非飽和帶排水及吸水過程中水分分布特征研究

張圣山，衛云波，顧 熙

1. 湖州中交投資發展有限公司，湖州 31300；2. 河海大學 地球科學與工程學院，南京 210013；3. 南京大學 地球科學與工程學院，南京 210023

1 引言

排水和吸水過程是非飽和帶中兩個相反的水氣驅替過程。排水過程指的是多孔介質中含水量減少（即氣驅水）的過程，而吸水過程指的是含水量增加（即水驅氣）的過程（Lenormand and Zarcone,1984）。而根據吸水過程中水相壓強（pw）與氣相壓強（pa）之間的大小關系，吸水過程又可以被細分為三類：自吸（即 free imbibition，此時pw=pa）、受迫吸水（即forced imbibition，此時pw>pa）以及受限吸水（即constrained imbibition，此時（pw

因為“瓶頸效應”的存在，孔隙尺度上的排水和吸水過程存在很大差別，如排水過程中存在不穩定的“海恩斯跳躍”現象（Haines, 1930）、臨近孔隙干擾排水（Smiles et al., 1981）現象，以及吸水過程中存在的相鄰孔隙的“協同充水”（cooperative pore filling）現象（Hughes and Blunt, 2000）、毛細阻斷（snap off）現象（Berg et al., 2013）等等。這些孔隙尺度的排水/吸水現象上的差異是否會對達西尺度下的水分分布產生影響，文獻中尚存在爭議（Smiles et al., 1981; Ferrari and Lunati, 2014）。

本研究使用光透射法監測了二維砂箱中含水量的分布，并定性和定量地分析了排水 吸水過程中含水量分布的特征差異，目的是通過室內實驗探討孔隙尺度下的水/氣驅替過程對于達西尺度下水分運移過程的可能影響，并加深人們對于非飽和帶水氣驅替過程的理解。

2 實驗設計

2.1 實驗材料與裝置

實驗中使用的介質，為美國尤尼明公司（Unimin Corporation, Le Sueur, MN）生產的高純石英砂，商品名稱Accusand。這種石英砂的SiO2含量大于92% 且有機質含量很低，因此透光性能良好，適合用作光透法實驗的介質。實驗所用的40/50目石英砂，顆粒密度2.66 g/cm3，粒徑介于40~50目（0.300~0.425 mm）之間，平均粒徑（d50）為0.359 mm，均一系數1.21（鄭菲，2015）。實驗中使用的二維砂箱，如圖1a所示，內部尺寸為55 cm×45 cm×2.5 cm。砂箱結構由兩塊鋼化玻璃板夾一個中心鋁框構成。玻璃板與中心鋁框之間使用硅酮密封膠黏合，以防止流體泄漏。中心鋁框的左右邊界完全封閉，上邊界設置了六個進氣口與大氣相連通，下邊界設置了六個進/出水口與蠕動泵相連，以控制砂箱中的水位（圖1c）。為了盡可能避免出現水/氣流動的優勢通道，需采用濕法裝填砂箱：將石英砂逐層裝填進砂箱，使用小錘輕擊砂面壓實，同時調整水位，以保證水面始終高于砂面1 cm左右（若水位過高，則石英砂在沉降過程中有可能發生分選，出現分層的現象）。在裝填過程中記錄石英砂的總質量，結合石英砂顆粒密度及砂箱總體積可以計算得到實驗所裝填砂箱的平均孔隙度。

圖1 實驗裝置示意圖Fig. 1 The experimental setup (a) and side/front sketch view of the experimental setup (b, c)

2.2 光透法監測系統

實驗中使用光透法監測系統（圖1b）記錄砂箱中的含水量變化。光透法監測系統由燈箱、砂箱和CCD（Charge Coupled Device）相機組成。燈箱作為光源放在砂箱一側，其發出的光透射過砂箱以后，被放置在另一側的CCD相機所接收。為了避免外界光源對于實驗結果的干擾，整個實驗需要放置在暗箱中進行。實驗所用的暗箱尺寸約為2.5 m（長）×1.0 m（寬）1.0 m（高）。燈箱作為暗箱中的唯一光源，放置在暗箱前端，距砂箱約20 cm。CCD相機（AP2E, ApogeeInstruments, Auburn,CA)放置在暗箱后端，距砂箱約1.8 m。相機通過數據線與計算機相連，使用相機控制軟件MaxIm DL（Diffraction limited, Ottwa）實時傳輸并記錄透過砂箱的光強變化情況。CCD相機所記錄的砂箱圖片分辨率為1200像素（長）*980像素（寬），即實際砂箱中每1 cm長度在監測照片中約對應22個像素。

2.3 實驗步驟

2.3.1 連續排水 吸水循環

實驗開始前，將砂箱處于完全飽水狀態。因此在實驗開始前，CCD相機所記錄的光強值，可以視作為完全飽水下的光強值Iws。完全飽水時，水所占的體積與孔隙體積相等，因此相應的飽和體積含水量θws就等于孔隙體積與總體積之比。此處體積含水量θw定義為：

