3-PRPS/RRR踝關節康復機器人運動機理研究與試驗

李輝, 寧峰平, 郭輝, 李瑞琴

(1.呂梁學院 礦業工程系, 山西 呂梁 033001; 2.中北大學 機械工程學院, 山西 太原 030051)

0 引言

踝關節康復機器人在我國具有強大的市場潛力。一方面,踝關節比較容易受到損傷,尤其是從事籃球及足球等運動員,另一方面,由于我國人口眾多,具有運動功能障礙需要進行康復訓練的患者較多,需要踝關節康復機器人代替低效率的康復訓練師-患者一對一的康復治療模式[1]。

踝關節功能障礙的一個重要因素是中樞神經系統受損,需要通過刺激中樞神經系統,促進運動系統感知功能的恢復[2],因此必須對患者進行物理治療[3-4]。在治療過程中,患者逐漸恢復踝關節的可運動范圍,增強肌肉的力量,恢復動態平衡,從而逐漸恢復運動功能[5]。

目前踝關節康復機器人現有產品的構型一般為連桿或串聯機構[6-8],這種構型一般存在機構轉動中心與踝關節轉動中心不重合的問題,從而影響康復治療的效果。構型為并聯機構的踝關節康復機器人在設計上就能夠保證機構的轉動中心與踝關節轉動中心始終重合,且并聯機構具有精度高、穩定性強、承載力大的特點[9],十分適合應用于踝關節的康復治療,因此關于這類機構的研究是當前的熱點[10-16]。

除構型可靠外,踝關節康復機器人還應具有可操控性或剛柔軟結合特性,以適宜患者的使用。王海芳等[17]提出一種3自由度的3-SPS/S機構用于踝關節康復治療,并搭建康復治療軟件系統,驗證了該設計方案的可行性。張彥斌等[18]提出一種無運動耦合的兩轉動并聯機構,通過分析其運動學和動力學特性驗證了該機構能夠應用于踝關節康復治療。Ma等[19]提出一種柔性關節的2自由度機構,對柔性關節進行應力分析,驗證了該機構用于踝關節康復治療的可行性。

本文提出一種3-PRPS/RRR踝關節康復機器人,通過閉環矢量法得到機器人的位置逆解,以此為基礎,通過粒子群優化(PSO)算法求解機器人的位置正解,得到機器人的工作空間,推導機構的雅克比矩陣計算機構的奇異位形,通過生物力學建模軟件進行康復訓練仿真,搭建試驗樣機,驗證了該機器人用于踝關節康復治療的可行性。

1 數學建模與自由度分析

圖1 踝關節康復機器人模型Fig.1 Ankle rehabilitation robot model

3-PRPS/RRR踝關節康復機器人如圖1(a)所示,機構簡圖如圖1(b)所示,圖中:Os表示固連在靜平臺上的定坐標系;Od表示固連在動平臺上的動坐標系;Hi(i=1, 2, 3)表示第i條支鏈固定在靜平臺上的滑軌;Ai表示第i條支鏈的滑塊;Bi表示第i條支鏈的轉動副;Ci表示第i條支鏈的移動副;Di表示第i條支鏈與動平臺連接的球副;E1表示垂直固定于靜平臺上的連桿;E2表示與E1固連的圓弧形滑軌;E表示與E2配合的滑塊,能夠在E2上繞z軸滑動;K表示與E固連的轉動副,其轉動軸線為x′軸;桿G1G2通過轉動副K與EK連接,并在G1、G2通過轉動副與動平臺連接,其轉動軸線為y′軸;θi表示CiBi和BiAi的夾角;l1i表示Hi到原點Os的距離;l2i表示桿BiAi的長度;l3i表示桿CiBi的長度;l4表示桿EE1的長度。由圖1(b)可知,3-PRPS/RRR踝關節康復機器人是一種基于并聯機構的康復機器人,由靜平臺H1H2H3、動平臺D1D2D3、3條驅動支鏈AiBiCiDi和1條約束支鏈EKG1(G2)組成。

支鏈14個運動副對應的旋量為

(1)

