“誤中悟”教育理念下的一輪復習教學實踐

朱賢良 成輝

【摘? 要】? “誤中悟”教育理念將學生學習過程中產生的錯誤看成是一種具有開發價值的教學資源，鼓勵并引導學生從錯誤中去發現規律、重構真理.“誤中悟”教育理念以培育數學核心素養為導向，圍繞學習主題來創設適切的情境，從“誤區”與“霧區”出發，預設聚焦目標性“大問題”的層層遞進的子問題串，通過聯系、比較、試誤、調整、重構等過程，使認識從模糊、零碎、淺表逐步進階到清晰、整體、深刻.其課堂活動主線由“博學格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務本”六個環節構成.

【關鍵詞】? 誤中悟;導數;幾何意義;切線

傳統意義上的高三數學一輪復習課一般包括主干知識梳理、典型例題精講和變式練習鞏固等幾個教學環節，其中主干知識梳理還往往得不到重視，復習課徹底淪為“題型+方法+練習”的單一模式.這樣的復習方法在學生的數學能力與核心素養的培養方面存在著相當程度的矛盾和缺陷［1］：一方面，數學課堂除了教師的講解和學生簡單的操練之外，沒有充分供學生探究和反思的時間與空間；另一方面，在平常的學習過程中，不少學生雖然長時間在數學題海中浮沉，但對于一些新穎情境的試題尤其是對數學能力要求較高的試題仍然是束手無策、一籌莫展.那么，一輪復習中究竟應該怎樣設計教學流程、開展教學活動，才能有效提高教學效率、培育學生的數學核心素養呢？

從課堂教學出發，筆者所在教研團隊進行了多年的理論學習與實踐探索，提出了“誤中悟”教育理念.“誤中悟”教育理念倡導懷疑和批判精神，善待錯誤，將學生學習過程中產生的形形色色的錯誤看成是一種具有開發價值的教學資源，鼓勵并引導學生從錯誤中去發現規律、重構真理.“誤中悟”教育理念以培育數學核心素養為導向，圍繞學習主題來創設適切的情境，從“誤區”與“霧區”出發，預設聚焦目標性“大問題”的層層遞進的子問題串，敏銳、及時地捕捉錯誤.在具體的課堂教學過程中，“誤中悟”教育理念以問題引領學生經歷“博學格物”“審問疑霧”“慎思試誤”“明辨頓悟”“篤行溫焐”“反思務本”六個環節，通過聯系、比較、試誤、調整、重構等過程，使認識從模糊、零碎、淺表逐步進階到清晰、整體、深刻［2］.本文以“導數的幾何意義”一輪復習第一課時為例，設計“誤中悟”教育理念下的復習教學.1? 案例設計1.1? 曲線的切線的知識背景與教學要求1.1.1? 曲線的切線的知識背景［3］

初中平面幾何中對圓的切線作了這樣的定義：如果直線和圓有惟一公共點，則稱直線與圓相切.這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點.

圓是一種特殊的曲線，上述定義并不適用于一般曲線的切線.比如，圖1中，對于曲線C，直線l1雖然與曲線C有惟一的公共點N，但我們不能認為它與曲線C相切；而另一條直線l2，雖然與曲線C有不只一個公共點，我們還是認為它是曲線C在點M處的切線.因此，以上圓的切線的定義并不適用于一般的曲線.

如圖2，設Q為曲線C上不同于P的一點，這時直線PQ稱為曲線C的割線.隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近越來越逼近曲線C.當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為在點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l稱為曲線C在點P處的切線.

由平面幾何知識可知，割線PQ斜率kPQ=f（x0+d）-f（x0）d.當點Q無限接近點P時，即d趨近于0時，f′（x0）=limd→0f（x0+d）-f（x0）d的值即為曲線y=f（x）在點P處的切線斜率，這也就是導數的幾何意義.所以，曲線y=f（x）在點P處的切線方程為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.

