不規則銅鉬礦顆粒斷裂強度分布實驗研究

周強，汪軼凡，肖慶飛，劉向陽，邵云豐，黃守向，王慶凱，鄒海

1.昆明理工大學 國土資源工程學院，云南 昆明 650093；

2.礦冶過程自動控制技術國家重點實驗室，北京 102628；

3.礦冶過程自動控制技術北京重點實驗室，北京 102628

引 言

不規則礦石顆粒的斷裂是碎礦與磨礦過程中的常見現象，具有重要的理論研究與工業應用價值。隨著時代快速發展，碎磨設備趨于大型化和復雜化，但破碎過程中的能量利用效率依然很低。許多學者對單顆粒破碎、顆粒床破碎、沖擊破碎和球磨4 種破碎方式的能量利用效率進行研究[1]，實驗結果表明：以單晶斷裂的比表面能作為基準來評估不同破碎方式的能量利用效率，其中不規則單顆粒破碎1.0%，顆粒床破碎0.7%，沖擊破碎0.5%，球磨0.15%。此外，影響顆粒破碎性的因素有很多，主要取決于顆粒的物理性質：粒徑、級配、形狀、孔隙比、斷裂強度等，導致顆粒的破碎過程是復雜難測的，目前還未有數學模型能描述所有破碎過程。因此如何提高破碎過程的能量利用效率與構建統一的破碎數學模型是目前亟待解決的問題[1-2]。

構建描述礦石斷裂過程的破碎數學模型需要確定斷裂概率和斷裂函數[3]。近年來，國內外學者對斷裂概率與斷裂函數開展了大量的實驗研究，取得了重要的研究成果[4-7]：根據實驗設備的不同，可以選擇對應的實驗工況來確定斷裂概率和斷裂函數。例如，對于顎式破碎機、圓錐破碎機和高壓輥磨機等準靜態加載設備，可以通過壓力實驗機來確定顆粒的斷裂概率與斷裂函數[8]；對于沖擊式破碎機、球磨機等加載速率高的設備，可以通過落重沖擊實驗、雙擺錘實驗或UFLC 實驗系統來確定斷裂概率與斷裂函數。大量實驗結果表明：即使礦石顆粒尺寸一致、性質相同，其斷裂強度與破碎產品粒度分布也會呈現出顯著的離散性，主要原因是顆粒內部的原生缺陷在大小、分布、成核、拓展和匯聚上存在很大的隨機性[9-12]。

顆粒強度的定義方法有很多種，最直觀的方式是以最大破碎力來定義顆粒強度[13]，相關數據可以直接通過實驗測量得到，但通過不同的處理方式，我們也可以通過斷裂應力[10]、斷裂能[14]和斷裂比能[15]來定義強度。利用統計學方法對不規則顆粒強度進行分析時，為保證所得數值的可信度，必須有足夠多的樣本數據。國內學者通常選用雙參數或三參數的Weibull分布應用于描述顆粒的強度分布以及破碎產品粒度分布[7,9-10]。因此分析不規則顆粒的斷裂強度時，可以利用該統計函數。除此之外，本文還采用了其他統計函數去擬合顆粒的強度分布，如Logistic 分布[11]、Lognormal分布[12]等，通過比較選擇最優的統計函數來描述不規則銅鉬礦的強度分布。

選用最優的統計函數對不規則顆粒的強度分布進行擬合，并對選擇函數中的參數進行分析，建立了不規則銅鉬礦的選擇函數與顆粒尺寸關系的定量關系式。

對于顆粒強度的定義有很多種，但很少有學者深入研究對它們之間的關系，因此本文還對不同的強度定義進行對比，分析并建立了它們之間的函數關系式。通過研究分析不規則顆粒斷裂概率與顆粒尺寸以及不同強度定義之間的關系，確定了選擇函數，為破碎模型的建立提供依據。

