基于模擬退火算法的公路隧道內輪廓優化設計

張慶嵬

（中交基礎設施養護集團有限公司，北京市 100011）

0 引言

公路隧道內輪廓尺寸的擬定受控因素較多，除了要滿足建筑限界的要求，還要為通風、照明、排水、路面、內裝等設備設施預留空間，并儲備富余量。圓形內輪廓在圍巖穩定及結構受力方面具有優勢，目前中國公路隧道內輪廓多由組合圓構成。當前工程實踐中，內輪廓尺寸的擬定大多采用類比法，由于內輪廓尺寸直接影響了工程規模及投資預算，在滿足限定條件的情況下，搜尋內輪廓的最小面積具有探討價值［1-4］。

實際上，此問題可歸結為最優化問題。工程最優化問題即工程問題中取得的一組參數解，使得由這組設計參數確定的設計方案，既滿足各種規范、標準，又達到較好的技術經濟指標［5-7］。最優化問題由來已久，解決此類問題的有效手段是采用智能優化算法［8-12］，如模擬退火算法、遺傳算法、蟻群算法等。模擬退火算法的計算過程簡單通用，它能夠避免陷入局部最優陷阱，可用于求解復雜的非線性優化問題，因此應用廣泛。

本文在工程實踐的基礎上，以面積最優為目標，建立單心圓有仰拱內輪廓分析模型，探討采用模擬退火算法確定公路隧道內輪廓最優方案的可行性。

1 公路隧道內輪廓

根據《公路隧道設計規范》（JTG 3370.1—2018）［5］，建筑限界基本形式見圖1。

圖1 公路隧道建筑限界（單位：cm）

在滿足建筑限界以及其他必需的空間條件下，結合結構受力以及斷面空間利用率等方面的考慮，工程實踐中認為拱部為單心圓或三心圓，側墻為大半徑圓弧，仰拱與側墻間用小半徑圓弧連接較好［14］。設計速度為80 km/h 的兩車道高速公路隧道多采用單心圓方案，某高速公路隧道項目采用的單心圓有仰拱內輪廓方案如圖2 所示。

2 模擬退火算法

模擬退火算法的思想來源于物理中固體物質的退火過程與數學中組合優化問題之間的類比。退火過程使得分子最終落入能量最低狀態，而優化過程則是不斷向目標函數解空間中的最值靠近。選取任意一組解作為初始解，即模擬物理退火過程中的初始粒子狀態。設定初溫，即模擬熔解過程中達到的最高溫度，隨后在不同的溫度下借助與溫度相關的概率參數來判定新解的接受度，不斷降溫使得這個概率越來越小，直到達到最優解或者達到了終止條件。算法的常見執行步驟如下［15］：

（1）設定初值：x0以及F(x0)；配置冷卻進度表參數：初始溫度T( 0 )、衰減函 數、Mapkob 鏈長度Lk以及終止條件。

（2）溫度控制參數t=T(k)時（k為降溫進程中的某一個狀態參數），按照以下步驟作變換：

①產生新解。用系統隨機函數產生偏移量m，從而在當前解xp的基礎上得到一新解xp+1=xp+m，p為等溫進程中的某一個狀態參數；

②計算目標函數的增量。?f=F(xp+1)-F(xp)；

③ 更 新 準 則。 產 生 隨 機 數θ∈(0，1)，根 據Metropolis 準則，當p>θ時接受新解：

（3）遵循溫度衰減函數，產生新的溫度控制參數t=T(k+1)，轉入步驟（2）。直到達到終止條件。

模擬退火算法獨特的新解接受準則可以使其避免陷入局部極值。作為一種全局尋優算法，其對初始值的選取不敏感，但冷卻進度表在算法控制中的作用至關重要［16］。

3 優化過程

現以兩車道高速公路（80 km/h）隧道通常采用的單心圓有仰拱內輪廓方案為例，驗證模擬退火算法在內輪廓優化設計中的可行性。單心圓有仰拱內輪廓的基本組成如圖3 所示，解決此問題可分3 個階段進行：第一階段是最優確定單心圓無仰拱內輪廓，此圓記為O1；第二階段是在O1基礎上最優確定單心圓有仰拱內輪廓，此圓記為O2；第三階段在O1、O2的基礎上確定過渡圓，此圓記為O3與O4。

3.1 變量分析

對于第一階段，變量為O1圓心坐標及半徑r1，第二階段則是O2圓心坐標及半徑r2，其中O1、O2圓心的橫坐標相同。而第三階段中O3則分別與O1、O2內切，根據幾何關系，可以得到O3圓心坐標和半徑r3之間的約束關系，另外建筑限界到O3的最小距離則會根據實際需求進行指定，可認為不具備優化余地，在本優化過程中不考慮O3的影響，O4同理。至此，該優化問題轉換為求解在滿足約束條件下使得內輪廓面積最小的O1和O2圓心坐標及半徑。