通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于各種曲線.所以，這個變化過程真正反映了切線的本質特征.切線的本質，是在切點附近最接近曲線的直線.在這一點附近，比起用其他直線，用切線近似地代替曲線，誤差最小.函數的表達式千變萬化，但只要可導，就可以在一點附近用一次函數近似地代替，而使得誤差最小.這就是微積分中重要的思想——以直代曲，實現了以簡單對象刻畫復雜對象的目的.1.1.2? 曲線的切線的教學要求與考查內容

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確給出了本知識點的要求：通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義.在近幾年高考中，“導數的幾何意義”屬于高頻考點，考查的基本類型主要包括四類：第一類，直接利用導數的幾何意義，求解曲線在某點或過某點的切線方程；第二類，求解兩曲線的公切線方程；第三類，根據曲線的切線方程或切線條數求參數的取值或范圍；第四類，數形結合，借助“潛伏”的“隱切線”來求解相關問題.從題型來看，本知識點既頻繁在選擇、填空題中作為主角登場，又常在解答題中客串出場.從求解策略來看，解決這類問題的關鍵在于緊抓切點，并求取切線方程.

1.2? “誤中悟”教育理念下的復習教學環節

1.2.1? 博學格物：完善導數的知識體系，并在具體問題中重溫求取切線方程的一般程序數學課堂中創設教學情境，就是呈現給學生刺激性的數學信息，引起學生學習數學的興趣，喚起學生強烈的問題意識，使學生全心投入、全神貫注.一般來說，創設教學情境時要遵循三個基本原則：一是力求真實而自然合理，實現數學與生活的緊密關聯，引領學生使用抽象數學解決具體問題；二是富于趣味而引人深思，學生在問題驅動下更好地理解、內化知識，逐步讓知識轉化為能力與素養；三是促進重構而完善系統，學生為了解決新舊知識之間的認知沖突，需要擴充與完善知識體系.

問題1? 上節課中，我們一起復習了“導數的概念和運算”，那么利用導數這一工具可以解決哪些數學問題呢？（求曲線的切線方程、判斷函數的單調性、求函數的極值與最值、研究函數的圖象與零點、證明不等式等等）

設計意圖? 通過回顧導數一章的知識體系，引導學生對導數的應用形成系統認知.

問題2? 圖3定格的是我國遼寧號航空母艦上艦載飛機滑躍起飛的瞬間，大家是否知道飛機在飛離甲板的那一瞬間，其速度的方向是怎樣的嗎？（速度的方向與甲板相切）

追問1? 在數學學習中，我們曾用過哪些思路來求切線的方程？（函數圖象的切線利用導數法求解，圓的切線借助切線的性質“d=r”解決，圓錐曲線的切線利用“Δ=0”求得）

追問2? 導數與切線有什么關系？（導數值f′（x0）表示曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處切線的斜率，此即導數的幾何意義）

追問3? 求函數圖象的切線方程分幾步完成？（求導函數f′（x）求切線的斜率k=f′（x0）寫出切線的方程并整理）

設計意圖? 借助實際問題引出本節課的復習內容，增強學生應用數學的意識，并引發學生思考高中數學中求取曲線切線方程的思路方法，完善切線問題知識體系.在回顧導數的幾何意義的基礎上，讓學生梳理利用導數的幾何意義求取切線方程的一般程序.例1? 求函數f（x）=x3的圖象在點（1，1）處的切線方程.

變式1-1? 過點P（1，0）作函數f（x）=x3圖象的切線，求切線的方程.

變式1-2? 過點Q（1，1）作函數f（x）=x3圖象的切線，求切線的方程.

師生活動：師生共同完成例1，并總結求取切線方程的“十二字口訣”——抓切點，求斜率；點斜式，寫方程.學生先獨立完成兩道變式題并板演，再進行討論、修正并形成共識.師生共同總結“在某點處的切線”與“過某點的切線”的區別，并完善對上述“十二字口訣”的認知.

設計意圖? 借助實際問題引出本節課的復習內容，并引發學生思考高中數學中求取曲線切線方程的思路方法，完善切線問題知識體系.在回顧導數幾何意義的基礎上，讓學生梳理利用導數的幾何意義求取切線方程的一般程序.

1.2.2? 審問疑霧：探究函數奇偶性對切線斜率的影響，并由此簡化運算過程

維果茨基的“最近發展區”理論將學生的現有發展水平與潛在發展水平之間的區域叫最近發展區，最近發展區又分為自發展水平（通過自身努力可以達成的水平）和助發展水平（需要求助方可達成的發展水平）.“誤中悟”教育理念將自發展水平與助發展水平之間的區域稱為“霧區”.高效地突破“霧區”，需要教師預設目標性的“大問題”及其子問題串，引導學生以數學的視角（即形狀、位置、大小、度量、運算、關系、模型等）來審視具體問題，探求破解之道.

