渦流檢測中檢測線圈感應電動勢的解析計算

辛楠

安徽公安職業學院，安徽合肥，230031

0 引言

渦流檢測技術是常用的無損檢測技術的一種，能在不破壞被測試體的情況下檢測其可能存在的缺陷，因此得到廣泛應用。1873年，麥克斯韋首次用數學表達式描述了電磁場理論，建立了完整又嚴密的電磁場基礎，麥克斯韋方程組也是渦流檢測的理論基礎[1]。文獻[2]和文獻[3]在渦流檢測解析計算方面做了很多研究，對于線圈正對導體平面的模型、線圈正對直角導體邊緣的模型等均進行了解析計算方法的研究。文獻[4]通過級數展開的方法計算了檢測線圈正對導電平板時的瞬態渦流響應。

雷銀照在時諧電磁場解析計算領域做了大量研究[5]。陳興樂研究了放置在金屬管道外的多匝鞍形激勵線圈的渦流解析解以及探頭線圈的感應電動勢的數學表達式[6]，然后建立了圓柱形線圈位于圓盤狀導體上方的模型，采用拉普拉斯逆變換的方法推導出渦流場的時域解析解，并根據結果提取了測量導體厚度的特征量[7]，后來，陳興樂針對任意放置在金屬管道外的激勵線圈模型在脈沖渦流場下的時域解析解進行了計算[8-9]。文獻[10]通過解析計算方法得到了渦流傳感器的阻抗表達式，與仿真結果一致。

1 渦流檢測模型的建立

如圖1所示，本文中使用的線圈模型是一個激勵線圈和一個檢測線圈，激勵線圈位于檢測線圈正上方。將檢測線圈與激勵線圈分離，且激勵線圈位于檢測線圈的正上方，檢測線圈靠近被測試體，檢測線圈受到激勵場的影響就會變小，而感生渦流變化對檢測線圈的影響就會更明顯地體現出來，平板導體相對于檢測探頭可以看作無限大。采用有限元仿真軟件Maxwell進行渦流檢測仿真分析，整個模型的參數如下：激勵線圈內徑為9mm、外徑為15mm，檢測線圈內徑為2mm、外徑為5mm，平板導體的尺寸為100mm×100mm×25mm，相對磁導率為1，金屬導體電導率為1300000S/m，線圈均為銅制材料，提離距離0.2mm。

圖1 渦流檢測模型圖

2 激勵線圈矢量磁位的解析計算

要求解激勵線圈放置在空中時的矢量磁位表達式，首先求解單匝線圈放置在空氣中的矢量磁位表達式。如圖2所示，線圈位于平板導體的幾何中心，且平板導體與線圈都是軸對稱的，所以整個系統是軸對稱的。在分析計算時，選用柱坐標系，線圈的軸與柱坐標系的Z軸重合。單匝線圈會將導體上方空間區域分成上下兩部分，將線圈上方的區域記為Ι，線圈下方、導體上方的區域記為Ⅱ，導體下方的區域記為Ⅲ。

圖2 單匝激勵線圈和平板導體

由麥克斯韋方程組可以推導出區域的矢量磁位表達式為：

上面考慮的是單匝線圈置于空氣中時矢量磁位的表達式，假設多匝線圈的內外半徑分別為和，設和分別為激勵線圈的上下邊界。多匝線圈可以近似地看作是單匝線圈在不同高度和半徑處的線性組合，因此對于多匝線圈的矢量磁位表達式可以寫作：

將式（1）代入式（3）中可得：

連立方程求解得到：

3 檢測線圈感應電動勢的解析計算

根據感應電動勢計算公式，激勵線圈在檢測線圈中產生的感應電動勢為：

將式（7）代入式（13）中可得：

此時，整個系統是均勻、線性且各向同性的，因此整個系統必定是滿足疊加定理的。我們可以將導體想象成由無數個具有矩形截面的體電流元組成，而每一個體電流元都可以看作一個單匝線圈。取任意位置處的體電流元為研究對象，將其看作是單匝線圈，截面是一個矩形，設該截面面積為。體電流元的上方記作區域，體電流元的下方記作區域，根據上一節的式（1）和（2）可以得到該體電流元在區域和區域中產生的矢量磁位：

我們已經知道了體電流元在檢測線圈中產生的矢量磁位分布，設該體積為的體電流元在檢測線圈中產生的感應電動勢為，根據感應電動勢計算公式可得體電流元在檢測線圈中產生的感應電動勢為：

則整個導體在檢測線圈中產生的感應電動勢為：

檢測線圈中總的感應電動勢則為：

直接手工計算上式十分困難，本文采用的是python的Scipy模塊和Numpy。由貝塞爾函數的遞推性，將式（21）進一步展開為：

要計算導體內的渦流在檢測線圈產生的感應電動勢，需要對平板導體進行劃分，由于渦流主要集中在導體近表面和中心的區域，因此可以選取半徑30mm、深度20mm的區域為計算區域來劃分體電流元，以徑向為0.2mm、深度為0.2mm的間隔劃分計算區域，則可以劃分為150*100個體電流元，由于是以導體表面的中心點為坐標原點，所以 和 的取值范圍分別為(0,30)、(-20,0)。理論上劃分得越精細，算出來的結果也就越精確。將式（17）的渦流密度表達式代入式（24）可得：

于是，檢測線圈的感應電動勢經過數值計算得到的結果為：

檢測線圈感應電動勢的幅值為4.72mV，通過仿真計算得到的結果為4.9mV。而之所以存在誤差，是因為我們在表達激勵線圈的電渦流密度時，使用了近似的表達式，另外，在選擇計算區域來劃分體電流元時與實際情況也存在出入，造成了計算與仿真結果之間的誤差。

4 結論

本文主要介紹了單匝激勵線圈置于空氣中時，線圈上下區域的矢量磁位表達式，再結合第一類與第二類邊界條件得出導體部分的矢量磁位。將導體假設為由無數個可視為單匝線圈的體電流元組成，便可推導出體電流元在檢測線圈中產生的矢量磁位表達式，根據感應電動勢計算公式可得單個體電流元在檢測線圈中產生的感應電動勢，再對整個導體體積進行積分得到檢測線圈的感應電動勢的解析計算公式，并利用仿真驗證了該積分解析模型的準確率達到了95%以上。