高速有質量偏心的軸承-轉子系統瞬態熱效應的研究

富彥麗

（上海應用技術大學 機械工程學院, 上海 200235）

軸承-轉子系統的運行穩定性問題一直是轉子動力學研究的重要課題之一。20 世紀90 年代，學者們應用非線性轉子動力學法研究軸承-轉子系統的穩定性[1-3]，這種方法可以解釋各種非線性現象，但是不能把復雜的溫度變化考慮在計算模型內，因而得到的軸心軌跡與實際有著差別。到了21 世紀，各種計算機輔助工程(computer aided engineering，CAE)分析軟件開始出現，并開始應用在軸承-轉子系統的穩定性分析中[4-8]，但其也未能準確模擬真實工況下的軸承-轉子系統的運行情況。隨著計算機技術的繼續發展，仿真法開始應用于軸承-轉子系統的穩定性研究中[9-10]，仿真法雖然不能對非線性現象做出物理解釋，但是能夠將溫度和壓力對潤滑油黏度的影響、軸瓦和軸的熱變形及受力變形等因素考慮在內，精確地模擬分析轉子的軸心軌跡，而且能夠考察這些因素對轉子軸心軌跡的影響，為工程實際中的軸承-轉子系統設計提供相對準確的理論支撐。

本文將用仿真法研究在考慮油膜三維瞬態溫度場和軸瓦三維瞬態熱傳導的情況下有質量偏心的轉子運動情況，并和只考慮二維絕熱溫度場的結果相比較，來說明考慮更全面的因素，建立更全面數學模型的必要性。隨著轉速的提高，對仿真算法收斂穩定性的要求也提高，在高速下考慮這么全面的因素分析軸承-轉子系統穩定性十分困難，本文通過改進Newton-Raphson 算法同時求解雷諾方程和運動方程，來解決高轉速下仿真算法難收斂的問題。

1 數學模型的建立

油膜厚度分布方程、三維瞬態油膜能量方程、三維瞬態軸瓦熱傳導方程、潤滑油的黏度和密度隨著溫度和油膜壓力變化方程等都與文獻[10]相同，本文著重介紹改進Newton-Raphson 算法用到的方程，即三維瞬態Reynolds 方程和有質量偏心的轉子的非線性運動方程。

式中：R、h0分別為軸承半徑和半徑間隙；η0、ρ0分別為進油溫度和壓力下的動力黏度和密度；U為軸頸旋轉線速度；u0是為了便于編程和對結果討論而取的速度虛擬參考量；p為油膜壓強。且：

其中：

分析轉子的受力情況知，轉子在油膜壓力、質量偏心力和外載荷作用下有如下的運動方程。沿垂直方向和水平方向分別為：

式中：R為軸承半徑；L為軸承的寬度；θin、θout分別為進油和出油邊；W為載荷，M為轉子的等效質量；ub為質量偏心距；U為軸頸旋轉線速度。

治療后，觀察組患者的治療總有效率明顯高于對照組患者，差異有統計學意義（χ2=8.4，P＜0.05），見表 2。

這樣，有質量偏心的轉子系統的瞬態問題與文獻[10]研究的瞬態問題的區別，就是用式（4）和式（5）分別代替文獻[10]的沿水平和垂直方向的運動方程式；溫度場的求解方法與文獻[10]也完全相同。壓力場和軸心運動軌跡的求解將使用改進的Newton-Raphson 算法[11]。

2 數值方法

Reynolds 方程的離散和邊界條件見文獻[9]。

將時間離散，在每一時刻，用Newton-Raphson法同時求解軸頸的運動方程和三維瞬態Reynold方程，得到軸心的沿2 個方向的運動速度及動壓油膜的壓力分布，通過對速度的數值積分和微分得到軸心下一時刻沿2 個方向的位移和運動的加速度。