例2? （2016年高考全國Ⅲ卷·文16）已知f（x）為偶函數，當x≤0時，f（x）=e-x-1-x，則曲線y=f（x）在點（1，2）處的切線方程為?? ?.

師生活動：學生思考、討論，明確解題步驟：先求x>0時f（x）的解析式，再求其導數f′（x），進而得到點（1，2）處的切線斜率k=f′（1），最后寫出切線的方程.

追問1? 用GGB軟件繪制某一偶函數f（x）的圖象，再作出圖象在關于y軸對稱的兩點A與A′處的切線（如圖4）.當我們移動點A時，你發現兩條切線的斜率之間有怎樣的關聯？

追問2? 這表明偶函數f（x）在關于y軸對稱的兩點處的導數有什么樣的關系？（互為相反數）你能否用數學表達式來表示這個結論？（f′（-x）=-f′（x））這一結論表明偶函數f（x）的導數f′（x）具有怎樣的性質？（f′（x）為奇函數）

追問3? 你能利用這一發現來重新求解例2嗎？（先求得f′（-1），即可得到f′（1））

追問4? 類似地，觀察奇函數f（x）的圖象在關于y軸對稱的兩點B與B′處的切線（如圖5），你又能得出什么樣的結論？（f′（-x）=f′（x），即奇函數的導數是偶函數）

設計意圖? 在具體問題的求解中，引導學生直觀感知函數的奇偶性對切線斜率的影響，并進行抽象概括，由此發展學生的直觀想象與數學抽象素養.同時，利用所得結論簡化求解切線的過程，重構方法體系.

例3? （2022年新高考全國Ⅱ卷·14）曲線y=lnx過坐標原點的兩條切線的方程為??? 、??? .

師生活動：教師引導學生思考，并明確本題求解的兩個關鍵點：一是“過坐標原點”的切線，切點不明確，必須設出切點坐標；二是需要分別求x>0時曲線y=lnx的切線方程、x<0時曲線y=ln（-x）的切線方程，但結合函數的奇偶性與圖形的對稱性可以判斷，兩條切線的斜率互為相反數，由此可以使運算量減半.

設計意圖? 深化學生對“在某點處的切線”與“過某點的切線”區別的認識，掌握含絕對值函數求導數與切線方程的一般思路，并領會函數的奇偶性與圖形的對稱性對切線斜率的影響.由此，可以培養學生分類討論意識、數學運算與直觀想象素養.

1.2.3? 慎思試誤：以公切線問題為契機，給學生提供深思慎取、大膽試誤的舞臺

桑代克的“聯結—試誤”理論將人類的學習過程定義為刺激與反應之間的聯結，認為知識與技能的獲得必須通過“嘗試—錯誤—再嘗試”這樣的一個試誤過程.錯誤、挫折的刺激，會產生強烈的反應，引起“觀念沖突”，這種刺激—反應的聯結，會觸動心靈，觸及靈魂，刻骨銘心，進而喚起深度學習.試誤需要沉浸式慎思，慎思就是要深思而慎取.學生通過自己的思維活動來仔細考察、思考、分析，充分發揮好奇心與想象力，大膽試誤，積極尋求有效的問題解決方案，借助證據和合理推理進行有效論證.這一系列過程可以培養學生分析問題的能力，使其學會用數學的思維思考現實世界［4］.

例4? （2016年高考全國Ⅱ卷·理16）若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，則b=??? .

師生活動：學生動手練習，與教師預想的一致，出現了一類典型錯誤：由y=lnx+2得y′=1x；由y=ln（x+1）得y′=1x+1.設切點坐標為（x0，y0），則k=1x0=1x0+1，無解.設計意圖? 在學生的易錯點處精心設置問題，可以充分暴露學生在知識掌握與思維邏輯上的缺陷，從而給教學活動提供良好的契機.1.2.4? 明辨頓悟：引導學生明辨錯解中的不合理之處，形成對問題求解的正確認知教師要鼓勵學生積極發表自己的意見，展示試誤的結果，并合作交流，在互動中明辨問題，批判質疑，碰撞思維，擦出思想火花，互啟靈感，誘發頓悟，生成發現.教師還要引導學生給出合理的評判和嚴謹的推理論證過程，得到定理、法則、公式的確認，然后用自然語言、圖形語言、符號語言予以表達.如此，可培養學生解決問題的能力，使其學會用數學的語言表達現實世界［4］.問題3? 所謂公切線，即這條直線與兩條曲線都相切.換而言之，兩條曲線的所有切線中相同的直線即為公切線，求公切線問題實際上就是去尋找兩條曲線的所有切線中重合的直線.因此，既然是公切線，例4中曲線f（x）的切線斜率與g（x）的切線斜率自然相等，但k=1x0=1x0+1無解，難道曲線f（x）與g（x）沒有公切線？圖6

