基于數學史的數學文化融入高三數學單元復習課的教學研究

黃思婷 朱哲

【摘? 要】? 明晰基于數學史的數學文化內涵、數學史融入數學教學的運用方式，構建基于數學史的數學文化內涵下的單元復習課教學.在不同內涵維度下，選擇合適的單元復習課主題，于對應專題中選取適當的高考真題、歷史名題及改編題等，用知識主線、方法策略、核心素養等進行串聯，以期進一步提升基于數學史的數學文化融入數學教學的教育價值.結合相關教學案例，對提高教師文化素養、系統研究理論文獻、深入開展教學實踐等提出思考與展望.

【關鍵詞】? 數學史；數學文化；單元復習課；數學教學

2020年，教育部考試中心發布高考試題命制要以“一核四層四翼”為基本內涵，關注數學本質，厚植愛國情懷，對“立德樹人”起到正確導向作用.“立德樹人”價值導向下的數學教學應該是充滿文化氛圍，擁有強大生命力的.《普通高中數學課程標準（2017年版）》中定義數學文化是數學的思想、語言、方法等及其形成和發展，是人類文化的重要組成部分［1］.其中數學史是數學文化的重要載體，實踐表明數學史融入數學教學，能引導學生從數學孤島到充滿生機和趣味的數學大陸上，有助于構建知識之諧，彰顯方法之美，營造探究之樂，達成能力之助，展示文化之魅，促成德育之效［2］.單元復習課強調整體教學觀，即整體把握數學知識的本質，串聯與內化思想、方法和策略，提升思維、能力和素養，進一步實現教育價值.基于數學史的數學文化融入單元復習課的教學研究，以期在數學文化浸潤、核心素養聚焦中既實現專題復習，又深刻揭示冰冷數學背后的火熱思考.1? 基于數學史的數學文化融入教學的框架

參考相關文獻，認識基于數學史的數學文化的內涵，了解數學史融入數學教學的運用方式，以期進一步實現數學文化在數學教學中的教育價值.1.1? 基于數學史的數學文化內涵分析框架

汪曉勤團隊［3］結合質性研究法，并征詢專家組成員意見，反復歸納、修改，得到“基于數學史的數學文化”內涵分析框架，其中包括知識源流、學科聯系、社會角色、審美娛樂、多元文化五個維度（見圖1）.該框架既扎根于新課程標準的要求，又為數學文化融入數學教學提供指導，聯結理論與實踐，具有一定的客觀合理性.

1.2? 數學史融入數學教學的運用方式

汪曉勤團隊［4］在原有基礎上整合我國數學教學特點，進一步改進，得到數學史融入數學教學的四種運用方式：附加式、復制式、順應式和重構式（見表1）.其中四種運用方式沒有水平高低之分，具體選擇哪種，取決于所要達到的教學目標.

2? 基于數學史的數學文化融入單元復習課的教學案例

參考相關文獻梳理基于數學史的數學文化內涵的定義、作用及教學建議，設計或借鑒數學史融入復習課教學的相關案例并進行簡析，幫助理清其內涵及與教育價值的關系.

2.1? 知識源流2.1.1? 知識源流的內涵及作用

知識源流指知識的來源與應用，其中大致包括人物與事件的關聯和發展、概念與術語的起源和應用、命題與證明的因果和聯系、問題與求解的表述和應用四個子維度［3］.知識源流由時間縱向研究數學文化，注重研究的深度，嘗試從數學內部探求數學中的文化.2.1.2? 知識源流內涵下的復習課教學

知識源流內涵下的復習課教學可結合教科書或高考真題，尋本溯源，用附加式補充概念等來源及應用，并結合順應式用問題串引導學生層層探索，構建問題框架，幫助學生形成知識或解法新圖式和新模型，并將其納入原來知識體系中.好題難得，教師可扎根數學名著，精選數學名題，并嘗試命制將數學史從顯性或隱形角度融入的試題.2.1.3? 知識源流內涵下的案例及簡析

案例1? 圓錐曲線單元復習課——“動點的軌跡”專題.

環節①：問題探究例1? 已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為3，M在CC1上，CM=1，動點N在面CDD1C1上運動，當N在平面A1BM內時，N的軌跡長度為.當AN=21時，N的軌跡長度為.環節②：文化研析（2014·湖北文17）已知圓O：x2+y2=1和A（－2，0），若B（b，0）（b≠－2）和常數λ滿足：對圓O上任意一點M，都有MB=λMA，則b=，λ=.

