分數階CEV模型下亞式期權的顯-隱差分格式

龍 敏, 孫玉東

(1.貴州民族大學 數據科學與信息工程學院,貴陽 550025; 2.貴州民族大學 政治與經濟管理學院,貴陽 550025)

亞式期權是如今較為流行的金融工具場外交易市場(OTC),它的收益取決于在某個特定時期的某種形式標的股票價格的平均值[1-2].主要是分為兩種亞式期權:算術亞式期權和幾何亞式期權.目前,算術亞式期權在OTC市場中變得越來越普遍.Kernna和Vorst[3]提出了算術亞式期權定價策略,后續也有很多解決算術亞式期權定價的方法,CEN Z等[4-5]人將有限差分方法作為一種數值方法去考慮亞式期權定價模型,再分析該方法的時間精度和空間精度.大多數已發表的文獻都假設標的股票遵循對數正態分布過程,而Black-Scholes的基本假設模型是有一些缺點的.實證研究已經表明股票價格通常不太可能呈對數正態分布,當Black-Scholes模型用于為股票期權定價時會存在一些偏差,比如執行價格偏差和波動率微笑,這兩者之間存在負相關股票價格變化和波動性變化.由Cox[6]開發的CEV期權定價模型就包含了這個負相關關系,將CEV模型應用于算術亞式期權是有意義的.

時間分數階期權定價模型是金融工程中期權定價的一個重要數學模型.近年來,該模型的研究有很多的進展,其中大多數研究是在基于分數階的情況下去求解各種期權的定價模型[7-9].關于討論擴散方程的穩定性和收斂性的方法有很多,CHEN等[10-11]人通過傅立葉分析進行了討論一種具有四階空間精度的數值方案的穩定性、可解性和收斂性.在擴散方程[12-14]上討論有限差分法的穩定性和收斂性的方法也很有用.關于B-S模型下股票期權定價時會存在一些偏差,有其他的研究方法是基于CEV模型下對期權進行定價.Peng Bin和Fei Peng[15]討論了當標的股票遵循常數彈性(CEV)時的算術亞式期權定價過程,建立了一個二叉樹方法來估計CEV過程,并用它來定價算術亞式期權.張增林等人[16]做利用二叉樹逼近方法得到在CEV過程且有離散紅利支付的標準幾何亞式期權的定價.杜雪樵等人[17]在標的資產服從CEV模型下,推導出兩值期權的定價式.孫玉東等人[18]在CEV風險資產模型下利用了有限差分算法研究觸發式理財產品定價問題.彭斌[19]是利用了風險中性定價方法,推導出標的資產服從CEV擴散模型下領子期權的解析定價式.姜曉晴[20]是抽取一些上證50ETF期權交易數據,基于B-S模型與CEV模型,對上證50ETF期權定價.

鑒于此,本文考察時間分數階CEV模型下算術亞式期權的顯-隱和隱-顯式差分格式的可行性.首先,用時間分數導數和中心差分離散空間導數得到了高精度的顯式差分格式和高精度的隱式差分格式.其次,在這基礎上構造顯-隱和隱-顯式差分格式,利用Fourier方法和數學歸納法驗證其差分格式的穩定性和收斂性.最后,通過數值模擬證明了該差分格式對求解時間分數階CEV模型下算術亞式期權是可行性的.

1 顯-隱(E-I)式差分格式的構造及其數值分析

1.1 顯-隱(E-I)式差分格式的構造

本節在固定敲定價格的時間分數階CEV模型下算術平均亞式期權的偏微分方程下,將高精度的顯式差分格式和高精度的隱式差分格式進行交叉運用得到本文所研究的顯-隱式差分格式[8,13-14].時間分數階CEV模型下算術平均亞式期權定價U(t,S,I)的偏微分方程[8]為

(1)

其中:r為無風險利率,σ為波動率,T為到期日,E為執行價格,α(0<α<1)是分數階階數,a(0≤a≤2)是一個常數因子(彈性因子),I(t)表示路徑因子[1](標的資產價格運行總和)

對式(1)中的時間變量和空間變量進行等距網格劃分,令

τj=jΔt,j=0,1,2,…,N;

xi=ih,i=0,1,2,…,M.

