細長旋成體腔內下落兩自由度建模分析

梁 磊，楊學軍

（北京宇航系統工程研究所，北京，100076）

0 引言

針對外掛物分離問題的工程方法、半經驗方法、計算和試驗方法已有較多研究［1-3］。大多數研究關注亞聲速或超聲速下的外部下落過程，較少關注從腔室內的下落問題，流動結構的很多參數以及在下落過程中涉及的物理現象導致問題變得非常復雜。

考慮細長體從矩形腔室內分離落入亞聲速和跨聲速流動相關的空氣動力學和運動問題，傳統的建模方法中，腔室內細長體下落后進入外部流場中，需要使用CFD仿真技術，往往帶來計算周期長和計算資源消耗較大的問題。本文基于一種快速且計算成本較低的方法，忽略滑移面的位移并通過細長體理論來描述流動，從而分析評估腔室內下落的物理現象。

首先，針對腔內運動過程，在假設升力較小的情況下得到運動方程的解析表達式；其次，分析腔室外的下落過程，根據典型情況討論了俯仰角度α(t)和縱向坐標Yc(t)的變化規律；然后將預示結果與參考文獻中的試驗數據進行比較。

1 基本方程

給定坐標系OXYZ固定于腔室，坐標系oxyz固定于細長體重心，如圖1 所示，OZ軸（圖上未標出）通過原點O垂直紙面向外，oz軸（圖上未標出）通過原點o垂直紙面向外。oxy系相對OXY系傾斜形成攻角α(t)，此系可繞oz軸以角速度ω(t)=dα/dt旋轉。在此系中，重心（CG）坐標為Xc=Zc=0 和Y≡Yc(t)。定 義H(X，t)=Yc-αX為旋成體軸的縱向坐標。根據細長體理論量綱分析方法，引入無量綱變量：

圖1 下落過程示意Fig.1 Schematic of store separation

其中，將細長體半長細比δ視為很小的參數。橫截面速度和坐標分別用δU∞和標準化處理。流向和軸坐標采用無量綱化，而壓力擾動p用標準化處理。

由文獻［3］可知，細長體縱向和俯仰運動方程表示為

式中x0，xe分別為細長體頭部和底部的坐標；m，I分別為細長體質量和轉動慣量；Φ為細長體近層流場流動勢?？紤]方程的初值問題并假設重心位置、攻角和細長體速度在初始時刻t=0時分別為

方程（2）中的dVa/dt和dωa/dt體現了橫向流動勢的時間導數，而橫截面上非定常伯努利方程的壓力計算中需要這個導數。L(t)和M(t)項是橫向流速平方的積分，而此速度也是橫向流動內層問題伯努利定律中計算壓力所需的，是橫向流Φ的梯度的平方。

2 計算腔內運動過程

作用在腔室內下落細長體上的升力L(t)和俯仰力矩M(t)由文獻［3］推導出。表示為沿著細長體軸的積分，而被積分項表達為參數q1（x，t）=0.5a/（H0-H）和q=0.5a/H的冪級數，其中H0為腔室深度。上標“+”表示腔室內的參數，忽略函數(t) 和(t) 中O(q3，)階精度項，表示為

式（6）積分后的運動軌跡為

式（11）和式（12）右側的系數來源于初始和邊界條件，第1 項體現了重力效果，第2 項體現了初始條件，第3項體現了邊界條件和初始條件。忽略高階精度項，以上方程表示為顯示解析解的形式：

式（13）表明當細長體在沒有邊界約束的靜態流體中移動時，重心坐標Yc(t)和俯仰角度α(t)是時間的拋物線函數。

3 計算腔外運動過程

如果細長體完全在腔室外并進入外部自由流中。升力和俯仰力矩再次表示為沿細長體軸的積分，被積分項表達為參數q=0.5a/H的冪級數。這種情況下，升力和俯仰力矩的方程可以簡化為以下形式：

式中ae為底部半徑，ae=a(xe)；尖鼻錐a(x0)=0。代入到軌跡方程式（6）中，給出線性常微分系統為

考慮式（17）的初值問題，并假設t≥t0時細長體完全在腔室外，則初始速度、法向位置和俯仰角分別為

從式（6）可知，角速度ω和函數W(t)=Vc(t)-α(t)是解耦的方程的解：

其中的常系數為

求解常微分方程得到重心坐標和俯仰角度等參數。

4 結果與討論

4.1 標準試驗模型與數據介紹

下落試驗［4］馬赫數范圍是0.12 ＜Ma＜0.23。長508 mm、寬521 mm 和高102 mm 的矩形腔室安裝在風洞測試段的頂壁面上。模型半徑=9.5 mm的旋成體，鼻部長度=90 mm（見圖2）。模型B1N1 為長305 mm的尖頂拱圓柱。質量m=111.85 g，轉動慣量I=0.001 4 kg·m2，且質心位置=156 mm。在這些試驗中，細長體從風洞腔室內下落。

圖2 風洞中自由下落試驗的模型Fig.2 Models for free drop tests in the wind tunnel

4.2 計算結果與試驗比較

B1N1 模型及來流條件U∞=62.7 m/s 及U∞=40.8 m/s時的位移與角度曲線見圖3～4。

圖3 B1N1模型及來流條件U∞=62.7 m/s時的位移與角度曲線Fig.3 Model B1N1 displacement and angle curve at initial condition U∞=62.7 m/s

圖3a 和圖4a 為B1N1 模型質心軌跡的預示（實線）和試驗（符號）比較情況。由圖3可知，對于適度的攻角，計算結果和試驗數據非常接近。但是如果細長體以相對較大的攻角α進入外部流域時，曲線偏離了試驗數據。圖3b 和圖4b 比較了預示（實線）和試驗（符號）的攻角α(t)歷程。表明理論與試驗非常一致。計算表明α的初始增長可能與由重力耦合銷釘的釋放機制引起的初始俯仰推動力相關。

圖4 B1N1模型及來流條件U∞=40.8 m/s時的位移與角度曲線Fig.4 Model B1N1 displacement and angle curve at initial condition U∞=40.8 m/s

續圖4

5 結論

本文研究得出以下結論：

a）討論了細長旋成體從矩形腔室內下落進入外部自由流的兩自由度縱向和俯仰運動的建模過程。細長體動力學方程包括氣動力與力矩，而力與力矩通過細長體理論近似解析預示。在下落過程的不同階段采用小擾動理論進行分析，得到了細長體在腔室內和腔室外典型情況下，軌跡方程及其積分的簡化形式。這些解析解體現了細長體軌跡對流動和細長體特性的顯式依賴關系，解釋了下落過程中的物理現象。

b）針對腔內下落數值計算，通過與試驗數據比較可知計算結果與試驗一致性較好。此外，試驗中觀察到的細長體俯仰運動細節等均驗證了本文的理論模型。