數學史補充? 數學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》中研究了大量平面軌跡（直線和圓），其中“阿波羅尼斯圓”是其代表作，即平面上一點P到兩定點A、B的距離之比滿足PAPB=λ（λ>0且λ≠1）為常數，則P的軌跡是圓.（2008·江蘇13）滿足條件AB=2，AC=2BC的△ABC面積的最大值是.

環節③：類比求解變式：已知F1（－2，0），F2（2，0），動點P到y軸的距離與它到F1，F2距離之差的絕對值的比值為34，求P的軌跡方程.

數學史補充? 古希臘數學家帕普斯在《數學匯編》中研究一類新的軌跡問題，即“n線軌跡（n≥3）”問題，費馬和笛卡爾在研究古希臘“n線軌跡”問題時發明了解析幾何.

案例簡析? 結合數學文化的知識源流、社會角色內涵展開案例研究，“動點的軌跡”可作為圓錐曲線單元復習的起始專題課.教學圍繞動點相關問題，串聯直線與圓、圓錐曲線兩大知識體系，體現知識之諧、方法之美.教學引導學生構建“動點到一定點的距離——到兩定點的距離之比——到兩定點、一直線的距離之比”的新圖式，類比探究，體現能力之助、探究之樂.用附加式補充相關數學史，改編歷史素材或歷史名題，用順應式將圓、圓錐曲線等數學史串聯其中，體現文化之魅.教學順序可幫助學生感悟曲線的發展歷程，嘗試將歷史序、邏輯序與學生的心理序相統一，增強學生學習數學的興趣，體現德育之效.

2.2? 學科聯系2.2.1? 學科聯系的內涵與作用

學科聯系指借助數學史這一橋梁，聯結數學與物理、天文等學科的知識脈絡，通過跨學科的文化交融來演進社會發展.學科聯系內涵下的復習課案例富有創造性，跨學科的案例較注重數學的應用性與社會價值，給人眼前一亮的感覺.

2.2.2? 學科聯系內涵下的復習課教學

學科聯系內涵下的復習課教學可借助復制式或順應式，從真題或改編題豐富的背景中感受數學與其他學科的聯系，其中應重點關注將文字語言轉化為數學語言.也可結合STEAM實驗教學，以數學史為基礎，實驗為紐帶，學科聯系為導向，在STEAM新視野下展開教學案例設計［5］.學科聯系維度下的復習課教學難度較大，還需在已有案例研究的基礎上繼續開展系統的實踐研究.

2.2.3? 學科聯系內涵下的案例及簡析

案例2? 立體幾何單元復習課——“鱉臑”專題.

環節①：折紙呈模型

呈現折疊過程：

環節②：幾何現鱉臑

數學史補充? 鱉臑最早出現在《九章算術》中，“此術臑者，背節也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云.”現在通常定義鱉臑是四個面都是直角三角形的四面體.

劉徽分長方體的過程，左至右（第二幅圖起）分別為壍堵、陽馬和鱉臑.

環節③：教學顯價值

結合高考真題，從領悟垂直關系、掌握“補形”技巧、溝通三類空間角三個方面開發鱉臑體的教學價值，進一步發展學生直觀想象和邏輯推理等核心素養.

案例簡析? 本案例結合《從STEM教育視角看折紙》［6］和《鱉臑搭起發展直觀想象素養的“腳手架”》［7］，常文武、丁少杰等老師結合數學文化的學科聯系、審美娛樂、知識源流、社會角色內涵展開案例研究，“鱉臑”可作為立體幾何單元復習的一個專題.這節課教學緊扣“鱉臑”這一大概念，充分闡述是什么（具體與歷史模型）和怎么樣（應用與教育價值），體現知識之諧、文化之魅.用附加式展示數學史，用順應式改編數學史料并將其融入試題，結合鱉臑體直觀解決問題，體現方法之美、探究之樂.教學從動手操作（折紙）開始，由實際模型中加深對鱉臑體的抽象體驗，從鱉臑體的點、線、面關系探索其具體應用，發展學生直觀想象和邏輯推理等核心素養，體現能力之助、德育之效.

2.3? 社會角色2.3.1? 社會角色的內涵與作用

社會角色主要指數學的應用價值，“廣泛應用性”是數學的基本特點之一.將數學史融入數學教學的案例基本都涉及該維度，古今數學應用相聯結，既可窺探社會發展的演進，也為數學有用論再一次正名.

