基于力矩密度曲線的輕型機械臂的統一優化方法

周翔群,尹海斌,2

(1.武漢理工大學 機電工程學院,湖北 武漢 430070;2.湖北省數字制造重點實驗室,湖北 武漢 430070)

隨著機械臂技術的不斷成熟,其使用場景越來越豐富,如何提高機械臂的動態性能和降低能耗成為研究的主要問題,而機械臂的輕量化設計對于經濟性和動態性能是非常重要的。機械臂輕量化的主要研究方向包含:用輕型材料、少用材料[1]、驅動系統的選擇或優化來匹配最優結構[2]。輕型材料和少用材料都是通過結構優化實現輕量化的目的,通過驅動系統優化主要是通過提升機械臂驅動系統的力矩密度來達到目的。

在結構優化中,鋁合金和碳纖維等具有低密度、高強度的輕型材料被用于設計機械臂[2],但其造價高和工藝不成熟的特點限制了其應用。而通過少用材料的方法容易導致機械臂產生不確定性振動。通過結構優化、軌跡規劃等方法可減少不確定性振動,但并不能夠完全消除柔性振動。

除結構外,驅動系統也是重點研究對象,如電機結構優化、拓撲結構和控制[3]被用來增加電機的力矩密度,但未考慮與減速機的集成。Roos等[4]提出了一種匹配給定負載的最優減速機傳動比的方法。Zhou等[5]提出了一種集成方法來設計輕型類人機械臂,該方法同時優化了結構和驅動系統。Yin等[6-7]用連續的驅動系統變量來快速計算輕型機械臂的全局最優解。

筆者在先前的研究基礎上考慮連續驅動系統變量的同時,考慮了結構變量和運動學分析。通過對連續的驅動系統變量分別采用兩種力矩密度曲線來描述并進行比較,并且還考慮了連桿和關節殼的結構變量?；谶\動學分析,將結構優化用于動態計算中來確定驅動系統設計變量的值,驅動系統設計變量的值與結構參數相互影響。因此,利用力矩密度曲線可以確定驅動系統的質量和慣量,同時驅動系統的質量和慣量用于動態計算中并反復被更新直到問題收斂。最后通過實驗和案例來驗證這種優化方法。

1 結構和驅動系統的統一描述

機械臂的輕量化設計主要有3種方法,分別是只考慮結構優化、只考慮驅動系統優化和綜合考慮結構和驅動系統的優化。為了減少優化中的無序計算,需要一種結構和驅動系統的統一描述,如圖1所示。在圖1中,機械臂結構動力學被描述為:

圖1 結構和驅動系統的統一描述

(1)

式中:M、V和G分別為慣量、非線性和重力相關項矢量。q和τ分別為n個自由度坐標和n個驅動系統的力矩,即q∈Rn和τ∈Rn。

結構動力學用來計算得到驅動系統的額定力矩,表示如下:

ud=S2τrmc

(2)

式中:τrmc為結構動力學計算中所需力矩的均方根;ud為電機工作在額定狀態時驅動系統的額定力矩;S2為安全系數。

額定力矩用于更新第i個驅動系統的質量md,i和慣量Jd,i,在結構動力學計算中其初始值被假定為預估值。為了實現更新,需要獲得額定力矩ud,i與驅動系統的質量和慣量之間的映射關系。根據電機的力矩密度和減速機配對原則[5],映射關系描述為:

mm,i={md-mg}i

(3)

式中:Cm和Cj分別為電機冷卻條件和拓撲結構的常數;ρm和rm分別為電機的平均密度和定子半徑;ζ和η分別為驅動系統的減速比和平均效率;mg和Jg分別為減速機的質量和慣量,mm和Jm分別為電機的質量和慣量。

這些映射關系與驅動系統使用的材料、拓撲結構和技術參數有關。對于特定驅動系統類型,映射關系可以被定義和描述為md,i=F1(ud,i) 和Jd,i=F2(ud,i),其中,F1和F2為映射函數。

映射關系是驅動系統的額定力矩與結構動力學中的質量或慣量之間的聯系紐帶,并能夠使機械臂在質量上統一評估。因此,這個映射函數被用來建立機械臂的統一描述。

2 統一優化方法

基于統一描述,提出一種統一優化的方法。為了闡述這種統一優化方法,機械臂的拓撲結構假設為串聯,如圖2所示。

圖2 具有n個連桿和n個驅動系統的串聯機械臂

2.1 設計變量

(1)結構設計變量us。機械臂結構變量定義如圖3所示。

圖3 第i個連桿的結構尺寸

圖3表示長度為li的第i個連桿的結構尺寸。機械臂中的管和槽的參數定義為設計變量uo=[r1,a1,b1,…,ri,ai,bi,…]。除了管和槽的設計變量uo,結構設計變量us還包括關節殼變量uh,這些變量不是獨立變量,而是依賴于驅動系統的設計變量ud。進一步,連桿的長度變量ul=[l1,…,li,…]也包含在結構設計變量中。因此,結構設計變量被定義為us=[uo,uh,ul]。

