基于孔彈性效應的水平井多簇壓裂誘導應力及裂縫擴展分析

郭天魁 王云鵬 陳 銘 翁定為 田助紅 胡尊鵬 張遂安 賀甲元

1.中國石油大學（華東）石油工程學院 2.中國石油勘探開發研究院 3.中國石油大學（北京）

0 引言

我國四川、準噶爾、鄂爾多斯、松遼等盆地廣泛分布有頁巖儲層，頁巖油氣資源豐富[1-2]。目前主要依靠水平井分段多簇壓裂技術改造儲層，通過注入大量滑溜水為主的壓裂液造縫以實現頁巖油氣的效益開發。但國內外頁巖儲層壓裂后的返排率普遍較低，甚至低于10%[3-6]。因此，在研究裂縫擴展過程時，大量壓裂液進入地層誘發的孔彈性效應不可忽視[7-10]。

孔彈性效應是由于多孔介質內流體流動和巖石骨架變形之間的相互作用引起。目前國內外已開展了裂縫擴展過程中孔彈性效應的相關研究。Baykin 等[9-10]采用有限元方法建立全耦合三維孔彈性模型，分析了儲層滲透率對裂縫擴展的影響以及一維壓力擴散的適用范圍。Carrier 等[11]、Kumar 等[12]采用有限元、三維位移不連續法研究了二維、全三維水力裂縫在孔彈性介質中的擴展，發現孔彈性效應可增加施工壓力、抑制縫寬、加劇縫間應力干擾，但研究的時間和空間尺度均較小。上述研究由于計算量的限制，僅從理論方面討論了孔彈性效應對小尺度裂縫擴展的影響，難以從礦場尺度對壓裂過程中的裂縫擴展規律進行分析。Dontsov[8]針對考慮孔彈性效應后計算量大的問題，假設壓力擴散區遠小于裂縫尺寸，忽略擴散區尺度，提出了裂縫擴展過程中孔彈性應力的高效計算方法，該方法與邊界元法結合可用于礦場尺度裂縫擴展模擬，但多裂縫擴展過程中的孔彈性效應未見報道。An 等[13]采用Dontsov 模型[8]，研究了頁巖儲層大規模壓裂產生的誘導應力的影響范圍，并闡釋了誘導應力導致斷層活化進而誘發地震的現象。Manchanda 等[14]針對裂縫實時診斷方面，研究了孔彈性應力對鄰井處孔隙壓力產生的干擾作用。然而，孔彈性效應對整體應力干擾的作用規律、多裂縫競爭擴展的影響等方面還未明確，揭示孔彈性應力作用規律及對多裂縫擴展影響對于壓裂設計和分析具有重要價值。

常見的壓裂裂縫擴展模型按空間維度劃分包括二維、擬三維、平面三維、全三維模型。在精度和計算量方面，平面三維模型是目前較為可行和實用的方法[15]。Chen 等[16-19]、郭天魁等[20]基于平面三維裂縫擴展模型進行了裂縫擴展光纖應變監測、支撐劑運移規律、裂縫穿層等方面的研究，但目前的平面三維模型中，地層巖石均被假設為理想的純彈性介質，并未考慮孔彈性效應，而實際地層巖石為多孔介質，現有模型與真實情況存在一定差距。筆者在平面三維多裂縫同步擴展模型[15-19]基礎上，進一步考慮流體濾失誘發的孔彈性效應，并結合Dontsov 孔彈性應力計算模型[12]，針對初次壓裂過程，建立了考慮孔彈性的水平井分段多簇壓裂裂縫擴展數學模型?；谠撃Ｐ?，研究了裂縫誘導應力（裂縫張開、固體變形產生的誘導應力）、孔彈性應力（壓裂液濾失進入地層產生的誘導應力）的分布情況和大小，明確了孔彈性效應對多裂縫擴展動態的影響規律，并針對孔彈性應力對多裂縫均衡擴展的影響，提出了解決的工藝手段。