2.3.2? 社會角色內涵下的復習課教學

社會角色內涵下的單元復習課教學可用附加式展示數學在社會生活等領域的廣泛應用，用復制式直接沿用歷史名題，用順應式改編歷史素材或名題，以串聯古今中外的數學應用.社會角色內涵下的復習課教學既能揭示數學的應用性及社會價值，也能內化數學的文化價值.2.3.3? 社會角色內涵下的案例及簡析

案例3?; 數列單元復習課——“斐波那契數列”專題.

環節①：回歸課本

人教A版普通高中數學教科書（選擇性必修第二冊）“4.1數列的概念”在“閱讀與思考”中詳細介紹斐波那契數列.

問題1：根據斐波那契數列的定義，求其遞推公式與通項公式？

圖5環節②：講解性質

結合斐波那契數列的廣泛應用性，如“斐波那契螺旋”，向日葵中小花的排列等講解相關性質.

環節③：試題解析

從中選取一道例題感受斐波那契數列的廣泛應用性.

例1? 階梯教室共10級臺階，設每次只邁1個臺階或2個臺階，從下面的臺階到最上面的臺階，共有多少種不同的走法？

案例簡析? 本案例選自《高三數學復習教學與拓展——以斐波那契數列為例》［8］，龐志雷老師結合數學文化的社會角色、審美娛樂、知識源流內涵展開案例研究，“斐波那契數列”可作為數列單元復習的一個專題.這節課教學緊扣“斐波那契數列”這一大概念，回歸課本，引導學生利用教科書關注相關擴展知識是什么、為什么、怎么樣，體現知識之諧、能力之助.結合斐波那契數列的廣泛應用性，借助圖形直觀分析其性質，體現探究之樂、文化之魅.教學引導學生利用該擴展知識解決實際問題，鍛煉其閱讀理解、歸納猜想等思維能力，提升數學抽象、邏輯推理等核心素養，體現德育之效.

2.4? 審美娛樂2.4.1? 審美娛樂的內涵與作用

審美娛樂主要指數學美和趣味數學.數學美橫跨“文化中的數學”與“數學中的文化”，數學的對稱美、統一美等通過教學得到外顯，助力美育的完善.趣味數學展現數學有趣，培育智力發展，將歷史、文化與數學相結合，相輔相成即可受益良多.

2.4.2? 審美娛樂內涵下的復習課教學

審美娛樂內涵下的復習課教學可從高考真題出發，用附加式、復制式、順應式等方式融入數學史展示數學美和趣味數學.審美娛樂內涵下的單元復習課教學引導學生用欣賞的眼光觀察，用數學的思維思考，并用數學符號表達，從而提升相關數學核心素養.

2.4.3? 審美娛樂內涵下的案例及簡析

案例4? 立體幾何單元復習課——“體積”專題.

圖6環節①：感受文化

（2017·江蘇理6）在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則V1V2的值.

數學史補充? 古希臘數學家阿基米德發現圓柱體的體積比其內切球的體積為3∶2，阿基米德的墓碑上即刻著“圓柱容球”與“3∶2”，以紀念阿基米德在幾何上的偉大發現.

圖7（2013·上海13）在xOy平面上，將（x－1）2+y2=1（x≥1）和（x－3）2+y2=1（x≥3）、y=1和y=－1圍成的封閉圖形記為D.記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面積為4π1-y2+8π，試利用祖暅原理，得到Ω的體積為.

數學史補充? 古代數學家祖暅提出祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”，這對微積分的建立產生重大影響，且晚了1100多年意大利數學家卡瓦列里才提出相似的卡瓦列里原理.

環節②：研析文化

引導學生從真題來源、呈現方式兩方面分析數學史融入高考真題.

環節③：運用文化

設計活動：認識幾何體、深度探究、本源探尋、對接真題.

案例簡析? 本案例選自《高三復習融入數學文化的一點嘗試》［9］一文，丁益民老師結合數學文化的審美娛樂、知識源流、多元文化、社會角色內涵展開案例研究，“體積”可作為立體幾何單元復習的一個專題.這節課教學緊扣“體積”這一大概念，梳理與構建公式法、割補法、模型法的新圖式求體積，體現知識之諧.用順應式改編真題，用復制式和順應式結合引導學生研究鱉臑體并解決問題，體現方法之美，探究之樂.教學引導學生從高考真題中感受美、欣賞美，追本溯源去窺探中外數學文化的璀璨，體現文化之魅.同時教學也始終把握數學本質，引導學生用數學思維分析，用數學語言表征，結合數學運算解決問題，從而培養相關能力與提升相應素養，體現能力之助和德育之效.2.5? 多元文化2.5.1? 多元文化的內涵與作用

多元文化指不同時空下于同一數學主題的交匯與碰撞.多元文化關注時間縱向與空間橫向的發展，多元文化屬于文化比較，可從數學外部認識文化中的數學.在多元文化浸潤中，學生可真切感受數學的發展與演進，完善正確歷史觀，提升民族文化自信.