(2)驅動系統的設計變量ud。本文驅動系統的設計采用模塊化的方法來提高設計效率,圖4展示了模塊化關節的詳細配置。驅動系統安裝于關節殼中,因此,關節殼變量uh與驅動系統的設計變量ud有關。后者為驅動系統的額定力矩,它被描述為ud=[ud1,ud2,…,udi,…],前者為關節殼的相關結構尺寸并被定義為:

uh=[Rh1,Wh1,δh1,Δh1,…,Rhi,Whi,δhi,Δhi,…]

(4)

在額定力矩作用下,考慮到強度和剛度約束條件,厚度尺寸(δhi和Δhi)根據先前的研究確定[8]?？紤]減速機的裝配間隙以及輕量化的目標,關節殼的半徑和寬度描述為:

(5)

式中:Rgk和Wgk分別為第k個候選驅動系統的減速機的最大半徑和寬度;當第i個關節是T或者H類型時,δ對應地被給定為δT=1(δH=0)或者δH=1(δT=0)。

驅動系統的減速機尺寸與其額定力矩相關,但在優化中不需要連續映射減速機的尺寸。只利用其額定力矩的范圍來決定減速機的尺寸(Rgk和Wgk),描述為:

Td(k-1)

(6)

式中,Tdk為第k個候選驅動系統的額定力矩。

根據式(4)～式(6),uh和ud的關系被描述為:

uh=Fc(ud)

(7)

因此,機械臂的設計變量主要由矢量X=[us,ud]表示,其中,us=[uo,uh,ul]和ud分別為結構和驅動系統的設計變量。

2.2 設計條件和約束

為保證機械臂的工作空間、結構強度和剛度不發生變化。因此,在優化中需要設定一些約束條件來限制其變化。而分析這些變化需要提供一些輸入條件,例如負載和軌跡。負載作為設計條件之一標記為b,而且,運動軌跡被定義為抓取和定位操作的關節路徑,它從t=T1時刻的起始位置qs到t=T2時刻的終止位置qe。在輕量化設計中,這些關節軌跡被規劃為平滑曲線來減小所需力矩。于是,這些光滑的軌跡被描述為:

qj(t)=c0+c1t+c2t2+c3t3+c4t4+c5t5

(8)

式中:qj為第j個關節的軌跡;第j個關節軌跡系數被描述為向量Cj=[c0,c1,c2,c3,c4,c5];六維向量可以由6個參數來確定,即分別為起始和終止點的位置、速度和加速度。

考慮關節軌跡,機械臂的工作空間需要滿足以下條件:

≥Cmin

(9)

式中:m為離散點的數量;J(q,ul)為雅可比矩陣;Cmin為最小可接受的全局條件指標GCI[9];q為關節軌跡矢量。

此外,機械臂的結構強度和剛度約束條件可描述為:

S1σm(X)≤σy,S1dm(X)≤dmp

(10)

式中:σm為機械臂的最大等效應力;σy為材料的屈服強度;dm為機械臂最大變形;dmp為最大許可變形;S1為結構安全系數。

2.3 目標函數

機械臂的目標函數描述如下:

minh(X)=h1(us)+h2(ud)

(11)

式中:h1(us)和h2(ud)分別為結構和驅動系統的質量;X為機械臂的所有設計變量。

設計變量需要滿足式(9)和式(10)中所給出的約束條件和設計標準。而且,結構設計變量應該滿足給定的范圍要求。

(12)

其中,ulower和uupper分別為結構設計變量的下限和上限。為了在下面介紹設計方法中簡化描述所有的約束條件、設計標準和給定范圍,采用式(13)表述。

g(us,ud)≤0

(13)

2.4 驅動系統參數的更新方法

(1)單參數更新方法。當連桿的慣量占主導時,驅動系統的慣量也不是影響其自身所需要的力矩的主要參數。當串聯機械臂的連桿具備細長特征時,根據力矩密度曲線md,i=F1(ud,i),只有驅動系統的質量被用來更新是合理的?？紤]到驅動系統慣量的影響,驅動系統的力矩密度曲線被修正為md,i=F(ud,i,Jd,i),可表示為:

(14)

式中:Jd,i為第i個驅動系統的慣量;參數αi為第i個關節軌跡的最大加速度。

由于在計算中只有質量被更新,因此將這種方法稱作單參數更新方法。

(2)雙參數更新方法。為了提高優化設計的精度,在結構動力學中驅動系統的質量和慣性都被考慮更新。因此,質量和慣量能夠依據如式(3)所示的兩條映射曲線來更新。將這種情況稱為雙參數更新方法。

2.5 優化過程和算法

圖5描述了統一優化的流程,其中包括結構分析和動態計算。

圖5 統一優化流程圖

在結構分析中,當驅動系統的設計變量固定時,結構設計變量(us)被更新。在這個模塊中,用ANSYS(non-linear programming by quadratic lagrangian)建立了一個參數化模型并且采用NLPQL算法加載約束條件,計算中,軌跡用于運動學分析來滿足工作空間的需求,負載條件用來建立結構約束。最后,用遺傳算法來搜尋有限元模型中的滿足結構目標的最優解。

3 設計案例與實驗

3.1 原理模型和設計條件

圖6為四自由度串聯機械臂的原理模型,其中,肩部有2個自由度,肘部有1個自由度,腕部有1個自由度和一個抓手。機械臂的最大可達距離為700 mm。在本設計中,關節1為T型驅動系統,另外3個關節為H型驅動系統。連桿2和3采用如圖3所示的標準拓撲結構。同時,連桿1和4僅采用標準拓撲結構的上或下半部分,它們的長度給定為l1=250 mm,l4=130 mm。因此,關于連桿槽、長度和關節殼的設計變量分別表示為uo=[r2,a2,b2,r3,a3,b3],ul=[l2,l3],和uh=[Rh1,Wh1,δh1,Δh1,…,Rh4,Wh4,δh4,Δh4]。

圖6 四自由度串聯機械臂的原理模型

機械臂由材料屈服強度為σy=270 MPa的鋁合金(6061-T6)制造來滿足輕量化的需求,其最大的許可變形量設定為dmp=1 mm。目標負載設定為2 kg,其在末端抓手中作為一個質點。

機械臂的運動學和動力學仿真通過考慮一組軌跡來分析。如圖7所示,機械臂有兩類安裝類型,其由重力矢量g1=[0,0,-1]和g2=[1,0,0]來區別,每個安裝類型的機械臂沿著兩種軌跡移動。因此,機械臂總共執行4種軌跡的運動。

圖7 在地面和墻面安裝下的兩類軌跡

3.2 力矩密度曲線

理論上,驅動系統的力矩密度曲線存在但它依賴于驅動系統的材料、拓撲結構和額定速度。而且,這些力矩密度曲線隨著技術的發展而改進或變化。因此,基于一組反映當前技術的候選驅動系統的數據,本研究采用擬合曲線方法來給出驅動系統的力矩密度曲線。

圖8 候選電機和諧波減速機的技術參數

驅動系統的質量md,慣量Jd,額定轉矩ud分別由式(3)或式(14)計算,結果如表1所示。因此,7個待選驅動系統的參數由兩種方法獲得并用來擬合驅動系統的力矩密度曲線。

表1 候選驅動系統,電機和減速機的參數

選定驅動系統的力矩密度曲線矩如圖9所示,雙參數方法能夠獲得兩條曲線md=F1(ud)和Jd=F2(ud),單參數方法由一條曲線md=F(ud,Jd)描述。md曲線均坐落于質量-力矩平面,Jd曲線坐落于慣量-力矩平面。兩種方法的md曲線幾乎重合,但用最大轉動慣量計算標記為A7的候選驅動系統時兩者之間最大的差值大約為4.5%。

圖9 選定驅動系統的力矩密度曲線

3.3 仿真結果討論

為了評估結構強度和剛度約束,選擇驅動系統、結構安全系數。安全系數被分別設定為S1=2和S2=1.3。此外,誤差條件e被設定為0.000 1,Cmin被設定為0.28。

連桿設計變量的初始值和范圍如表2所示。此外,在負載條件下給定結構參數初始值的機械臂伸展到極限位置時,采用靜力學估算驅動系統的初始值如表3所示。在兩種設計方法中,驅動系統初始設定為相同的部件,采用符號A代表,并且分別用相應的符號M和H標記電機和減速機組成。雖然驅動系統初始設定部件相同,但是兩種方法的計算不同,優化中它們的表征參數即設計變量ud是不同的。