由式(1)可知,支鏈1不存在反旋量,為一個6自由度支鏈。

支鏈2、支鏈3的運動副對應的旋量分別為

(2)

(3)

與支鏈1相同,支鏈2與支鏈3也是6自由度支鏈。

約束支鏈運動副對應的旋量為

(4)

式中:xOd、yOd、zOd為動坐標原點Od在定坐標系中的坐標值。

由式(4)可知,約束支鏈為一個具有3轉動自由度的支鏈,其轉動中心為動坐標原點Od,故3-PRPS/RRR機構是一個只能繞Od點轉動的3自由度機構,且Od點為人體腳踝的轉動中心。

2 3-PRPS/RRR機構的位置逆解

本文采用閉環矢量法求解3-PRPS/RRR機構的位置逆解。當動平臺繞Od的x′軸、y′軸、z′軸依次轉動α、β、γ角度時,動平臺Di點在定坐標系中的坐標Di為

(5)

式中:Di0=[xDi0yDi0zDi0]T,xDi0、yDi0、zDi0為Di在動坐標系中的初始坐標;R(α,β,γ)為動平臺的旋轉矩陣,

(6)

由圖1(b)幾何關系可得,B1在y軸上的坐標等于D1在y軸上的坐標,B2、B3在x軸上的坐標分別等于D2和D3在x軸上的坐標,因此Bi在定坐標系中的坐標列向量Bi為

(7)

則DiBi的長度l3i,即輸入pi為

(8)

當給定轉角α、β、γ的值時式(8)是可解的,展開式(8),得

(9)

式中:

式(9)即為3-PRPS/RRR機構的位置逆解方程。

3 3-PRPS/RRR機構的位置正解

3.1 正解算法

本文采用PSO算法求解機構的位置正解。

1) 建立PSO的目標函數:

(10)

式中:q1、q2、q3為驅動的輸入參數。

2) 建立PSO算法的適應度函數:

F=|f1|+|f2|+|f3|

(11)

當F<0.001時,所得解滿足要求。

3) 初始化PSO算法參數。PSO算法的速度更新公式和位置更新公式為

v(j)=ω(t)·v(j)+c1·rand()·(pbest-x(j))+c2·rand()·(gbest-x(j))

(12)

(13)

x(j)=x(j)+v(j)

(14)

式中:v(j)為第j個粒子的速度;ω(t)為慣性因子,t為種群已進化代數;c1、c2為學習因子;rand()為介于(0, 1)之間的隨機數;pbest、gbest分別為個體最優位置和種群最優位置;x(j)為粒子的當前位置;ωmax、ωmin分別為慣性因子的最大值和最小值;tmax為種群總進化代數。

PSO算法流程如圖2所示。

圖2 PSO算法流程圖Fig.2 Flow chart of the PSO algorithm

數值解法不同于解析解,一次計算無法得到機構的所有正解,因此在求解時將α、β、γ的取值范圍分為8個卦限,在每個卦限內使用PSO算法求解局部的位置正解,最終綜合8個卦限的計算結果,得到機構的所有位置正解。

3.2 數值算例

給定機構的設計參數,如表1所示。給定Di點在動坐標系中的初始坐標Di0,如表2所示。給定PSO算法的各個參數,如表3所示。

由于動平臺繞x′軸、y′軸、z′軸依次轉動的α、β、γ角度不容易通過觀察得到,將D1在定系中的坐標作為輸出,能夠直觀地顯示正解的正確性。輸入 3組不同的參數,其輸出結果如表4所示,適應度曲線如圖3所示,3組算例對應的位姿分別如圖4～圖6所示。

表1 機構的設計參數Table 1 Design parameters of the mechanism

表2 Di在動坐標系中的初始坐標Table 2 Initial coordinates of Di in the moving coordinate system

