納米銀球附近三能級原子的自發輻射動力學特性*

李 蕓,高廣波,單馨雨,黃勇剛

(吉首大學物理與機電工程學院,湖南 吉首 416000)

等離激元自Kronig和Pines提出后就備受關注[1-2].1957年,Ritchie通過研究快速電子穿過光學厚金屬膜時的能量損失特性,預測了金屬表面存在自由電子的集體振蕩[3],進而提出了表面等離激元的概念.1968年,Ritchie將Wood發現的金屬光柵異?，F象[4]歸因于表面等離激元共振[5].1970年,Kreibig運用表面等離激元的概念研究了金屬納米顆粒的光學性質[6].表面等離激元是金屬中自由電子和電磁場相互作用、共諧振蕩形成的電磁模式,可以將電磁場約束在金屬表面附近的納米尺度范圍內[7],具有極大的局域場增強效應,因而引起了廣大學者的研究興趣[8-15].

表面等離激元不僅可以改變光子局域態密度,還可以調控附近原子的自發輻射[16-18].例如,趙運進等[17]研究發現,當二能級原子位于納米球表面或金屬板上方2 nm時,其自發輻射增強因子可超過105.田錳[18]探究了納米球附近二能級原子的非馬爾科夫自發輻射動力學特性,結果顯示,不同尺寸的金屬納米柱中表面等離激元對自發輻射的調控作用明顯不同,當納米柱的高度變低時,峰值頻率急劇藍移,當納米柱半徑減小時,峰值頻率急劇紅移.此外,二能級原子和表面等離激元的相干相互作用可以形成束縛態,此時,處于激發態的原子不會完全衰減到基態,而是演化到束縛態上[19].不同于二能級原子,V型三能級原子存在2個躍遷通道,其自發輻射動力學可能呈現出量子干涉效應.因此,探究納米銀球附近三能級原子的自發輻射動力學具有重要意義.筆者擬采用格林函數預解算子方法,探討原子躍遷頻率及原子-納米銀球表面距離對V型三能級原子的自發輻射動力學影響,并在此基礎上,研究納米銀球附近V型三能級原子的自發輻射動力學特性.

1 模型與理論

圖1 模型示意Fig. 1 Model Representation

三能級系統模型如圖1所示.V型三能級原子位于納米銀球附近,2個上能級為|a1〉,|a2〉,下能級為基態|g〉,納米銀球的半徑R=20 nm.原子和納米銀球均置于真空中,真空中相對介電函數ε1=1,銀的介電函數為ε2.

在高頻時,除了自由電子響應外,殼層電子也會對電磁場產生強烈的響應[20-21],通常采用Drude-Lorentz模型進行描述[20]:

設V型三能級原子的2個上能級|a1〉和|a2〉均可向基態|g〉躍遷.在偶極近似和旋波近似下,系統的Hamiltonian可表達為[22]

H=H0+H1.

其中:H0為非相互作用部分,

H1為相互作用部分,

這里ωi為上能級|ai〉到基態|g〉的躍遷頻率,di為對應的躍遷偶極矩陣元.

其中t時刻系統處于|aj,0〉態的幾率幅可由時間演化算符U(t)的矩陣元表示,即

cj(t)=〈aj,0|U(t)|a1,0〉.

(1)

由推遲和超前格林函數可知,時間演化算符

(2)

利用投影算符技術,格林函數矩陣元Gij(z)=〈ai,0|G(z)|aj,0〉(i,j=1,2),滿足

(3)

其中

(4)

這里

Γij(z)=2πIm(gij(z)θ(z)),

gij(z)可用光子并矢格林函數G(r0,r0,ω)表達,即

對于納米銀球,光子并矢格林函數G(r0,r0,ω)可通過半解析方法獲得,詳細可參考文獻[23-24].

解方程組(3),可得

其中F1=ω-ω1-R11(ω) ,F2=ω-ω2-R22(ω).將G11(ω)和G21(ω)代入(1),(2)式,可得

(5)

其中動力學演化譜

(6)

2 結果

2.1 原子躍遷頻率對自發輻射動力學的影響

首先研究不同躍遷頻率對三能級原子自發輻射動力學的影響.為了簡單,不特別說明的情況下,設V型原子的2個躍遷通道均具有平行的躍遷偶極矩,方向均沿著x方向,大小分別為d1=24 D,d2=26 D,原子離納米銀球表面距離h=1 nm.由(5),(6)式可知,激發態幾率幅隨時間的演化可由動力學演化譜得到.為此,筆者計算了不同躍遷頻率下的Γij(ω)和Δij(ω),結果如圖2所示.