1 實驗材料與實驗方案

1.1 實驗材料

實驗研究對象為華泰龍不規則銅鉬礦石顆粒，銅鉬礦在常溫常壓下的密度為2.93×103kg/m3，平均抗壓強度為66.32 MPa，彈性模量平均為4.35×104MPa，泊松比為0.16，整體呈灰白色，含銅黃色金屬光澤顆粒。本次實驗選用五個粒級進行強度分布的研究，分別為0.9～2 mm、2～5 mm、5～8 mm、8～10 mm、10～12 mm，每個粒級選擇30～35 個不規則顆粒進行實驗。

1.2 實驗方案

本次實驗采用YCDW-5E 型電子伺服實驗系統，該系統主要測量顆粒的最大破碎力以及斷裂能，可提供最大軸向壓力5 000 N，實驗力測量范圍100～5 000 N，實驗力示值精度為±1%，絲杠最大移動速度500 mm/min，最大壓縮空間800 mm，實驗過程中砧板壓縮速度1 mm/min。實驗裝置YCDW-5E 型電子伺服實驗系統如圖1 所示，實驗材料在加載前被放在上下壓頭之間，為減少摩擦，可在壓頭與試樣之間滴幾滴潤滑油。所有實驗通過位移控制，加載速度低，慣性效應可不計，固定上壓頭，下壓頭緩緩上升壓縮試樣。當實驗材料被完全破碎，或者檢測到軸向力發生急速下降現象時，裝置停止加載。該實驗系統的加載裝置承載能力較好，因此可忽略裝置自身變形的影響。電腦在加載過程中記錄實驗數據，后續通過軟件繪出力-位移曲線，該曲線將用來整理試樣的相關數據，例如最大破碎力以及對應的斷裂能等。本次實驗每個粒級的實驗次數皆在30 次以上，共計150 余組實驗。

圖1 試驗裝置Fig.1 Testing device

1.3 顆粒強度計算方法

不同定義下固體顆粒強度可由最大破碎力、斷裂應力、斷裂能、斷裂比能等來表示，其計算方法如下。

1.3.1 最大破碎力

最大破碎力是指物料發生災難性破壞時所對應的力，反映在接觸力-位移曲線上，如圖2 所示。Fc為最大破碎力，δc為最大破碎力對應的位移。由于不規則礦石顆粒的不規則性，導致加載點附近產生應力集中，產生局部破碎，因此需要滿足以下兩個條件則實驗結束：（1）不規則顆粒與上下壓頭的接觸點之間出現貫穿性裂紋；（2）需要滿足圖2（a）中出現的“懸崖”（即急劇下降線），以保證不規則顆粒為宏觀的張拉性破壞。在實驗中發現，由于礦石顆粒的不規則性，其接觸力-位移曲線的類別也存在很大的差異。本文分析了150 條不規則銅鉬礦單顆粒破碎過程的接觸力與位移曲線特征，通過總結歸納，可將其特征定義成兩大類，如圖2（a）與（b）所示。

圖2 兩類銅鉬礦單顆粒壓縮破碎接觸力-位移曲線Fig.2 Two kinds of force-displacement curves of single copper-molybdenum particle crushing

第一類曲線：在加載初期會出現一段平坦區，此時處于重心穩定期，實驗力變化不大，在這個階段主要是對不規則顆粒位置的調整。隨后進入彈性變形期，實驗裝置不斷加大對顆粒的壓縮，并在實驗過程中會發現顆粒表面與壓頭接觸部位的棱角發生斷裂，為局部斷裂，如圖2（a）箭頭1 所指位置，此時處于局部棱角剝離期。隨著接觸力繼續增大，當實驗力達到Fc時，顆粒發生完全斷裂，反映在力-位移曲線上則是載荷的突然跌落，如圖2（a）箭頭2 所指位置，此時處于完全斷裂期。箭頭3 所指位置反映的是加載裝置對顆粒的二次破碎，試樣處于二次破碎期，此時試樣破碎所需的力要小于Fc。這種曲線是較為標準的，我們可以很容易定義其最大破碎力。