表3 PSO算法參數Table 3 PSO algorithm parameters

由圖4～圖6可知,由PSO算法所得的機構位置正解與CAD模型一致,驗證了機構正解的計算方法是正確的,PSO參數的選擇是合理的。

4 3-PRPS/RRR機構的工作空間

3-PRPS/RRR機構的設計參數已給出,如表1所示,假設3條支鏈驅動副P的伸縮量均為-10～10 mm,以0.5 mm為步長,共取得64 000個點,利用位置逆解方程,將前一次的計算結果作為下次計算的初值,通過不斷迭代[20],可得3-PRPS/RRR機構在驅動器許動的范圍內機構的工作空間(動平臺繞x′軸、y′軸、z′軸轉動的角度依次為α、β、γ),如圖7所示。

表4 位置正解算例Table 4 Examples of forward kinematic solutions

圖3 適應度曲線Fig.3 Fitness curves

圖4 算例1的位姿Fig.4 Poses of example 1

圖5 算例2的位姿Fig.5 Poses of example 2

圖6 算例3的位姿Fig.6 Poses of example 3

圖7 機構的工作空間Fig.7 Workspace of the mechanism

由圖7可得:當機構繞x′軸旋轉時α的工作范圍,即踝關節康復機構在進行單一的內翻/外翻運動時的工作范圍為-13.5°～13.5°;繞z′軸旋轉時γ的工作范圍,即踝關節康復機構在進行單一的內收/外展運動時的工作范圍為-21.12°～21.12°;繞y′軸旋轉時β的工作范圍,即踝關節康復機構在進行單一的跖屈/背屈運動時工作范圍為-26.93°～26.93°。

值得注意的是,由仿真模型驗證可知,P副的-10～10 mm許動范圍并不是機構在表1所示設計參數下的最大值,僅為減少計算量,驗證工作空間求解方法的正確性而選取,求解機構的最大工作空間屬于優化設計的工作之一,在此不做討論。

由于圖7不能直觀地表示踝關節康復機構在做復合運動時的工作空間,使用D1點在空間中的活動范圍表示機構的工作空間,如圖8所示。

圖8 D1的工作空間Fig.8 Workspace of D1

5 運動學奇異性分析

奇異位形是機構在其工作空間內的某些特殊位姿,在這些位姿下,機構可能表現出驅動失去對動平臺位姿控制的能力,或動平臺的載荷無法由驅動產生的力所平衡,導致機構整體的運動性能變差,甚至機構本體受到破壞,因此在機構設計時必須考慮奇異位形對機構的影響。本文采用推導雅克比矩陣的方法表示機構的奇異位形。

式(9)等號兩邊平方后對時間求導,得

(15)

(16)

(17)

(18)

若矩陣G存在逆矩陣,則3-PRPS/RRR踝關節康復機構的雅克比矩陣J為

J=G-1Jp

(19)

當|Jp|=0時,該奇異位形屬于1類奇異性,表示存在非零驅動速度,但動平臺無法移動;當|G|=0時,該奇異位形屬于2類奇異性,表示當驅動鎖死時,動平臺依然存在微小的不受控制的運動;當|Jp|=|G|=0時,該奇異位形屬于3類奇異性,表示當驅動鎖死時動平臺能夠移動,當動平臺鎖死時驅動關節能夠運動。

根據3-PRPS/RRR機構的結構特性可知|Jp|必不為0,因此3-PRPS/RRR機構不存在1、3類奇異性,只需要討論機構的2類奇異性,即|G|=0的情況。

矩陣G中元素的變量為α、β、γ的三角函數,|G|=0的表達式為三元非線性方程,無法得到方程的解析解,因此需要使用數值算法計算機構的奇異性。在第4節中,為求得3-PRPS/RRR機構的工作空間,共計算機構64 000個工作點,即計算出了機構64 000種不同的α、β、γ組合。因此以這 64 000個工作點分別為初始值,利用Fsolve函數計算|G|=0的數值解并判定標記,若標記表示結果可信,則求出的數值解為機構的奇異位置,若結果不可信,則表示機構在該點附近無奇異位置。

利用上述方法編寫腳本文件,計算所有工作點后,得到3-PRPS/RRR機構在其工作空間內無奇異位形,機構的運動性能良好。

6 踝關節康復訓練仿真

圖9 坐姿下踝關節康復機器人-人體骨肌耦合系統Fig.9 Ankle rehabilitation robot-human musculoskeletal coupling system under sitting posture