表2 連桿設計變量的初始值和范圍 mm

表3 驅動系統設計變量的初始值

表4給出了關節殼設計變量的優化值,根據先前的研究[8]和式(5)確定的結果。

表4 關節殼的設計變量的最優值[8]

表5列出了連桿設計變量在兩種方法中收斂的最優值與實驗值。對于這兩種方法,最優值幾乎相同并且結果表明在一定精度條件下單參數方法能夠替代雙參數方法。實際中,由于兩種方法都考慮了冗余度而且結果比較接近,因此,兩種方法中的最優值都能夠為實驗中使用值提供參考。

表5 連桿設計變量的最優值 mm

機械臂有4個關節,每個關節的驅動系統設計變量采用了兩種方法計算,這樣就有8條收斂曲線。因為結構變量幾乎不影響末端關節驅動系統變量,所以末端關節的驅動系統設計變量比其他關節收斂更快。

表6列出了驅動系統設計變量在兩種方法中收斂的最優值和實驗值。在兩種方法中,驅動系統設計變量的收斂最優值幾乎相同,如最優值16.24(A5,A6),這代表了最優值位于曲線上候選驅動系統A5和A6的額定力矩之間。

表6 驅動系統的設計變量最優值

將上述優化結果作為輕量化機械臂樣機制作參數,由于所選的電機和驅動器所組成的驅動系統離散分布于擬合曲線。在曲線上力矩接近或者超過最優值的候選驅動系統被選為最優部件,這樣能提供足夠的功率以滿足更大范圍任務需求。因此候選驅動系統A6被選擇為關節1的最優部件。

圖10為機械臂的質量在兩種方法中的收斂結果和在實驗中的實際值。兩種方法的收斂結果幾乎相同,收斂的最優值分別為7.636 kg和7.583 kg。兩種方法中機械臂的質量分別減輕了20.1%和20.7%。但是實驗樣機總質量是7.914 kg(比機械臂的初始質量減輕了17.2%),結果表明,使用驅動系統連續變量的統一優化設計能夠實現全局優化并獲得更輕的機械臂。且統一優化設計迭代14次就能收斂,能夠提供更快的高效計算。

圖10 機械臂的質量收斂圖

3.4 實驗結果和討論

基于優化結果制造了所設計的輕量化機械臂的實驗樣機,如圖11所示。

圖11 實驗樣機及測試過程

在測量中,實驗樣機運動軌跡與設計給定的運動軌跡相同,測量所得的實驗力矩的RMS值分別為16.48 N·m, 19.12 N·m, 10.57 N·m和2.38 N·m。結果表明設計方法是有效的并且實驗樣機安全。而且,優化設計讓4個關節的力矩RMS值分別減少了43.4%,34.3%,50.5%和79.6%。

此外,輕量化設計會使機械臂變得柔性;因此,末端執行器的變形量用來核查所設計的機械臂的剛度是否滿足剛度約束條件。在本研究中,使用ICP加速度計(356A03)和數據采集儀來獲得末端執行器的振動加速度。并且將測量的加速度數據在測試中被轉化為位移,結果如圖12所示。

圖12 在局部坐標系{4}中的振動加速度A和位移D

圖12(a)為在局部坐標系{4}中的振動加速度,圖12(b)為利用積分運算將局部振動加速度變換得到的局部振動位移。全局振動位移變換公式如下:

0D=0T4(q)4D

(15)

其中,0D=[0Dx,0Dy,0Dz]和4D=[4Dx,4Dy,4Dz]分別為全局和局部振動位移;0T4為同一變換矩陣;q為關節運動軌跡向量。

表7為局部坐標系{4}下和全局坐標系{0}下測量的最大振動位移。在局部坐標系中,振動位移最大值分別是0.528 5 mm,0.282 9 mm和0.218 4 mm。這些局部值轉化為全局值分別為0.268 3 mm,0.151 4 mm和0.528 7 mm。因此,所有振動位移的最大值都小于優化中使用的最大允許變形量dmp=1 mm。結果表明所設計的輕量化機械臂的剛度滿足剛度約束條件。

表7 在局部坐標系{4}和{0}坐標下測量點的最大振動位移

4 結論

基于力矩密度曲線提出了一種新的機械臂輕量化方法,通過對機械臂的所有部件在質量上進行統一評估計算,能夠快速計算獲得最優設計結果。該優化結果被用來選擇部件并試制了實驗樣機,實驗結果表明了統一優化設計的有效性。