第二類曲線：整個破碎實驗過程會形成多個荷載峰值，且隨著軸向位移的增加，荷載峰值會逐漸水平，無減弱的趨勢。出現此類形態的接觸力-位移曲線時，需輔助高速攝影來確定不規則顆粒的最大破碎力，根據接觸點之間出現宏觀裂紋來確定。實驗中發現，初始形狀扁平，形狀極不規則的顆粒會出現該類別的接觸力-位移曲線。

1.3.2 斷裂應力

斷裂應力被廣泛用來表征顆粒的強度。當試樣是標準試件時，其與外界作用力接觸的面積容易測量，進而確定斷裂應力；但在實際應用中，尤其對于不規則顆粒，接觸面積很難準確測量，因此，有學者提出很多經驗公式[10]，通過經驗修正系數減小誤差來計算斷裂應力。本文采用式（1）計算不規則顆粒斷裂應力σc[16]：

式中：Fc為顆粒最大破碎力，N；da為顆粒的幾何平均徑，mm；π 取3.141 592 6。

1.3.3 斷裂能

如圖3 所示，在接觸力-位移曲線上，顆粒的形變程度與其承受的破碎力一一對應，而斷裂點前的力-位移曲線的線下面積在數值上等同于斷裂能Ec，可以通過式（2）得到[14]：

圖3 斷裂能定義圖Fig.3 Fracture energy defines the diagram

式中：F為破碎力，N；δc為最大破碎力對應的位移，m。

1.3.4 斷裂比能

斷裂比能Em為破壞單位質量或體積所需要的能量，假定顆粒破壞前后尺寸近似為常數，可以根據式（3）計算[15]。

式中：Ec為顆粒斷裂能，J；ρ為顆粒密度，kg/m3；da為顆粒的幾何平均徑，m；π 取3.141 592 6。

1.3.5 斷裂概率計算方法

當討論不規則顆粒的斷裂強度分布時，必須對足夠數量的樣本進行實驗。對于有限數量的樣本，顆粒的斷裂概率可以通過概率估算因子P進行計算[17]。

式中：n為實驗樣品的總數；i為對所有試樣的強度數據進行升序排列后某一個顆粒強度在序列中的排名。

2 結果與討論

2.1 不同定義下顆粒的強度分布

通過公式（4）計算出的斷裂概率，對不同定義下的強度數據進行整理分析，得到不同定義下顆粒的強度分布，選取5～8 mm 銅鉬礦顆粒的強度分布圖進行舉例，如圖4 所示。

圖4 不同定義下顆粒的強度分布Fig.4 Strength distribution of particles under different definitions

由圖4 所示，強度數據的分布集中中間及較低的部分，較大的強度數據稀疏。以圖4（a）為例，0～600 N之間就有33 個數據點，而600～800 N 之間只有2 個數據點。

2.2 顆粒強度分布函數

分別選擇Logistic 模型（公式（5））、Weibull 模型（公式（6））、Lognormal 模型（公式（7））去擬合不同定義下的強度數據與斷裂概率之間的函數關系，為了研究結果的準確性，先從中找出不規則顆粒的最優統計模型。

式中：P為顆粒的斷裂概率；a，b為模型參數。當用其他方式來定義顆粒的強度時，只需替換Fc即可。以最大破碎力為例，比較3 種統計模型與實驗數據的擬合精度，擬合結果如圖5 所示。

圖5 試驗數據與3 個統計模型擬合的對比Fig.5 Comparison of experimental data with three statistical model fits

由圖5 可知，3 種統計模型均與實驗數據吻合度較好，而確定最優模型最直接的方法就是通過相關系數R2比較擬合精度。同樣，利用統計模型對其他3 種不同定義強度的數據進行擬合，最后得到不同統計模型下的R2，見表1。

