為45°/60° 的巖體.當層理角度為0° 時，不論單軸還是三軸壓縮，巖體的變形均由層理弱面控制，總體表現為穿越基質和層理面的張剪破壞[14]，損傷相對滯后.

從上述層狀巖體損傷演化過程分析可以看出，由于巖體層理弱面的存在，導致其力學性能和破壞模式的各向異性，損傷演化規律也表現出了顯著的差異性.

4 結 論

1） 建立了考慮殘余強度的層狀巖體損傷本構模型，采用層狀頁巖、千枚巖和板巖的三軸試驗數據對模型進行了驗證.該模型不僅能夠很好地描述層狀巖體的彈性變形階段，還可以較好地體現出巖體峰后的應變軟化過程，整體上能夠反映層狀巖體的力學行為.

2） 該模型得到的損傷演化曲線更加符合實際.初期加載過程中損傷基本為0 （未發生損傷），隨著應力的增加，損傷值呈現出緩慢增長、加速增長、減速增長以及達到殘余強度后穩定于1.

3） 頁巖層理角度為60° 時，損傷演化曲線最陡，損傷發展速度最快，最先破壞；千枚巖相較頁巖、板巖的層厚更薄，強度更低，層理角度為90° 時最先破壞，而板巖相對較厚，強度更高，層理角度為45° 時最先破壞.

4） 三軸壓縮條件下，圍壓越大，層理角度為90° 的巖體損傷起始位置越靠前，表明圍壓的作用使得其主要剛度貢獻的基質體損傷提前.層理角度為0° 的巖體損傷位置相對靠后，表明層理弱面提供了變形使得損傷滯后.