圖2 原子-納米銀球距離為1 nm時原子的自發輻射和能級移動Fig. 2 Spontaneous Radiation and Energy Level Shift of Atoms at 11 nm Atom-Nanosphere Distance

從圖2(a)可知,Γ22(ω)稍大于Γ11(ω),且Γ12(ω)處于Γ22(ω)和Γ11(ω)之間.這主要是因為,當偶極矩平行時,Γij(ω)∝didj,d2(26 D)稍大于d1(24 D).此外,圖2(a)中,Γij(ω)(i,j=1,2)均在ω=3.652 eV附近取極大值,這主要是納米銀球中表面等離激元共振模式的貢獻.從圖2(b)可知,在Γij(ω)的峰值附近,Δij(ω)發生急劇變化,遠離峰值后,Δij(ω)隨頻率緩慢變化,這主要是由于Δij(ω)是Γij(ω)的希爾伯特變換.從圖2(b)還可知,對于不同i和j,Δij(ω)∝didj,Δij(ω)與y=0具有相同的交點,在交點以外,有|Δ11(ω)|<|Δ12(ω)|<|Δ22(ω)|.

接下來,研究原子躍遷頻率分別遠離和靠近Γij(ω)峰值頻率時的自發輻射動力學特性.當原子的2個躍遷頻率均遠離Γij(ω)峰值頻率時,即ω1=3.33 eV和ω2=3.22 eV時,原子的演化譜和動力學結果如圖3所示.

從圖3(a)可知,動力學演化譜S1(ω)和S2(ω)均呈現出明顯的雙峰結構,不同的是,S1(ω)的2個峰值均為正值,而S2(ω)的2個峰值為一正一負.這主要是由于初始系統處于|a1態,即t=0時,由(5)式可知,演化譜S1(ω)的積分為1,而S2(ω)的積分為0.

圖3 原子的演化譜和動力學及用洛倫茲函數擬合后的結果(ω1=3.33 eV,ω2=3.22 eV)Fig. 3 Evolution Spectrum and Dynamics of Atoms and Results After Fitting with Lorentz Function

從圖3(b)可知:t時刻,系統仍然處于|a1態的幾率幅P1(t)隨時間的增加邊振蕩邊衰減,呈現出明顯的衰減拉比振蕩特征;處于|a2態的幾率幅P2(t)由初始的0逐漸增大到峰值(0.7左右)后,也發生衰減拉比振蕩.

為了理解P1(t)和P2(t)的動力學特性,采用雙洛倫茲函數擬合S1(ω)和S2(ω),即

由圖3(c),(d)可知,Si(ω)均能用2個洛倫茲函數完美擬合.擬合函數分別為

將S1,appr(ω)代入(5)式,并利用洛倫茲函數性質,可得

(7)

由(7)式可知,|a1態的幾率幅除了隨時間指數衰減外,還以頻率ω12-ω11隨時間振蕩.從圖3(e)可知,|a1態幾率幅的數值解與近似解擬合較好.類似地,從圖3(f)可知,|a2態幾率幅的數值解與近似解也擬合較好.由(7)式可知,當|ω12-ω11|?(γ11+γ12)時,即振蕩頻率遠大于衰減率時,原子處于|a1態的幾率幅隨著時間的變化為衰減拉比振蕩,并呈現出明顯的非馬爾科夫特性.

物理上,初始處于|a1態的原子,在t時刻仍然處于|a1態可通過2種方式實現.第1種路徑為|a1→|g→|a1,即原子首先從|a1態躍遷到基態|g輻射光子,隨后吸收該光子從基態|g躍遷到|a1態;第2種路徑為|a1→|g→|a2→|g→|a1,即原子從|a1態躍遷到基態|g輻射光子,隨后吸收光子躍遷到|a2態,再輻射光子回到基態|g,最后吸收光子躍遷到|a1態.因此,系統存在2種不同的躍遷通道,可能呈現出明顯的干涉效應.

當原子的2個躍遷頻率靠近峰值頻率時,即ω1=3.6 eV和ω2=3.652 eV時,原子的演化譜和動力學結果如圖4所示.

從圖4(a)可知,類似于圖3(a),S1(ω)和S2(ω)也呈現出明顯的雙峰結構,S1(ω)的2個峰值均為正值,而S2(ω)的2個峰值為一正一負.不同的是,與圖3(a)相比,圖4(a)的峰值較小,尤其是低頻處的峰值.

從圖4(b)可知:t時刻,系統仍然處于|a1態的幾率幅P1(t)隨著時間的增加也邊振蕩邊衰減,但很快就變為指數衰減而無振蕩特征;處于|a2態的幾率幅P2(t)也出現類似的動力學特性.