表1 部分試驗數據擬合的相關系數Table 1 Correlation coefficient fitted to some experimental data

由表1 可知，3 個模型均可以用來描述不規則顆粒的強度分布，Logistic 模型和Lognormal 模型的擬合相關系數接近，Logistic 模型的精度較Lognormal 模型來說要略大，但兩者均小于Weibull 模型擬合的相關系數。Weibull 模型的數學形式簡單，且模型中的參數有明確的物理意義，其中參數a為斷裂概率為63.20%對應的強度，參數b為強度分布的離散程度。

再將公式（6）轉化為更簡單的形式，得到的函數分別以最大破碎力、斷裂應力、斷裂能和斷裂比能表示，如公式（8）～（11）：

綜上所述，Fc為最大破碎力；σc為斷裂應力；Ec為斷裂能；Em為斷裂比能；F63.20為斷裂概率63.20%對應的破碎力；σ63.20為斷裂概率63.20%對應的斷裂應力；E63.20為斷裂概率63.20%對應的斷裂能；Em63.20為斷裂概率63.20%對應的斷裂比能；PF、Pσ、PE和PEm分別為以最大破碎力、斷裂應力、斷裂能和斷裂比能定義的斷裂概率；DF、Dσ、DE和DEm分別為以最大破碎力、斷裂應力、斷裂能和斷裂比能定義的分布的離散程度，該值越大，離散程度越小即數據較集中。

對三個模型再進行整體的比較，比較三個模型對不同尺寸下不同強度分布定義的擬合精度。

圖6 是用Weibull 模型擬合銅鉬礦顆粒在不同尺寸下不同強度分布定義的擬合結果，可以看出擬合曲線與實驗數據吻合度均較好。

圖7 是用Logistic 模型擬合銅鉬礦顆粒在不同尺寸下不同強度分布定義的擬合結果，可以看出擬合精度低于Weibull 模型。

圖8 是用Lognormal 模型擬合銅鉬礦顆粒在不同尺寸下不同強度分布定義的擬合結果，可以看出擬合精度低于Weibull 模型和Logistic 模型。

圖8 Lognormal 模型對不同尺寸下的材料的試驗數據的擬合Fig.8 Lognormal model fitting test data of materials with different sizes

將總實驗數據擬合的相關系數繪制相關系數誤差分析圖，如圖9。

圖9 相關系數誤差分析圖Fig.9 Correlation coefficient error analysis plot

通過綜合比較，最后選擇Weibull 模型來描述不規則顆粒的強度分布。

2.3 顆粒強度分布函數的擴展

利用式（6）計算出來的不規則銅鉬礦的Weibull分布模型中的參數b展示在表2 中。DF、Dσ、DE和DEm分別為以破碎力、斷裂強度、斷裂能和斷裂比能定義下的分布的離散程度，該值越大，離散程度越小即數據較集中。

表2 不同粒級的銅鉬礦顆粒強度分布擬合離散程度匯總Table 2 Summary of the degree to which the intensity distribution fits discretely for copper-molybdenum ore particles of different sizes

由表2 可知，DF、Dσ、DE和DEm與顆粒的尺寸沒有表現出顯著的關系，這也進一步證實了之前學者提出Weibull 分布模量是個常數的假設[17-18]。

取各尺寸的平均值DF、DE，作為函數參數初始值并固定，重新擬合不同定義下的強度分布數據，計算誤差范圍，若誤差范圍允許，則可簡化Weibull 模型，見表3。

表3 DF、DE 與顆粒尺寸的關系Table 3 The relationship of DF、DE and particle size

擬合結果表明，當DF、DE不變時，與之前的擬合結果比較，其相關系數較低，但誤差仍在可接受的范圍內，驗證了DF、DE只與材料特性有關，與顆粒尺寸存在弱函數關系。因此可固定D值，從而簡化Weibull模型。

本文也對Weibull 模型中 的F63.20、σ63.20、E63.20和Em63.20進行研究，發現F63.20、E63.20與顆粒的尺寸呈線性關系，如圖10 所示。F63.20、E63.20與顆粒尺寸呈正比關系，顆粒的尺寸越大，F63.20、E63.20也越大，并由此得到式（12）以及（13）。