定義式（1）的左邊為P1，右邊為P2，則在節點（k，l）處方程可改寫為：

用W y代替式（4）的右端，則：

于是得到如下Jacobi 矩陣：

其中方括號內是方陣，大括號內是列矩陣。上面的矩陣簡寫為：

得到軸心運動的速度后，則2 個方向的運動加速度為：

下一時刻軸心位置為上一時刻的位置加上新的位移：

計算表明改進Newton-Raphson 法用于求解三維瞬態雷諾方程和油膜運動方程在高速下也有很好的收斂性。

計算程序的流程示意圖如圖1 所示。

圖1 程序流程示意圖Fig.1 Program flow diagram

3 有質量偏心的轉子—軸承系統瞬態性能的分析

程序輸入的原始數據與文獻[9]相同。

圖2 是考慮二維絕熱溫度場時轉子圓周速度為40m/s 時在受到不同的質量偏心力后的軸心運動軌跡?？梢钥吹?，幾種偏心率的情況下，軸承都由于軸心軌跡范圍太大而失效，沒有形成最后的極限環軌跡。其原因是軸承發生了熱不穩定造成的，從圖3 可以看到在軸承失效之前，溫度有一個突然上升的過程，在軸承失效時，軸承中的最高溫度已經接近140 ℃。計算還發現，繼續增大質量偏心率，軸承都會發生溫度突然上升而導致失穩現象。這種現象與考慮的溫度模型有關，只考慮了油膜的二維溫度場，沒有考慮軸瓦的導熱，因而過高估了油膜的溫度。

圖3 考慮二維絕熱溫度場時的最高溫度響應Fig.3 The maximum temperature response considering two-dimensional temperature

圖4 是考慮軸承的三維溫度場圓周速度為40 m/s 時在受到不同的質量偏心力后的軸心運動軌跡。經過計算發現，在質量偏心率低于0.19 時軸心經過渦動發散，最后停留在一個極限環上運動，如圖4（a）和（b）所示；超過0.19 以后軸心軌跡開始有旋渦出現，說明軸系發生了分岔，并且隨著質量偏心率的增大旋渦越來越大，如圖4（c）～（e）所示；當質量偏心率超過一定值以后軸心軌跡又恢復到最終在一個極限環上運動，如圖4（f）所示。由圖4 可知，在某些情況下，隨著質量偏心率的增大，軸心軌跡范圍反而變小，這說明在考慮三維溫度變化時，質量偏心力在某些工況下也會有增穩的作用。在速度為40 m/s 并考慮軸承的三維溫度場時，軸承沒有失效現象發生，其原因是此時的溫度沒有升高到發生熱不穩定現象，如圖5 所示。

圖4 考慮三維溫度場時的軸心軌跡Fig.4 The moving trail of the axis considering three-dimensional temperature

圖5 考慮三維溫度場時的最高溫度變化Fig.5 The maximum temperature response considering three-dimensional temperature

圖5 是在同樣的速度下考慮三維溫度變化時軸承的最高溫度在受到質量偏心力后的響應過程?？梢钥吹?，在軸承沒有失效之前，溫度響應在軸心軌跡達到極限環后也穩定在恒定的振幅上振動，質量偏心率為0.05 時的振幅為20 ℃左右；質量偏心率為0.1 時的振幅為18 ℃左右；雖然質量偏心率增大最終溫度響應的振幅降低，但是質量偏心率為0.1 時溫度響應過程中的最高值要稍稍高于不平衡偏心率為0.05 時的情況，前者為76.5 ℃，后者為75.8 ℃。在軸心運動軌跡出現旋渦以后，溫度也以相應的方式做周期響應，質量偏心率為0.3 時在響應過程中的溫度最高值最低，而質量偏心率為0.4時最終溫度響應的振幅最小，質量偏心率為0.5 時最高溫度值最高；質量偏心率為0.48 和0.5 時，最終軸心軌跡都停留在一個極限環上，最終溫度振蕩的周期也相同，只是質量偏心率為0.5 的振幅要高于0.48 時的振幅；溫度響應過程之所以如此復雜，歸根結底是由決定溫度的能量方程決定的，能量方程本身是一個非線性分布參數系統決定了溫度的非線性特性。

比較圖2 和圖4 可以看到，在圓周速度為40 m/s 時軸承受到不平衡質量偏心力后，考慮2 種溫度模型得到的軸心運動情況有很大的差異。通過上面的分析，對于有質量偏心存在的軸承-轉子系統，軸承的熱不穩定性使軸承容易發生失效現象，考慮二維絕熱溫度會過高地估計軸承的溫度和熱不穩定性，從而得到的軸承性能與實際存在著很大的差異，因而要得到相對準確的軸承性能必須考慮軸承的三維瞬態溫度場。

4 結 語

通過改進Newton-Raphson 算法，將軸瓦的三維熱傳導和油膜的瞬態三維溫度場考慮在內得到高轉速下轉子軸心的運動軌跡。只考慮油膜的二維絕熱溫度場會過高估計軸承的溫度和熱不穩定性；油膜三維瞬態能量方程的非線性導致溫度響應的復雜性。對于高轉速的軸承轉子系統，在全面考慮溫度影響時可以發現質量偏心有一定的增穩作用。