1 數學模型

1.1 水平井壓裂多裂縫擴展模型

對于多裂縫擴展問題，地面注入的壓裂液經過井筒和射孔孔眼進入各裂縫。井底壓力、井筒摩阻、射孔孔眼摩阻、裂縫入口壓力四者組成的壓力、流量系統滿足：

其中

式中pw表示井底壓力，Pa；pin,k表示第k簇的入口壓力，Pa；pperf,k表示第k簇的射孔摩阻[21]，Pa；pt,k表示跟端到第k簇的井筒流動摩阻，Pa；QT表示總注入排量，m3/s；nf表示射孔簇數；ρ表示壓裂液密度，kg/m3；Qin,k表示第k簇的入口流量，m3/s；nk表示第k簇的射孔數；dk表示第k簇的孔徑，m；K表示無量綱流量系數。

在圖1-a所示坐標系下，采用三維位移不連續法計算巖石變形。裂縫誘導應力與縫寬的關系式為：

圖1 水平井壓裂裂縫擴展模型示意圖

其中

式中Δσs表示裂縫誘導應力，Pa；Cs表示格林函數，Pa/m；A表示已開啟裂縫的面積，m2；w表示裂縫寬度，m；（x',y',z'）表示源點坐標；（x,y,z）表示場點坐標；Eu表示巖石不排水條件下楊氏模量，Pa；υu表示巖石不排水條件下泊松比，無因次。

假設孔隙壓力擴散尺度遠小于裂縫尺寸，運用一維壓力擴散方程、Dontsov 孔彈性應力計算模型[8]，裂縫面法向的孔彈性應力計算式為：

影響源產生的孔隙壓力變化量（Δpp）是孔彈性應力的根源。裂縫面處孔隙壓力數值上等于縫內流體壓力，隨著與裂縫面距離的增大迅速衰減。采用壓力擴散區內的平均孔隙壓力變化量作為影響源的強度，其計算式為：

式中t表示時間，s；τ表示某裂縫單元開始濾失的時刻，s。

縫內流體壓力為裂縫誘導應力、孔彈性應力以及最小水平地應力之和，計算式為：

式中pf表示縫內流體壓力，Pa；σh表示遠場最小水平主應力，Pa。

縫內流動一般采用泊肅葉定律描述，濾失一般運用卡特濾失模型描述[22]。壓裂液縫內流動的連續性方程為：

式中μ表示流體黏度，Pa·s；Cl表示濾失系數，m/s0.5；δ表示狄拉克函數，m－2；(xin,k,yin,k,zin,k)表示第k簇的進液點位置。

假設地層巖石滿足線彈性斷裂力學，當滿足裂縫擴展條件時，裂縫發生擴展，尖端單元更新為已開啟單元，待檢查單元更新為尖端單元（圖1-a）。采用基于尖端漸近解的裂縫擴展準則[23]，計算式為：

其中

式中KIC表示I 型斷裂韌性，Pa·m0.5；K'IC表示KIC的簡化計算符號；r表示距尖端距離，m；E表示楊氏模量，Pa；v表示裂縫擴展速度，m/s。

1.2 網格離散與模型求解

采用固定網格描述裂縫擴展情況，固定網格為正方形單元結構化網格。單元標號為（i,j,k），對應位置為（xi,yj,zk）。網格單元類型包含5 類：注入點、開啟單元、尖端單元、待檢查單元、無關單元（圖1-a）。根據式（7），判斷每一時間步、每個尖端單元是否達到擴展條件，從而更新網格類型。

將所有開啟單元按開啟先后順序依次標號為I，當前時刻單元數量為Ne。式（2）、（3）的離散形式為：

式中wJ表示第J單元的裂縫寬度，m；pf,I表示第I單元的縫內流體壓力，Pa；Cs,IJ表示第I單元對第J單元的裂縫誘導應力影響系數，Pa/m；Cp,IJ表示第I單元對第J單元的孔彈性影響系數，m－1。采用有限體積方法離散流動式（6），即

根據井筒條件計算各簇進液流量：

采用Newton-Raphson方法求解式（10），并與縫內流固耦合方程式（6）、（9）迭代計算各簇流量。流固耦合方程為剛性方程，一般隱式方法需要大量迭代，不利于高效求解，模型計算采用二階精度的Runge-Kutta-Legendre 方法求解[16-17]。圖1-b 展示了裂縫擴展模型的數值求解流程。