其中:Δt=T/N和h=X/M分別表示時間步長和空間步長,再對時間變量進行離散,為了提高差分精度選擇中心差分格式

時間分數階在點(τj,xi)的主方程式為

(2)

(4)

其中:差分算子為

時間分數階導數在點(τj,xi)的離散格式為[11]

(5)

(6)

再對式(6)關于x求偏導數并化簡有

(7)

(8)

(9)

其中:mk=(k+1)1-α-k1-α同樣,將式(5)、(6)代入古典隱式差分格式(4),并進行化簡得到高精度的隱式差分格式為

(10)

忽略截斷誤差,時間分數階CEV模型下算術亞式期權的顯-隱式差分格式構造如下:

求奇數層時,運用高精度的顯式差分格式計算:

(11)

求偶數層時,運用高精度的隱式差分格式計算:

(12)

(13)

將上式化為矩陣形式為

(14)

其中:Gi(i=1,2,3,4,5)是(M-1)×(M-1)的矩陣,

1.2 顯-隱(E-I)差分格式的穩定性

本節考察所上節得到的顯-隱式差分格式(11)～(12)的穩定性[10-11].由式(16)可以得到以下幾個結果:當e<0,f>0,g<0且滿足e-|f+g|>0時,則矩陣G1是嚴格對角占優矩陣;當|G1|≠0時,G1是可逆矩陣,則系數矩陣G1為非奇異矩陣.當e′>0,f′<0,g′>0時,且有|G2|≠0,則系數矩陣G2是可逆矩陣,且G2又非奇異矩陣,故格式解是存在唯一解的.

根據文獻[12],并結合上述兩個結果可得到以下的兩個結論,這些結果在之后的證明過程中也會被用到.

引理1時間分數階CEV模型下算術亞式期權的顯-隱式差分格式(11)～(12)的解是存在唯一的.

引理2[12]運用函數m(x)=x1-α(x≥1)的性質,得到如下結論

0

定理1在時間分數階CEV模型下算術亞式期權的顯-隱式差分格式(11)～(12)關于范數無條件穩定.

對εj(x)進行Fourier方法展開,使得

由Parseval定理有

(15)

基于以上的分析,可設方程的誤差解的形式為

(16)

由exp(±iλh)=cosλh±isinλh經過變換后為

(17)

當s=1時,運用高精度的顯-隱式差分格式中的高精度顯式差分格式,可得

把誤差解式(16)代入上式計算得

上式通過式(17)的兩個變換運算,易知

利用引理2對上式進行不等式放大技術計算,可有

其中:C表示任意的一個正整數,在不同的情況下可以取不同的值.

當s=2時,運用高精度的顯-隱式差分格式的高精度隱式差分格式,可得

將式(16)代入上式計算得

上式通過式(17)的兩個變換運算,易得

通過引理2對上式進行不等式放大技術計算,可有

即|μ2j+1|≤C|μ0|.由式(15)和以上分析,可總結出

|εj|≤C|ε0|,j=0,1,…,N-1.

從而命題結論成立.證畢.

1.3 顯-隱(E-I)差分格式的收斂性

在本節中,將利用CHEN等[10-11]人證明差分格式收斂性的方法來考察所得的顯-隱式差分格式(11)～(12)的收斂性.

證明：定義兩個網格函數

對ηj(x)和Rj(x)進行Fourier方法展開,可有

分別定義ηj(x)和Rj(x)的范數為

由Parseval定理得

基于以上的分析,可假設

(18)

當s=1時,運用高精度的顯-隱差分格式的高精度顯式差分格式,易知

將式(18)代入上式計算得到dζ1=Δtαr1,通過引理2和引理3對上式進行不等式放大技術運算,可有

當s=2時,運用高精度的顯-隱式差分格式的高精度隱式差分格式,易知

將式(18)代入上式計算得到

上式通過式(17)的變換后為

通過引理2和引理3對上式進行不等式放大技術計算,使得

綜上所述,可得

關于ηj有,

從而命題結論成立.證畢.