式中，θw為體積含水量；V水為水的體積；V孔隙為孔隙的體積；V顆粒為顆粒的體積。飽水光強記錄完成后，打開蠕動泵，控制砂箱經歷三次排水 吸水的循環。首先是初次排水，以10 mL/min的流量從砂箱底部向外抽水，歷時150分鐘。初次排水結束以后靜置50分鐘，避免由于邊界條件突然逆轉造成的砂箱內含水量波動。靜置結束后進行第一次吸水，使用蠕動泵以10 mL/min的速度從砂箱底部向內注水，歷時100分鐘。吸水結束以后，靜置50分鐘以完成第一次排水 吸水循環。隨后，以相同的步驟又進行了兩次排水 吸水的循環，流量與歷時設置見表1。實驗中，CCD相機的拍照間隔設置為1分鐘，每次拍照的曝光時間設置為6 s。從完全飽水/干燥的條件下開始排水/吸水，稱為初次排水/吸水。

表1 排水 吸水循環實驗條件Table 1 Experimental conditions of drainage and imbibition

2.3.2 不同流量下的吸水 排水實驗

為了研究流速對于含水量分布特征的影響，參照前人室內及野外實驗的流速設置（Lehmann et al., 1998; Cartwright, 2014; Shoushtari et al., 2018），在同一個砂箱中使用三種其他流量（5 mL/min，100 mL/min，400 mL/min）又做了三次吸水 排水實驗（表2）。在每一次吸水 排水實驗開始之前，首先將砂箱中的水盡可能排干并靜置 50分鐘。接著使用設定的流量從砂箱底部向內注水至飽和，隨后靜置 50分鐘并使用同樣的流量從砂箱底部向外排水，直到將砂箱排干。對于5 mL/min 流量下的實驗，CCD 相機的拍照間隔設置為1分鐘，每張照片的曝光時間設置為 6 s。而對于100 mL/min和400 mL/min流量下的實驗，CCD 相機的拍照間隔設置為3 s，每張照片的曝光時間設置為1 s。

表2 不同流量下吸水 排水實驗條件Table 2 Experimental conditions of drainage and imbibition at different flow rates

2.4 分析方法及精度評價

CCD相機拍攝到的光強數據可以使用Niemet和Selker（2001）提出的方法轉換成飽和度數據，其基本原理在文獻中已有闡述（鄭菲，2015；章艷紅等，2014），本文在此就不做介紹。為了評估該光透法監測系統的測量精度，可以對比實際流入/流出砂箱的水分體積與光透法監測到的砂箱內水分體積的變化，如圖2。這里使用均方根誤差（RMSE）來表征實驗過程中測量體積與實際體積的平均誤差，即

圖2 排水吸水循環實驗中，實際流入/流出砂箱的水體積（actual volume）與光透法監測到的水體積（measured volume）變化對比Fig. 2 Comparison of the actual volume with measured volume of inflow/outflow water

式中，N為測量次數；Vactu為實際流入/流出體積；Vmeas為光透法測得的砂箱內水分體積變化。計算得到的RMSE值見表3，可見光透法監測數據的整體誤差約在5%附近，最大不超過7%。這部分誤差為光透法監測系統的系統誤差，來源可能有很多方面，比如由于不透明邊界的阻擋，貼近邊界部分的介質飽和度無法被準確測量。另外，由于石英砂是自下而上逐層填入砂箱，這就導致砂箱下部的石英砂比砂箱上部更加密實一點。砂箱上下密實度的差異也會給光透法的測量引入系統誤差(在計算飽和度及含水量時我們假設整個砂箱是均質的)。除了系統誤差，光透法的測量結果也會受到隨機誤差的影響。光透法的隨機誤差主要由電噪聲、光子散粒噪聲、砂顆粒顏色差異等因素造成（Azooz et al., 1996）。與系統誤差不同，由于隨機誤差會在求和時互相抵消，因此不會對整體的水量平衡造成影響。隨機誤差會造成單點測量結果的波動，因此影響到光透法測量結果的單點精度。這里使用殘余水區域以及完全飽水區域的含水量波動標準差 (±2%S.D.)來評估光透法測量結果的隨機誤差。在殘余水區域以及完全飽水區域，含水量一般被認為是常數，分別等于θwr以及θws。因此這兩個區域中含水量的波動可以被歸因于光透法測量的隨機誤差。實驗過程中，光透法測得殘余水以及完全飽水區域的含水量波動標準差見表3?？梢钥吹?，在實驗過程中隨機誤差造成的測量結果波動約在2%附近，最大不超過3%，因此其對測量結果的影響基本可以被忽略。

表3 光透法監測結果的均方根誤差及隨機誤差Table 3 Comparison of the RMSEs and random errors during the experiments