將純彈性介質裂縫擴展模型的結果與分層加載應力壓裂物理模擬實驗[24]、penny 裂縫解析解[25]進行了對比，驗證了模型的精度和準確性[16-17]。

為驗證孔彈性介質中裂縫動態擴展的準確性，將模型結果與參考文獻[8]的結果進行了對比。模型驗證采用的參數為：E=18.3 GPa，υ=0.2，α=0.5，KIC=1.85 MPa·m0.5，Cl=7.8×10－5m/min0.5，孔隙度0.134，流體體積模量為2 500 MPa，注入時間1 000 s，注入排量 0.6 m3/min，液體黏度μ=8.4 mPa·s?？p寬、縫內凈壓力沿裂縫半徑的變化如圖2所示，模型結果與參考文獻[8]的結果吻合較好，表明模型可以準確計算考慮了孔彈性效應的裂縫擴展動態。

為進一步驗證孔彈性介質中裂縫動態擴展的準確性，將所建模型結果與有限元法的模擬結果[26]進行了對比。模型驗證采用的基本參數為：E=17 GPa，υ=0.2，α=1，KIC=1 MPa·m0.5，滲透率為0.1 D，注入時間20 s，注入排量0.6 m3/min，液體黏度μ= 0.1 Pa·s。裂縫半徑隨時間的變化如圖3所示，其中不考慮孔彈性的解析解[25]，考慮孔彈性的有限元分析[26]。不考慮孔彈性的模擬結果與解析解極其相近，考慮孔彈性的模擬結果與參考文獻的結果有所差異但不明顯，這是因為模型采用一維壓力擴散假設，而Salimzadeh等[26]采用全三維擴散，因此耦合模型和參考結果存在一定的差異，但并不顯著。綜上所述，所建立的模型可以較為準確地計算考慮了孔彈性效應的裂縫擴展動態。

圖3 本文模型模擬結果與文獻中的有限元方法結果對比圖

2 模擬結果分析

為探究水平井多簇壓裂裂縫誘導應力與孔彈性應力場變化情況，以準噶爾盆地吉木薩爾凹陷中二疊統蘆草溝組頁巖油氣儲層[27-29]為例，建立礦場壓裂地質模型，研究了壓裂裂縫誘導應力場變化規律，以揭示孔彈性效應對裂縫擴展動態的影響規律。裂縫誘導應力、孔彈性應力分別采用式（2）、（3）計算，地應力剖面與裂縫擴展幾何模型如圖4所示。模型基本參數為：地層從上至下依次為“上隔層—儲層—下隔層”，楊氏模量為35 GPa，泊松比為0.2，斷裂韌性為0.5 MPa·m0.5，儲層厚度為40 m，儲層最小水平主應力為60 MPa，上下隔層地應力分別為65 MPa、66 MPa，Biot 系數為0.6，孔隙度為0.1，濾失系數為1.0×10－4m/min0.5，注入時間為120 min，液體黏度為10 mPa·s，射孔孔眼流量系數為0.8，射孔孔徑10 mm，單簇孔數12，簇間距10 m，施工排量10 m3/min。正方形網格單元大小5 m。根據上述參數，計算得到壓力擴散的最大尺寸約為1.73 m，而裂縫單元網格尺寸為5 m，滿足一維壓力擴散適用條件[14]。

圖4 地應力剖面與裂縫擴展示意圖

2.1 多裂縫同步擴展誘導應力分析

根據Dontsov[8]的分析，將裂縫誘導應力與孔彈性應力解耦合，通過濾失系數來計算孔彈性應力的大小，某方向的總誘導應力值為裂縫誘導應力與孔彈性應力二者之和。圖5-a 為5 簇壓裂裂縫形態，各裂縫z坐標分別為－20 m、－10 m、0 m、10 m、20 m。受縫間應力干擾影響，中間裂縫的縫寬、縫長明顯比靠近跟端、趾端的裂縫小。圖5-b、c 中，裂縫誘導應力和孔彈性應力方向相同、大小相似，但圖5-b 中高應力區域呈現“六邊形”，而圖5-c 中孔彈性應力的高應力區大致呈現“矩形”，表明兩種誘導應力的分布特征有明顯差異。