2 隱-顯(I-E)差分格式及其數值分析

本節主要構造隱-顯式差分格式[13-14],并考察該格式的穩定性和收斂性.隱-顯式差分格式和顯-隱式差分格式大致相同,只是在奇數層和偶數層時選擇了相反的差分格式.隱-顯式差分格式在奇數層上,采用高精度的隱式差分格式計算:

(19)

求偶數層時,運用高精度的顯式差分格式計算:

(20)

將式(19)、(20)進行相加消除,化簡得

(21)

根據上節顯-隱式差分格式的數值分析,可以類似證明過程得到隱-顯式差分格式的如下的數值分析.

推論3 在時間分數階CEV模型下,算術平均亞式期權高精度的隱-顯式差分格式(20)～(21)存在唯一解.

推論4 在時間分數階CEV模型下,算術平均亞式期權高精度的隱-顯式差分格式(20)～(21)關于范數無條件穩定.

推論5 在時間分數階CEV模型下,算術平均亞式期權高精度的隱-顯式差分格式(20)～(21)關于范數無條件收斂,

其中:收斂階為O(Δt2-α+h4).

本節主要考察隱-顯式差分格式的相關數值分析,可類似于高精度的顯-隱式差分格式分析過程,因為它們只是在偶數層和奇數層上使用的顯、隱式差分格式剛好相反,所以隱-顯式差分格式的穩定性和收斂性的證明過程和顯-隱式差分格式大致相同.

3 數值模擬

本節主要以高精度的顯-隱式差分格式(14)為例,運用R軟件對其進行數值試驗,檢驗該格式的可行性.基于表1中的參數,運用高精度的顯-隱式差分格式(14)計算出算術平均亞式期權的價格,并繪制出股票價格和亞式期權價格的變化曲線圖.

表1 模型參數

設在T=6,α=2/3的情況下,不同的彈性因子a(分別取a=1/2,1,3/2,2)繪制出股票價格與期權價格的變化趨勢,見圖1.當彈性因子a取不同的值時,觀察到在股票價格為4之后,期權價格的變化逐漸趨于一條線.當a=2時是Black-Scholes模型下的時間分數階亞式期權,在股票價格為2時股票價格下降較快.然而在整體上股票價格與期權價格的變化趨勢大致相同.說明所得的高精度的顯-隱式差分格式是可行的.

圖1 不同a取值下亞式期權價格

在a=2,α=2/3下,根據不同的到期日參數T(分別取T=3,6,9,12)繪制出股票價格與亞式期權價格的變化趨勢,見圖2.隨著T的不斷增加,在股票價格為2時期權價格有較大的增加改變趨勢,但是在整體變化趨勢也基本一致.

圖2 不同a取值下亞式期權價格

設a=2,T=12,根據不同的分數階參數α(分別取α=1/3,1/2,2/3,1)繪制出股票價格與期權價格的變化趨勢,見圖3.α為分數階和整數階(α=1)時的股票價格和期權價格的變化趨勢大致相同,下降趨勢在股票價格為2和3時發生了改變.整體的變化趨勢也基本一致.

圖3 不同α取值下亞式期權價格

本節根據所研究的高精度顯-隱式差分格式,選取了不同的彈性因子a、到期日T和時間分數階α.觀察這3個參數分別得到的股票價格與期權價格變化趨勢圖1～3,可以看出由各參數取值不同股票價格與期權價格變化趨勢基本一致,從圖3也可以看出分數階和整數階的亞式期權價格的變化趨勢相似.從而可以得到數值模擬的結果與理論分析相符,用本文所得到的差分格式去解決此類的問題可行.

4 結 語

本文運用高精度顯-隱式差分方法研究了時間分數階CEV模型下亞式期權定價問題.首先,利用時間分數導數和中心差分離散空間導數得到了高精度的顯式差分格式和高精度的隱式差分格式,在求奇數層時運用高精度的顯式差分格式,偶數層時運用高精度的隱式差分格式,即可得到顯-隱差分格式,相反的做法可得到隱-顯差分格式.其次,利用Fourier方法和數學歸納法分析該差分格式的穩定性和收斂性.最后,通過R軟件進行數值模擬,模擬得到的結果和理論相符,說明本文所得到的顯-隱差分格式和隱-顯差分格式對求解時間分數階CEV模型下算術亞式期權可行.