2.5.2? 多元文化內涵下的復習課教學

多元文化內涵下的復習課教學可用附加式、復制式、順應式等方式在教學中融入數學史，引領學生感受數學家對同一數學知識的貢獻，從不同中找認同，發展“中國認同”.同時在教學中體驗數學家對同一數學知識的研究歷程，從不同中找相同，建立動態的數學觀.2.5.3? 多元文化內涵下的案例與簡析

案例5? 解三角形單元復習課——“解三角形的應用”專題.

圖8環節①：歸納特征，引出主題

（2014·新課標Ⅰ文16）為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為觀測點.從A測得M的仰角∠MAN=60°，C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C測得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m，則山高MN=.

環節②：追憶歷史，尋找源頭

數學史補充? 三國時代數學家劉徽著《海島算經》一書，收錄9個測量問題，涉及海島高、河寬等問題.

用相似三角形法、楊輝的“重差”法解《海島算經》第一個問題，作比較，找同與不同，補充國外數學家（如印度數學家阿耶波多、德國數學家皮蒂克斯等）對測高研究的數學史.

環節③：古今聯系，合作探究

優化古代方法，結合現代知識對一個問題進行一題多解，并相互評析.

案例簡析? 本案例選自《HPM視角下的“解三角形的應用”專題復習課》［10］，趙玉梅老師結合數學文化的多元文化、學科聯系、社會角色、知識源流、審美娛樂內涵展開案例研究，“解三角形的應用”可作為解三角形單元復習的一個專題.教學沿著“為什么—怎么做—是什么—優化怎么做”路徑展開，從知識由來到用知識解決實際問題，體現知識之諧和能力之助.用附加式介紹三角學相關內容，用復制式展現數學家測高方法，用順應式讓學生自主探究測高，內化最優解，體現方法之美、探究之樂和文化之魅.教學通過比較數學家對同一問題的解法，學生可深刻感受中國古代數學家的探究與堅持，提升民族自豪感，體現德育之效.3? 思考與展望

基于數學史的數學文化融入單元復習課教學，旨在構建基于數學史的數學文化內涵框架下的單元復習課，嘗試將適當的數學史素材用合適的運用方式融入數學教學.結合以上案例可知，基于數學史的數學文化內涵下的數學教學均能實現一定的教育價值.

數學文化融入數學教學，教師應對數學文化的內涵有較為清晰的認識，拓寬數學文化面，選擇合適的素材，并用合適的運用方式將其融入，以期在實踐中進一步提升學生的數學素養.在HPM（數學史與數學教學的關系）視角下，數學史融入單元復習課的相關案例雖目前數量較少，五個維度也分布不均，相比較知識源流、社會角色維度下的案例略多于學科聯系、審美娛樂、多元文化維度下的案例，但一線教師等對案例的探索與實踐從未止步［11］.基于數學史的數學文化內涵維度下的單元復習課教學，要體現知識之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效，并通過內化科學、應用、文化、審美價值，最終實現立德樹人的教育價值，這些均需對已有理論、高考真題、教學案例等進行深入且系統的文獻與實踐研究.

參考文獻

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［2］? 王鑫，岳增成，汪曉勤.HPM研究的框架與進展［J］.數學通報，2021，60（06）：7-12+19.

［3］? 余慶純，汪曉勤.基于數學史的數學文化內涵實證研究［J］.數學教育學報，2020，29（03）：68-74.

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［6］? 常文武.從STEM教育視角看折紙［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2019（02）：39-42.

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［8］? 龐志雷.高三數學復習教學與拓展——以斐波那契數列為例［J］.青海教育，2018（06）：41-42.

［9］? 丁益民.高三復習融入數學文化的一點嘗試［J］.數學通訊，2021（09）：1-4.

［10］? 趙玉梅.HPM視角下的“解三角形的應用”專題復習課［J］.數學教學，2020（05）：44-50.

［11］? 汪曉勤.基于數學史的數學文化內涵課例分析［J］.上海課程教學研究，2019（02）：37-43.

作者簡介? 黃思婷（1996—），女，浙江紹興人；中學二級教師；研究方向為數學史與數學教學研究.朱哲（1979—），男，浙江紹興人；副教授，教育學博士，碩士生導師；研究方向為數學課程與教學論、數學史與數學教育研究.