圖5 裂縫形態與誘導應力分布圖

圖6 展示了沿壓裂井、鄰井（兩井共水平面、平行，水平井距200 m）的裂縫誘導應力變化情況。需要注意的是，假設裂縫誘導應力隨距離衰減至0.5 MPa 時為其影響范圍，忽略裂縫誘導應力小于0.5 MPa 的影響區域。圖6-a 中，孔彈性應力的最大值約為1.38 MPa，裂縫誘導應力約3.74 MPa，二者相差2.36 MPa；而在距離中間簇裂縫（z=0 m）80 m 處，二者均降低至1.0 MPa 以下，但裂縫誘導應力數值上仍高于孔彈性應力?？讖椥詰?、裂縫誘導應力分別在34 m、80 m 降低至0.5 MPa，孔彈性應力的影響范圍約為裂縫誘導應力的43%?？讖椥詰φ剂芽p誘導應力的14%～37%（平均24%），對裂縫擴展仍有重要影響。

圖6 沿壓裂井與鄰井的裂縫誘導應力變化圖

圖6-b 中，鄰井由于距離注入點較遠，縫寬較小，裂縫誘導應力最大值降至2.14 MPa 左右，孔彈性應力的最大值約為1.11 MPa，二者相差1.03 MPa；而在距離中間簇裂縫80 m 處，二者均降低至0.5 MPa 以下，但裂縫誘導應力仍然高于孔彈性應力0.3 MPa?？讖椥詰?、裂縫誘導應力分別在z=32 m、z=69 m 時降低至0.5 MPa 以下，孔彈性應力的影響范圍約為裂縫誘導應力的46%；孔彈性應力占裂縫誘導應力的18%～52%（平均33%）。

通過對多裂縫擴展的研究發現，孔彈性應力約占裂縫誘導應力的24%～33%，影響范圍約為裂縫誘導應力的40%，對地應力場演化、裂縫擴展有重要的影響。

2.2 孔彈性應力對裂縫擴展動態的影響

地應力場是影響裂縫擴展的關鍵因素，在2.1 節模擬的基礎上，進行了純彈性介質中的模擬，以揭示孔彈性效應對裂縫擴展的影響，模擬參數均與2.1節相同。為量化孔彈性效應的影響，采用縫寬減少比例（Rw）、縫內壓力增量（Rp）、瞬時進液差異系數（Di）、整體進液差異系數（Dt）作為評價參數，計算式如下：

式中ws、wp分別表示不考慮、考慮孔彈性的縫寬，m；pf,s、pf,p分別表示不考慮、考慮孔彈性的縫內壓力，Pa；Q(t)、Q(t)max、Q(t)min分別表示t時刻各簇的進液流量、t時刻進液最大的流量、t時刻進液最小的流量，m3/min；Vmax、Vmin分別表示進液量最大值、最小值，m3。

根據圖7-a，由于液體濾失進入地層孔隙導致孔隙壓力增大、孔隙體積發生膨脹，相比于純彈性介質，考慮孔彈性效應后縫寬明顯降低。對于水平段跟端裂縫（HF1），考慮孔彈性效應后裂縫入口寬度減少量約為8.6%。圖7-b 為縫內壓力沿縫長的分布情況，考慮孔彈性效應后縫內壓力明顯升高。HF1 在注入點處壓力升高0.53 MPa，由于考慮孔彈性效應后縫寬明顯降低，在240 m 處出現了壓力增量（Rp）為負值的情況。圖7-c～e 中，在考慮孔彈性效應后瞬時進液差異系數升高約6.5%。整體進液差異系數升高約5%。以上結果表明孔彈性應力增強了應力干擾作用，制約了各簇均衡進液、裂縫均衡擴展。