使用AnyBody Modeling System v.7.2生物力學建模軟件對本文所建坐姿下用踝關節康復機構的康復訓練的骨肌系統進行仿真模擬?；贏nyBody軟件中的模型庫,并根據中國成年人人體尺寸標準[21],建立了一個身高為1.75 m,體重為75 kg的成年男性骨肌系統模型,如圖9所示。該模型由頭部,頸部、軀干和右腿(盆骨,股骨,脛骨,髕骨,距骨和足骨)構成,右腿肌肉由169條Hill肌肉束模型進行代替[22]。其中,本文所建骨肌系統模型中的骨骼尺寸、骨骼和肌肉質量以及肌肉強度等建模參數根據文獻[23]中提供的統計學比例參數進行確定,該模型具有一定的統計學意義。

在踝關節康復領域,為有效恢復踝關節附近肌肉的肌肉力量,除了所建踝關節康復機構所能達到的運動范圍需要達到正常踝關節所能達到的最大范圍外,本文所建踝關節還需要在跖屈/背屈、外展/內收和內翻/外翻這3個運動自由度方向上需要設定一定的阻尼,以滿足踝關節康復訓練的要求。依據文獻[24]中對于踝關節3個運動自由度方向上的最大運動范圍和可承受最大被動力矩的描述,設定運動范圍:跖屈/背屈為-20°～20°,內翻/外翻為-13°～13°,外展-內收-25°～25°。同時,為進一步研究對比不同阻尼值下患者的康復效果,阻尼選取0 N·m、10 N·m、20 N·m、30 N·m。

根據設定運動范圍,使踝關節在不同阻尼值下進行跖屈/背屈、內翻/外翻、內收/外展運動,如圖10～圖12所示。仿真得到脛骨前肌、趾長伸肌、趾長屈肌和腓骨長肌這4條肌肉在不同阻尼值下運動時的肌肉激活度,如圖13～圖15所示。

圖10 跖屈/背屈運動Fig.10 Plantarflexion/dorsiflexion motion

圖11 內翻/外翻運動Fig.11 Inversion/eversion motion

圖12 內收/外展運動Fig.12 Adduction/abduction motion

圖13 跖屈/背屈時肌肉激活度Fig.13 Muscle activation during plantarflexion/ dorsiflexion motion

圖14 內翻/外翻時肌肉激活度Fig.14 Muscle activation during inversion/ eversion motion

圖15 內收/外展時肌肉激活度Fig.15 Muscle activation during adduction/ abduction motion

在跖屈/背屈、內收/外展和內翻/外翻運動上,隨著所設定阻尼值的增加,所研究的肌肉激活度也呈現出一定的規律性變化:在跖屈/背屈運動中,脛骨前肌和趾長伸肌的肌肉激活度在背屈階段會隨著阻尼值的增大而增大,而在跖屈階段呈現出相反的趨勢;在內翻/外翻運動中,趾長屈肌在內翻/外翻階段中均被激活,其肌肉激活度在外翻階段會隨著阻尼值的增大而增大,在內翻階段會隨著阻尼值的增大而減小,而腓骨長肌只在外翻運動中被激活,其肌肉激活度均隨著阻尼值的增大而增大;在內收/外展運動中,腓骨長肌僅在外展階段被激活,其肌肉激活度隨著阻尼值的增大而增大,但是對于趾長伸肌來說,其肌肉激活度的變化趨勢與其在跖屈/背屈運動中的變化相同,在內收階段,肌肉激活度會隨著阻尼至的增大而減小,而在外展階段則會隨著阻尼值的增大而增大。

總之,在整個施加運動阻尼的康復運動過程中,各條肌肉總會在某一運動過程中達到較高的激活度,這意味著在這一階段神經對肌肉的募集程度較高,即達到了康復訓練的目的。

7 樣機試驗驗證

搭建3-PRPS/RRR踝關節康復機構的試驗樣機,如圖16所示,驗證機構運動性能及工作空間計算結果的正確性。試驗樣機的設計參數如表5所示。

圖16 試驗樣機Fig.16 The experimental prototype

表5 試驗樣機的設計參數

首先驗證3.2節表4中位置正解的試驗與理論誤差。通過電動推桿驅動動平臺達到算例1～3的指定位姿,如圖17～圖19所示,由于算例3第3卦限正解的γ轉角超出樣機的的極限位置,故該位姿不做驗證,結果如表6所示。