3.2 約束條件及目標函數

隧道內輪廓擬定時通常會提出隧道內輪廓線與建筑限界最小距離要求，這里用余量δ來表示。由于路面橫坡的存在，建筑限界會按照不同角度進行旋轉，余量大小也會受到影響。對于第一階段，必須滿足各路面坡度條件下建筑限界位于O1內部且O1上各點與建筑限界的距離均要大于余量δ1，也可根據實際需求對限界上的各點獨立設定余量，而目標函數則為O1的面積。對于第二階段，O2與O1圓心橫坐標相同，O2除了要滿足O1的約束條件，還需保證兩圓心距離do1o2∈（|r2-r1|，r2+r1）。隧道路面以下需設置路面結構層及中央排水溝等，要求的余量更大，故引入余量δ2值，其為O2上各點到建筑限界最小距離要求。此外為了使仰拱具有一定的曲率以保證受力更合理，引入變量矢高γ，其為O1與O2的交點與仰拱最低點的高差。此時目標函數為O1與O2重疊部分的面積。

3.3 模型求解

以測設點為原點，建立直角坐標系，將建筑限界各點位置用坐標表示，并計算處于正向最大路面坡度、負向最大路面坡度時建筑限界各點所對應的坐標值，根據工程實際需求指定δ1、δ2及γ值?，F討論本問題中模擬退火算法冷卻進度表相關參數的設定。

（1）初始溫度T( 0 )。T( 0 )應使得算法一開始的接受率盡可能高，即exp( -?f/T( 0 ))≈1，則可令T( 0 )=μ?fmax，μ為常數，通常視問題規模而定，本問題取μ=1。

（2）溫度衰減函數。根據經驗法則，選取模擬退火算法常用的衰減函數Tk+1=αTk，α取值范圍一般為0.50～0.99，為適當延緩退火速度，取α=0.98。此形式衰減函數對溫度的衰減量隨算法進程而減小。

（3）終止準則。終止準則需要考慮兩方面，第一方面是等溫過程中產生擾動的次數，第二方面是溫度下降到能量較低狀態的值。本問題中對于等溫過程的終止準則定為連續n個Mapkob 鏈中新解沒有被接受，或者達到指定的鏈長。降溫過程的終止準則設定為相鄰溫度的溫度差?t小于指定值。

（4）Mapkob 鏈長度Lk、溫差?t及n。這3 個參數的確定可以根據問題規模在試算基礎上兼顧搜索速度與解的質量采用指定的方式進行。

4 實例驗證

根據上述計算模型，編制程序進行驗證分析。程序設置交互界面，將各細部尺寸及算法控制數據作為輸入量，以提高普適性，提供接口將計算結果導入制圖軟件中生成圖件。設計速度為80 km/h 的某兩車道高速公路隧道建筑限界各組成部分的詳細尺寸如圖4 所示，圖中尺寸要求適用于路面坡度+3%～-3%范圍。參考工程實際內輪廓方案，設定約束條件中的參數δ1=12 cm、δ2=83 cm、γ=85 cm、過渡圓半徑r3=r4=100 cm。

圖4 建筑限界尺寸（單位：cm）

對于控制算法進程的參數，T( 0 )可根據上述方法確定，不同次數的隨機抽樣所確定的目標函數最大值與最小值的差值列于表1，令T( 0 )=1 500 ≥?fmax；溫度衰減函數Tk+1=0.98Tk；由于問題規模較小，耗費的計算資源不明顯，可優先保障解的質量，經過試算令Lk=1 000，?t=0.1，n=20 可得到較高質量終解。

表1 初始溫度的測試數據

相關參數設定好以后，程序按照上述計算模型計算輸出結果。采用模擬退火算法計算后得到的隧道內輪廓參數①（方案①）和工程實際采用的內輪廓參數②（方案②）分別列于表2。約束條件以方案②為參考設定，兩者均滿足工程要求的最小余量，從結果對比來看：利用上述計算模型得到的數據與工程實際采用的基本一致，兩種方案的內輪廓面積相差約216.2 cm2，工程實際方案本就為優選方案，可以看出該算法模型具有可行性。

表2 計算結果對比

圖5 為程序利用接口調用軟件繪制的建筑限界及內輪廓圖。

圖5 程序繪制的隧道內輪廓

5 結論

（1）以面積最優為目標，建立計算模型，編寫程序，驗證了模擬退火算法可以應用于公路隧道內輪廓的優化設計。

（2）公路隧道內輪廓根據公路等級、設計速度、圍巖情況、路面坡度等條件的不同，拱部有單心圓與三心圓的基本區分。雖然本文針對單心圓有仰拱內輪廓建立了計算模型，但各類型內輪廓的優化思路是通用的，下一步可以繼續完善。