圖7 裂縫動態擴展圖

2.3 單簇射孔數與簇間距對各簇進液的影響

本節在考慮了孔彈性效應時，針對多裂縫非均勻擴展、各簇不均衡進液的問題，研究了不同施工參數下各簇進液情況。

通過調整射孔摩阻，保持各射孔簇進液阻力相近是實現各簇均勻進液的核心。Lecampion 等[30]的研究表明，在水平井多簇壓裂中，各簇的進液阻力主要受射孔摩阻和縫間應力干擾的影響，當射孔摩阻越大于應力干擾時，多裂縫擴展越均衡。圖8-a 為不同簇間距、單簇孔數下整體進液差異系數變化圖。隨著單簇孔數的增加，射孔摩阻減小、限流作用減弱，整體進液差異系數升高。簇間距為10 m 時整體進液差異系數為41.2%，而簇間距為15 m 時整體進液差異系數僅為38.3%。此外，在每簇射孔數目小于6 孔/簇時，由于限流作用較強，因此圖8-a 中的4 種情況對應的整體進液差異系數差別不大，均小于10%；當每簇射孔數目大于6 孔/簇時，射孔摩阻較小，因此裂縫誘導應力干擾、孔彈性應力干擾的作用相對變大，導致各簇進液不均勻。根據圖8-a，當射孔摩阻為3～6 MPa（對應射孔密度為5～7 孔/簇），各簇整體進液差異系數可保持在10%以內，此時認為各射孔簇均勻進液。根據2.1 節結論，總誘導應力數值約為0～5 MPa，當射孔摩阻接近或高于該值時，整體差異系數明顯降低。此外，圖8-a 中紅色、藍色線隨著單簇孔數的增大逐漸向外發散，說明減小單簇孔數可在一定程度上消除孔彈性效應對多簇均衡進液的負面影響。

圖8 不同施工參數下整體進液差異系數變化圖

2.4 施工排量對各簇進液的影響

施工排量對造縫縫寬、縫間應力干擾有重要影響。在簇間距為10 m 的條件下研究了不同排量的各簇進液情況。圖8-b 為不同排量下的整體進液差異系數變化，隨著施工排量增大，射孔摩阻增大，進液阻力逐漸由射孔摩阻主導，整體進液差異系數減小。此外，孔彈性效應加劇了縫間應力干擾，因此在相同排量的情況下，考慮了孔彈性效應的整體進液差異系數更大，各簇進液更不均勻。但隨著排量的增大，射孔摩阻變大，考慮孔彈性效應與否的差異有略微減小趨勢。最后，隨著排量增大至16 m3/min，射孔孔眼摩阻仍然較小，僅為2.5 MPa 左右，因此在12孔/簇下增大排量幾乎不能實現各簇均衡進液。相較于12 孔/簇，在8 孔/簇條件下，整體進液差異系數明顯降低。隨著排量增至14 m3/min，整體進液差異系數減小到10%左右。因此，在12 孔/簇的情況下增大排量不能有效促進均衡進液，此時應考慮減少射孔并結合增大排量等措施來促進均衡進液。此外，圖8-b 中黃色、藍色線隨著排量的增大逐漸匯集，說明增大排量、增大射孔摩阻在一定程度上可消除孔彈性效應對多簇均衡進液的負面影響。

3 結論

針對頁巖儲層壓裂時壓裂液濾失誘發的孔彈性效應的問題，建立考慮孔彈性的平面三維多裂縫擴展模型，研究了裂縫誘導應力、孔彈性應力的大小和分布情況，明確了孔彈性效應對多裂縫擴展的影響規律，指出限流壓裂可相對弱化孔彈性效應對均衡進液的負面影響，主要結論為：

1）孔彈性應力的作用效果與裂縫誘導應力相似，但大小、影響范圍不同。多簇壓裂裂縫擴展過程中，孔彈性應力大小約為裂縫誘導應力的30%，影響范圍約為裂縫誘導應力的40%。

2）孔彈性應力會增加裂縫縫內流體壓力，加劇多裂縫競爭擴展的不均勻性。對于吉木薩爾頁巖儲層，與不考慮孔彈性效應的理想情況相比，考慮孔彈性效應后裂縫寬度降低8%，縫內壓力升高0.5 MPa、瞬時進液差異系數升高6.5%、整體進液差異系數升高5%。

3）增大射孔孔眼摩阻可以相對弱化孔彈性效應對各簇均衡進液的負面影響。單簇孔數小于7 孔/簇時，孔彈性效應的影響相對較??；當單簇孔數為5～7孔即可保證各簇均衡進液；增大排量可以相對弱化孔彈性效應對各簇均衡進液的負面影響。對于單簇射孔數較多的情況，提高排量可能無法提供足夠的射孔孔眼摩阻，導致各簇進液仍不均勻，應當結合提高排量、減少孔數或縫口暫堵等工藝促進均衡進液。