面積公式的由來與推導

湖南長沙市岳麓區博才洋湖小學 顧卿璇

小學數學中求正方形、長方形、平行四邊形、梯形和三角形的面積時都有具體的公式可以運用。例如，三角形的面積公式是“長×高÷2”，而梯形的面積公式則是“（上底+下底）×高÷2”。那么，為什么會有這些求面積的公式呢？換言之，這些面積公式是怎么來的呢？

要弄清楚這些問題，就必須從根本上弄清楚“平方”概念的由來以及不同幾何圖形之間的聯系。

一、面積公式的由來

數學上，面積單位一般是以“平方米”“平方厘米”“平方千米”（平方公里）來表述的。那么，什么是“平方”？或者，“平方”究竟是什么意思？

“平方”這一概念的起源可以追溯到古希臘數學中的平方數概念。古希臘數學家畢達哥拉斯和他的追隨者首次研究了平方數的特性，即“一個數與自身相乘的運算”。

漢語中的“平方”的譯文則來自英文的square，即“平方”也就是一個正方形面積的大小，因為square 的本義就是“正方形”。正方形的四條邊的邊長都一樣長，假定某個正方形的邊長為“x”，則這個正方形的面積就是“x×x”，而“x×x=x2”。如果這個邊長的單位是“4 米（metre）”，則這個正方形的面積為 “16 平方米（square metres）”，于是寫作“16 m2”。

至此，不難發現，所謂“面積”，也就是以某個長度單位（例如：厘米）為基準，在一個平面上可以分割出多少個邊長為1 厘米的正方形。如果能夠分割出8 個邊長為1 厘米的正方形，則這個平面的面積為8平方厘米；如果能夠分割出10 個邊長為1 厘米的正方形，則這個平面的面積為10 平方厘米。

于是，求正方形面積的公式便產生了——“S=a×a=a2”。這里，“S”在英文里代表“表面積”（Surface area），“a”代表正方形的邊長。

二、面積公式的推導

正方形的面積公式是求其他幾何圖形面積公式的基礎。有了這個基礎，人們就不難推導出求其他幾何圖形的面積公式。

這里，必須確定的是：所謂“面積”的“面”就是“平面”的意思，而任何平面圖形都可以被概括為“二維圖形”，一個維度是“長”，另一個維度是“寬”（有時，又被稱作“高”）；所謂“面積”的“積”就是“兩個維度的相乘之積”的意思。

面積，面積，原來如此！

以下是一些面積公式的推導。

1.長方形面積公式的推導

既然正方形的面積是由邊長與邊長的乘積而得來，那么這就很好推導出長方形的面積計算公式了，因為正方形就是一個特殊的長方形。

圖1 是一個邊長7 厘米、寬4 厘米的長方形，那么怎么計算其面積呢？實際上，這并不困難，只要將其劃分為邊長為1 厘米的正方形，然后數一數有多少個邊長為1 厘米的正方形，即可求出其面積。

圖1圖2

于是，我們可以把圖1 轉換成圖2。

這樣，我們就可以得到28 個邊長為1 厘米的正方形，而1 個邊長為1 厘米的正方形的面積為1 平方厘米（1 cm2），那么28 個邊長為1厘米的正方形的面積自然是28 平方厘米（28 cm2）。

用數學的算式來表達是“7×4=28 cm2”，因為每一行有7 個邊長為1 厘米的正方形，每一列有4 個邊長為1 厘米的正方形。

于是，長方形的面積計算公式：面積=長×寬。

2.平行四邊形面積公式的推導明白了長方形的面積公式的推導過程，人們就不難得出平行四邊形面積公式的推導。

圖3 是一個邊長3 厘米、高2 厘米的平行四邊形，怎么才能求出其面積呢？

圖3圖4

由于平行四邊形具有對應邊平行、對應邊長度相等的特性，那么就可以過A點作垂線交BC于E，分割出RT △ABE。然后，運用“平移”（rotation）的原理，將RT △ABE平移到DCF的位置，就可以得到一個長方形，且所得到的這個長方形的上底與下底的邊長沒有變化，高也沒有變化，因此面積大小也不會變化。

既然長方形的面積計算公式是“面積=長×寬”，那么平行四邊形的面積不就是“底邊邊長×高”嗎？而通過觀察和對比圖3 向圖4的轉換，我們就可以發現 ：平行四邊形的“底邊邊長”就是長方形的“長”，平行四邊形的“高”就是長方形的“寬”。

3.梯形面積公式的推導

圖5 是一個上底2 厘米、下底4 厘米、高3 厘米的梯形。如何求其面積呢？實際上，求平行四邊形面積的“割補法”對推導梯形面積的公式具有啟示作用。

圖5圖6

我們只要分別過A點作垂直于BC的垂線于G和過D點作垂直于BC的垂線于H，然后分別取BG的中點F和HC的中點I作垂線EF交于E和垂線JI交于J，再將△JIC逆時針旋轉180°，至△DJK的位置，將△EBF順時針旋轉180°，至△ALE的位置，就可以得到一個長方形LFIK。

因為：AD=GH,BF=FG=LA,HI=IC=DK，

所以：LA+AD+DK

=FG+GH+HI

=(AD+BC)÷2

=(2+4)÷2

=6÷2

=3

于是，“3 厘米”即長方形LFIK的“長”，那么這個長方形的面積就是9 平方厘米（3×3=9）。而長方形LFIK的“長”由梯形的“（上底+下底）÷2”得來，至此梯形的面積公式就被推導出來了——面積=（上底+下底）×高÷ 2。

4.三角形面積公式的推導

三角形面積公式的推導，似乎比長方形、平行四邊形和梯形的面積公式的推導要復雜一些，其實不然。

最簡單的辦法是，當你把一張正方形的紙沿著其中一條對角線剪開，你就能夠得到兩個面積一樣大的三角形。如前所述，正方形的面積是“邊長與邊長的乘積”，那么你所得到的三角形的面積不就是正方形面積的一半嗎？

同樣，當你把一張長方形（見圖7）的紙沿著其中一條對角線剪開，你也能夠得到兩個面積一樣大的三角形。而長方形的面積是“AB×AC”，那么三角形的面積不就是這個長方形的面積除以2 嗎？而△BCD的“底”（CD）就是原來的長方形的“長”，這個三角形的“高”（BD）就是原來的長方形的“寬”，那么，三角形的面積公式不就是“（長×寬）÷ 2”嗎？

圖7

三、結論與啟發

通過對面積公式的由來與推導的討論，我們至少可以得出這樣的結論：面積公式的根本是正方形的面積公式，求幾何圖形面積的關鍵是確定二維圖形的兩個維度，或表現為“長和寬”，或表現為“底和高”。同時，我們從中也可以得到啟示，即數學知識是一個相互聯系的整體，因此在運用數學知識解決問題時要有聯系的、系統的觀念。

Keys toIntensive Training of Decimals (5A)

I.(1) 6.75 (2) 24 (3) 128.224 (4) 25.2 (5) 24 (6) 4

II.(1) 5.8 (2) 0.9 (3) 4.3 (4) 10.6 (5) 1.7 (6) 29.2

III.(1) 1316.015 (2) 3096.665 (3) 6.68 (4) 36.08

IV.(1) 3 (2) 4 (3) 3 (4) 18 (5) 2.3 (6) 60.8 (7) 3 (8) 30.444

V.(1) 13.50 (2) 24.50 (3) 46.75 (4) 24 (5) Yes,she can.Because 2 packs of markers cost 7.5 dollars only.(6) 6.25 (7) 17.5 km.(8) 52.92 m2.