圖17 算例1的驗證Fig.17 Verification of example 1

圖18 算例2的驗證Fig.18 Verification of example 2

圖19 算例3的驗證Fig.19 Verification of example 3

表6 位置正解驗證

不失一般性,給動平臺任一指定兩個位姿,如圖20所示。圖20(a)中,動平臺繞動坐標系原點Od的x′軸、y′軸、z′軸依次轉動20°、10°和5°,代入式(10)求得p1、p2、p3分別為206.18 mm、205.85 mm和174.96 mm,通過電動推桿驅動動平臺達到指定位姿,在該位姿下實測p1、p2、p3的值分別為204 mm,207 mm和170 mm;圖20(b)中,動平臺繞動坐標系原點Od的x′軸、y′軸、z′軸依次轉動0°、-5°和-20°,代入式(10)求得p1、p2、p3分別為194.34 mm、153.50 mm和206.44 mm,在該位姿下實測p1、p2、p3的值分別為191 mm、153 mm和202 mm。

圖20 兩個指定位姿Fig.20 Two specified poses

以上7組數據中,實測值與理論值的誤差范圍為0.33%～2.83%,考慮到零件的裝配間隙和測量誤差,認為該結果是可信的,即本文所提出的位置正/解的求解方法是正確的。

通過尼龍帶將足部固定在動平臺上,如圖21所示,驗證3-PRPS/RRR踝關節康復機構工作空間。試驗人員盡量轉動足部,帶動動平臺進行跖屈/背屈、外展/內收、內翻/外翻和復合運動。在試驗人員足部進行各種運動時,機構均能隨足部運動,表明機構的工作空間滿足人體踝關節的運動范圍。

圖21 工作空間試驗Fig.21 Workspace experiment

機構在跟隨試驗人員足部運動時,編碼器記錄此過程中各個電動推桿的伸縮量,再通過離線編程的方式復現此運動。在機構復現運動時,電動推桿的伸縮量變化如圖22所示,動平臺運動角度變化如圖23所示。由圖22～圖23可知,機構運動平穩,速度無突變和卡滯現象,表明3-PRPS/RRR踝關節康復機構在工作空間內無奇異位形,運動性能優良,能夠帶動足部進行康復運動訓練。

圖22 電動推桿伸縮量變化Fig.22 Variation of the stroke of the linear actuator

圖23 動平臺角度變化Fig.23 Variation of the angle of the moving platform

8 結論

本文提出一種具有3轉動自由度的3-PRPS/RRR踝關節康復機構,且機構的轉動中心與踝關節轉動中心重合。得到如下主要結論:

1) 通過閉環矢量法得到機構的位置逆解,使用PSO算法解算能夠機構的位置正解,通過CAD模型與計算結果對比可知PSO算法參數選擇是合理的,位置正解算法是正確的。

2) 給出一組機構參數,采用數值迭代的方法得到機構的工作空間,且滿足踝關節康復訓練的運動范圍,通過推導出機構的雅克比矩陣,計算機構在其工作空間內不存在奇異位形,表明機構的運動性能良好。本文研究的機構能夠應用于踝關節康復訓練。

3) 仿真結果表明,在康復訓練時,肌肉激活度隨著阻尼的增加而增大,表明使用該機構進行康復訓練是有效的。所建立的坐姿下踝關節康復機構-人體骨肌耦合系統為該機構對真實病人的康復效果提供參考,能夠為患者踝關節康復提供更精準的康復指導。

4) 搭建試驗樣機,給定7組位姿的試驗驗證了位置正/逆解求解方法的正確性;通過足部運動驗證了樣機的工作空間滿足人體足部運動范圍;利用離線編程,使電動推桿驅動動平臺運動,表明機構無奇異位形,運動學性能優良。