追問1? 以我們熟悉的兩圓的公切線為例.如圖6所示，當兩圓相外切時，公切線有三條：直線a與兩圓相切于不同的兩點A1，A2，直線b與兩圓相切于不同的兩點B1，B2，直線c與兩圓相切于同一點C.由此，你能反思上述例4的解答過程有什么問題嗎？（公切線與兩曲線未必相切于同一個點，可能切于不同的兩個點）

追問2? 在例4中，直線y=kx+b與曲線y=lnx+2和y=ln（x+1）是相切于同一點，還是不同的兩點呢？（不確定）方程k=1x0=1x0+1無解說明什么？（公切線與曲線f（x），g（x）不可能相切于同一個點）

追問3? 上述例4的解答用一種特殊情況代替了一般性的情形，所以導致方程無解.在具體解題中，我們要特別注意思維過程的嚴密性，否則就會產生類似這樣的錯誤.現在，當我們不能確定兩切點是否是同一個點時，應該怎么辦？（分別設出兩個切點）由此，你能給出例4的正確的解答過程嗎？

師生活動：教師引導學生認識公切線的實質，并對比兩圓的公切線的各種情形，引發學生反思與討論，認識分析錯解產生的根源，并在此基礎上形成正確的求解過程.解? 設直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切于點（x1，lnx1+2），而y′=1x，故切線的斜率k=1x1，切線的方程為y-lnx1-2=1x1（x-x1），即y=1x1x+lnx1+1.

再設直線y=kx+b與曲線y=ln（x+1）相切于點（x2，ln（x2+1）），而y′=1x+1，故切線的斜率k=1x2+1，切線的方程為y-ln（x2+1）=1x2+1（x-x2），即y=1x2+1x+ln（x2+1）-x2x2+1.

因為兩條切線重合，故k=1x1=1x2+1，b=lnx1+1=ln（x2+1）-x2x2+1，解得x1=12，x2=-12，所以b=ln12+1=1-ln2.

設計意圖? 從學生熟悉的兩圓的公切線入手，可以引發較為強烈的刺激，促使學生進行自覺分析，辨明錯解產生的根源，并最終形成公切線問題的正確求解思路.

1.2.5? 篤行溫焐：學以致用，鞏固與強化對公切線問題求解程序的認識

我國明代著名思想家王陽明的“知行合一”思想認為，“知是行之始，行是知之成”“知是行的主意，行是知的功夫”.在學生獲得頓悟后，教師要精心設計適當的變式訓練，注重基礎性、探究性、實踐性、綜合性的練習，體現有關、有用、有趣，鞏固“誤中悟”的成果，將所悟及時“小火慢燉” 即“溫焐”，使其固化為本領和素養.當然，鞏固訓練要有梯度，漸次漸進、逐層逐級、循序漸進.訓練要有溫度，用心用情個性化量身定制，切忌“大火爆炒”“直通高考”［4］.

例5? 求曲線f（x）=ex-1與曲線g（x）=elnx的公切線方程.

變式? （2020年高考全國Ⅲ卷·理10）若直線l與曲線y=x和x2+y2=15都相切，則l的方程為（? ）.

A.y=2x+1??? B.y=2x+12

C.y=12x+1? D.y=12x+12

設計意圖? 篤行溫焐旨在深化理解已學知識，厚積活動經驗，焐熟技能方法，培養學生應用遷移、問題解決能力.

1.2.6? 反思務本：梳理、總結學習過程，深化對知識與思想方法的理解

元認知理論認為，反思性學習就是學習者對自身學習活動的過程以及活動過程中所涉及的有關信息、思維、結果等學習特征的反向思考.學生主動反思本節課的學習過程、建立知識探究框架、觸及數學本質、凝練思想方法；教師在學生反思的基礎上對學生進行評價指導，可以借助思維導圖工具呈現認知結構，回溯經歷與經驗，回憶結果與結論，回顧過程與方法，回味情感與價值.反思務本就是務元務本，達到深入淺出，厚積薄發，由厚到薄，大道至簡的境界［4］.