圖10 銅鉬礦顆粒的F63.20 和E63.20 與顆粒尺寸的關系Fig.10 Relations between F63.20 and E63.20 of copper-molybdenum ore particles and particle size

式中：AF、BF、AE、BE均為只與材料特性有關的特性參數。

同時對σ63.20、Em63.20進行研究，對其進行Tavares模型的擬合，發現兩者的相關系數分別達到0.993，0.983，擬合精度均較高，如圖11、12，并由此得到公式（14）以及（15）：

圖11 銅鉬礦顆粒的σ63.20 與顆粒尺寸的關系Fig.11 Relations between σ63.20 of copper-molybdenum ore particles and particle size

圖12 銅鉬礦顆粒的Em63.20 與顆粒尺寸的關系Fig.12 Relations between Em63.20 of copper-molybdenum ore particles and particle size

式中：Aσ、Bσ、Cσ、AEm、BEm、CEm均為只與材料特性有關的特性參數。

2.4 最大破碎力與斷裂能的關系

在4 種定義顆粒強度的方式中，最大破碎力可以通過實驗系統直接測量，而斷裂能則可以經過力-位移曲線積分可得。將測量的最大破碎力和與其對應的斷裂能繪制在雙對數坐標系中，發現不同尺寸的實驗數據可用一條直線擬合，如圖13 所示。通過擬合可得銅鉬礦顆粒的斜率為1.49。由圖13 可得斷裂能與最大破碎力之間的關系只與材料特性有關，而與顆粒尺寸無關。

圖13 銅鉬礦顆粒的斷裂能與最大破碎力的關系Fig.13 Relations between breakage energy and maximum crushing force of copper-molybdenum ore particles

2.5 斷裂應力與斷裂比能的關系

TAVARES[10]研究發現，對于脆性材料的荷載與位移的曲線可以近似用Hertzian 方程擬合，只在加載的初始階段由于顆粒的錯動會引起一些誤差，而在彈性階段幾乎重合。并通過理論推導斷裂應力與斷裂比能存在定量關系,即

式中，Ke為物料特性參數；β為顆粒的形狀系數。

本文也對斷裂應力與斷裂比能之間的關系進行研究，將斷裂應力和與其對應的斷裂比能繪制在雙對數坐標系中，不同尺寸的實驗數據同樣均可用一條直線來擬合，進一步說明不同定義強度分布之間的關系僅與材料特性有關，而與顆粒尺寸無關。如圖14 所示，直線的斜率為0.67。

圖14 銅鉬礦顆粒的斷裂應力與斷裂比能的關系Fig.14 Relations between crushing stress and breakage specific energy of Cupromolybdenum ore particles

3 結論

（1）對比Logistic 模型、Lognormal 模型和Weibull模型，前2 種模型擬合精度均低于Weibull 模型，再考慮到三種模型數學形式的復雜程度以及模型參數的物理意義，選擇Weibull 模型來描述顆粒的強度分布，其中參數a為斷裂概率為63.20%對應的強度，參數b為強度分布的離散程度。

（2）Weibull 模型中D與材料特性有關，與顆粒尺寸呈弱函數關系，因此在使用Weibull 模型擬合時，可固定D，從而簡化模型。模型中的F63.20、E63.20隨顆粒尺寸增大呈線性規律增大，而σ63.20和Em63.20隨著顆粒尺寸的增大而呈冪函數規律減小。

（3）將最大破碎力-斷裂能以及斷裂應力-斷裂比能繪制在雙對數坐標系中，發現即使顆粒的尺寸不同，其實驗數據均可用一條直線來擬合，最大破碎力-斷裂能和斷裂應力與斷裂比能之間的關系只與材料特性有關，而與顆粒尺寸無關，因此可以用這種特定的關系區分不同屬性的物料。