圖4 原子的演化譜和動力學及用洛倫茲函數擬合后的結果(ω1=3.6 eV,ω2=3.652 eV)Fig. 4 Evolution Spectrum and Dynamics of Atoms and Results Fitted with Lorentz Function

為了進一步理解P1(t)和P2(t)隨時間的演化特征,也采用雙洛倫茲函數分別擬合S1(ω)和S2(ω),得到

擬合結果如圖4(c),(d)所示.圖4(c)中,擬合結果S1,appr(ω)與精確解S1(ω)幾乎完美重合.類似地,圖4(d)中,擬合結果S2,appr(ω)與精確解S2(ω)也重合較好.從圖4(e),(f)可知,|a1態和|a2態原子的動力學數值解與近似解均擬合較好.

2.2 原子-納米銀球表面距離對自發輻射動力學的影響

2.1節中,筆者研究了距離為1 nm時的V型三能級原子動力學特性,本節中,距離增大到2 nm,V型三能級原子的2個躍遷頻率仍然取ω1=3.6 eV和ω2=3.652 eV.

當原子-納米銀球表面距離為2 nm時,原子的自發輻射和能級移動結果如圖5所示.

圖5 原子-納米銀球距離為2 nm時原子的自發輻射和能級移動Fig. 5 Spontaneous Radiation and Energy Level Shift of Atoms at 2 nm Atom-Nanosphere Distance

從圖5可知,相較于距離為1 nm時的結果,距離為2 nm時,自發輻射增強譜的峰值和能級移動的峰值均急劇降低,且均降低為1 nm時的1/8左右.

當原子-納米銀球表面距離為2 nm時,原子的演化譜和動力學結果如圖6所示.

圖6 原子-納米銀球表面距離為2 nm時原子的演化譜和動力學及用洛倫茲函數擬合后的結果Fig. 6 Evolution Spectrum and Dynamics of Atoms at 2 nm Atom-Nanospere Distance and Results Fitted with Lorentz Function

從圖6(a)可知,自發輻射動力學演化譜S1(ω)和S2(ω)的2個主峰之間距離較近,且在2個主峰的左邊均存在1個次要的峰.這一特征不同于圖4(a)中距離為1 nm時的雙峰結果.

從圖6(b)可知,|a1態的幾率幅P1(t)和|a2態的幾率幅P2(t)隨著時間的增加也呈現出衰減拉比振蕩特征.與距離為1 nm時的結果相比,距離為2 nm時的振蕩頻率較低,衰減較快.

為了理解上述動力學特征,采用3個洛倫茲函數的和來擬合S1(ω)和S2(ω),即

最終得到擬合參數如下:對于S1,A11=0.649 7,ω11=3.548 9,γ11=0.053 5,A12=0.437 0,ω12=3.624 3,γ12=0.010 1,A13=0.022 4,ω13=3.730 1,γ13=0.028 4;對于S2,A21=0.307 4,ω21=3.542 6,γ21=0.041 9,A22=-0.487 0,ω22=3.626 2,γ22=0.009 5,A23=-0.238 0,ω23=3.694 9,γ23=0.105 5.

從圖6(c),(d)可知,進行洛倫茲函數擬合后,S1(ω),S2(ω)的數值解與近似解稍有差別.

對于動力學,近似演化譜給出的激發態|ai的幾率幅

(8)

從圖6(e),(f)可知,|a1態幾率幅、|a2態幾率幅的數值解與近似解均擬合較好.

(8)式為讀者理解動力學的緩慢振蕩和快速衰減特征提供了重要依據.例如,對于S1(ω),擬合參數A13遠小于A11和A12,表明中心頻率為ω11和ω12的2個主峰對譜的貢獻較大.相較于距離為1 nm時的結果,距離為2 nm時的|ω11-ω12|較小,導致振蕩頻率較低,且距離為2 nm時的半高寬(γ11=0.053 55 eV,γ12=0.010 12 eV)較大,導致衰減較快.

3 結論

筆者采用格林函數預解算子方法,研究了納米銀球附近V型三能級原子的自發輻射動力學特性.初始處于激發態|a1的原子有2個可能的躍遷通道回到|a1態,分別是|a1→|g→|a1和|a1→|g→|a2→|g→|a1,系統動力學呈現出明顯的量子干涉效應.原子的躍遷頻率和原子到納米銀球表面的距離,對V型三能級原子的自發輻射動力學具有重要的影響.動力學演化譜均呈現出2個主峰,且高頻峰的寬度遠遠小于低頻峰的寬度,隨著距離的增大,2個主峰之間的頻率差減小,當躍遷頻率接近等離激元共振頻率時,原子的演化譜峰值降低,尤其是低頻峰.此外,筆者采用多個洛倫茲函數的和擬合了動力學演化譜,解釋了動力學邊振蕩邊衰減的特征,并證明了振蕩頻率由演化譜峰值頻率差決定,而衰減的快慢主要由演化譜的2個主峰寬度決定.