問題4? 本節課，我們一起復習了“導數的幾何意義”這一知識點，你有哪些新的認識？

師生活動：教師引導學生結合本節課的學習過程，整理自己對知識與思想方法的新認識，并梳理自己的學習成果.學生對“導數的幾何意義”的新的感悟包括：求切線方程的核心是抓住切點；注意“在點A處的切線”與“過點A的切線”的區別；曲線“在點A處的切線”是唯一的，“過點A的切線”可能有多條；當切點未知時，要先設出切點；求公切線時，要分別設出兩個切點……

設計意圖? 經過淺出、薄發、聚合形成創新意識、科學精神、文化認同，領悟數學思想和數學方法，悟育數學核心素養.

2? 教學反思

一輪復習不是對學過的舊知識的簡單重復，通過復習要使學生加深對所學知識的理解，啟發學生體會知識間的聯系和發展等辯證觀點，使學生不僅獲得“知”，更讓學生得到“識”，使學生既要得到“魚”，又要學會“漁”.“誤中悟”教育理念指導下的復習課教學就是強調把相關知識點置于具有一定復雜性的問題情境中，從大膽試誤出發，引導學生暴露自己的思維過程，通過列舉反例、變式等手段組織學生進行辯論、交流，讓學生深深地卷入教學情境，思維表現出較高的批判性，進而矯正并豐富學生的認知，建構準確、合理的知識體系［5］.2.1? 轉換視角，將“錯誤”視為具有開發價值的教學資源

如何看待學生在學習過程中產生的形形色色的錯誤，是我們開展“誤中悟”教學所要考慮的首要問題.“誤中悟”教育理念認為，要真正追求知識，探尋真理，犯錯是必要的階段，沒有誰的認識能繞過錯誤.換而言之，學生在掌握新的定義定理公式、領悟知識內涵的過程中，“錯誤”是必經的關卡，這就如同孩子是在多次的跌倒中慢慢學會走路，學生也是通過犯錯后的不斷總結與反思來生成新的知識、掌握新的本領.因此，擅長總結錯誤，從錯誤中分析出合理與不合理的成分，是對知識與方法形成正確認知的一項必備技能，而教師引導學生放開手腳、不受外在約束地大膽嘗試與創新就成為培育學生理性思維與探究精神的重要手段.

從教師“教”的角度來看，學生的“錯誤”往往反映了其認知過程中的盲區與疑難所在，這給我們準確掌握學情、合理確定教學重心提供了參考，從而強化教學活動的針對性與有效性.從學生“學”的角度來看，數學概念與技能的掌握，既需要樹立正面的“形象”，還需要“錯誤”這面鏡子.以“錯誤”為鑒，可糾正偏離的認知.正、反“形象”的比照，對學生的思維可產生強烈的刺激，以促進對正確理念的深刻理解、領悟與牢固記憶，增強對“錯誤”的免疫力，并豐富他們的數學經驗.“誤中悟”教育理念所倡導的，就是要充分開發、利用好“錯誤”這一資源，分析其中對教與學有積極影響的因素，讓“錯誤”成為改善教與學方式的強大推動力.

2.2? 精心設計，讓“錯誤”成為提升復習效率的重要抓手

如前所述，一輪復習課不是對高一、高二教學內容的簡單重復與強化，而是引導學生在舊知識與已有經驗的基礎上，對所學知識與思想方法的再構與系統化.為調動學生思維的參與，我們同樣需要像新課那樣創設問題情境激活關于舊知的記憶，在問題解決中加深對知識的再理解.顯然，這樣做比直白的告知或匆匆過一遍的教學效果要好得多. 這就需要教師課前要精心設計能串起所復習的主干知識的問題.如果我們能從學生易迷糊、易疏忽、易犯錯的知識點或是問題著手，強烈的認知落差容易激發學生的好奇心，讓學生產生強烈的求知欲.因此，在復習教學時，我們可以精心設計，把學生的認知“迷霧”與“錯誤”作為教學的出發點或是重要環節，讓“迷霧”與“錯誤”成為提升一輪復習效率的重要抓手.

開展具體的復習教學時，教師要充分調研學情與考情，并根據教學經驗預判學生學習的難點與易錯點.比如在“導數的幾何意義”復習之前，筆者根據班級學生的知識掌握情況，將本節課的易錯點歸結為兩個：一是不能區分“在一點處的切線”與“過一點的切線”，這是部分同學存在的問題，可以讓其他同學參與討論并糾正錯誤；二是兩條曲線的公切線問題，部分同學未認識到切點一般有兩個這一事實，也有部分同學束手無策.本節課還有一個容易讓人迷糊的地方，就是高考試題中出現的函數解析式未明確或是不能直接求導時，該怎樣去求取切線的斜率這一問題.基于以上的分析與判斷，筆者在實施“誤中悟”教育理念下的一輪復習時，把導數的幾何意義置于多種具有一定復雜性的問題情境中，分別著眼于不同的側面，使學生對相關知識與思想方法形成多角度、多層次的理解.

2.3? 穿越迷霧，借“糾錯”活動發展科學理性的思維能力

“誤中悟”教育理念將學生在學習過程中敢于嘗試錯誤并分析、辯論、反思錯誤的行為看成是一種科學、理性的探究精神.這種敢于試錯、分析并總結反思的行為習慣有利于分辨知識的表象與本質，促進學生對數學思想方法的深入理解.從這個意義上說，“錯誤”讓知識以一種更自然的方式生成，也正是在出錯和修正錯誤的探究過程中，課堂才是最鮮活的，教學才是最美麗動人的.正如著名的數學教育家波利亞所說的那樣，“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去實踐探究，因為這種方式理解得最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系”［6］.因而，教師需要做的是鼓勵并引導學生去嘗試探究，穿越層層迷霧，讓學生在“糾錯”過程中積累活動經驗，發展科學、理性的思維能力.

能力來源于實踐，沒有實踐活動，沒有過程的參與體驗，就沒有經驗的積累，也談不上思維的訓練.數學復習過程中，一道數學題，一個數學概念，我們都可以從障礙、錯誤、總結等方面進行活動設計，在解決認知障礙、糾正思維錯誤、總結活動經驗的基礎上，真正達成思維能力的提升［7］.從展示錯例出發，逐步引導學生暴露自己的思維過程，通過列舉反例、變式等手段組織學生進行辯論、交流，讓學生深深地進入教學情境，思維表現出較高的批判性，并對知識的對與錯表現出高度的敏感，進而矯正并豐富學生的認知，建構準確、合理的知識體系.在糾錯過程中，教師要退到引導者、參與者的角度，要讓學生成為思維的主體、探究的主體、辯論的主體、反思的主體.學生動眼觀察、動手解答、動口交流、動腦總結，如此教與學，能力可以提升，素養方能達成.

參考文獻

［1］? 施小斌，沈新權．基于高中數學核心素養的復習課教學設計——以《曲線的切線方程的求法及應用》為例［J］．中學數學（高中版），2017（23）：19-22．

［2］? 朱賢良，唐錄義．“誤中悟”教育理念下的“導數與函數單調性”教學設計［J］．中小學數學（高中），2023（04）：46-50．

［3］? 新青年數學教師工作室．高中數學素養養成手冊·選擇性必修第二冊［M］．長沙：湖南教育出版社，2022．

［4］? 唐錄義．“6W”方式課堂表征［J］．中學數學雜志，2022（05）：12-15．

［5］? 朱賢良，唐錄義，金超．錯誤資源巧開發，誤中悟道明真知——“誤中悟”教育理念的開發背景與應用前景［J］．理科考試研究，2020（01）：30-36．

［6］? 黃偉亮．芻議探究式教學在高中數學課堂中的運用［J］．中學數學教學參考（上旬），2022（11）：30-33．

［7］? 洪金堅，陳燕昌．基于“微主題”的高中數學校本教研實踐探索——以函數圖像公切線問題為例［J］．中學數學教學參考，2022（34）：69-71．

作者簡介? 朱賢良（1981—），男，安徽樅陽人，高級教師；基礎教育省級教學成果一等獎獲得者，曾獲市級名教師、學科帶頭人、骨干教師、先進教研個人等稱號；主要從事中學數學教育教學研究；發表教學論文120多篇.

成輝（1981—），男，湖南永州人，一級教師；曾獲市級優秀教師、學科帶頭人、骨干教師、優秀黨員等稱號；主要從事中學數學教育教學研究.