3 實驗結果與分析討論

3.1 排水 吸水過程含水量分布對比

圖3顯示了排水 吸水循環實驗中六個階段的含水量分布曲面。從圖3a（初次排水）中可以看到，在砂箱的不同高度處，含水量的分布呈現出不同的規律。根據含水量的分布規律，可以將曲面分為三個部分。在圖中的I號區域（即濕潤鋒以上的區域），含水量值小于 0.10，區域內的含水量基本沒有橫向波動，曲面相對平滑。而當含水量介于 0.10~0.25之間時（區域II，即濕潤鋒所在的區域），含水量出現了比較明顯的橫向波動，曲面變得不再平滑，并能觀察到“指狀”的起伏。當含水量增加到0.25以上時（區域III，即濕潤鋒以下的區域），含水量的橫向波動又變得不明顯起來。在圖3b、c（第二和第三次排水）的濕潤鋒上也可以觀察到“指狀”起伏；但是對于吸水過程，在圖3b、d、f 中，類似的“指狀”起伏卻不是特別明顯。排水過程和吸水過程中濕潤鋒上的這種含水量分布上的差異可以被歸結于以下原因：排水過程是一個相對不穩定的過程，由于孔隙尺度下海恩斯跳躍以及臨近孔隙干擾排水這些瞬變現象的存在，排水過程介質中含水量的波動會大于相對穩定的吸水過程。

圖3 含水量分布曲面Fig. 3 The moisture content distribution for each period

非穩定的排水過程，即孔隙尺度上的海恩斯跳躍現象，很早就有人研究（Klimentos and Mccann,1990）。海恩斯跳躍一般發生在氣體驅替水分從孔喉進入孔腹之時。在排水過程中，由于毛細力的作用，水氣交界的彎液面往往不會均勻地流過孔隙，而是直接從所處的孔喉迅速地躍變到下一個孔喉處。這種躍變往往也伴隨著毛細壓力的瞬間下降（Reynolds et al., 2009），造成相鄰孔隙里水分分布的不穩定波動。Rücker等（2009）指出，在達西尺度下的排水過程，可以視作是一系列孔隙尺度下“雪崩式”不停發生的海恩斯跳躍事件的集合。從圖3中排水與吸水過程濕潤鋒的對比可以推測，孔隙尺度下的不穩定排水過程影響到了濕潤鋒上的含水量分布，并且這類影響能夠在達西尺度下被觀察到。

為了更進一步研究排水與吸水過程中含水量波動的差異，將濕潤鋒上含水量的橫向分布提取出來加以對比。圖4顯示的是第二次排水與吸水過程中，濕潤鋒上含水量橫向分布的對比。從圖4可以看出來，不管是排水過程還是吸水過程，其含水量的橫向分布都存在一定的波動。在排水過程中含水量的波動范圍更大（0.145~0.175），而吸水過程中含水量的波動范圍（0.150~0.165）僅為排水過程的 1/2。排水過程中濕潤鋒上含水量的大范圍波動，可以視作是導致圖3中“指狀”起伏出現的直接因素。

圖4 第二次排水與吸水過程中，濕潤鋒上含水量橫向分布的對比Fig. 4 Comparison of the lateral moisture distribution during main drainage and main imbibition. The insets show the locations in the sand chamber where the moisture content data is extracted

3.2 含水量空間分布相關性分析

圖5中顯示的是第二、第三次排水/吸水過程中濕潤鋒上含水量橫向分布的對比。由圖5a可以發現，在第二次排水與第三次排水過程中，含水量波動的趨勢非常相似。同樣的，在圖5b中，第二次吸水與第三次吸水的含水量波動趨勢也比較一致。根據圖5中的數據，計算了這四個階段中濕潤鋒上含水量橫向分布的斯皮爾曼相關系數r （表4）。從表4可知，第二與第三次排水過程的含水量分布顯示出極顯著的強相關性（r=0.71，p<0.01），同樣的，第二與第三次吸水過程的含水量分布也顯示極顯著的強相關性（r=0.79，p<0.01）。

表4 不同排水/吸水過程，濕潤鋒上含水量分布的斯皮爾曼相關系數Table 4 Spearman correlation coefficients (r) for the moisture distribution during drainage and imbibition.

圖5 (a) 第二、第三次排水過程及 (b) 第二、第三次吸水過程中，濕潤鋒上含水量分布對比Fig. 5 Comparison of the moisture distribution on the wetting front at the 50th min of (a) main drainage and secondary drainage,(b) main imbibition and secondary imbibition

圖5和表4中不同排水(或吸水)過程含水量分布的強相關性可以被歸因于石英砂介質本身的空間分布特征。Suekane等（2009）使用X射線層析成像法研究了砂巖巖芯以及玻璃珠介質中壓實程度與含水量分布的關系，并發現在平衡狀態下壓實度越大的地方含水量越大。Zhou等（2010）在隨后的研究中指出，平衡狀態下的含水量分布與介質孔隙度分布呈現較強的相關性，并且這種相關性不隨實驗流速的改變而改變。雖然本次實驗砂箱內的局部孔隙度分布難以測量，但是從不同排水（或吸水）過程含水量分布的強相關性可以推測，實驗中觀察到的含水量波動并不是隨機出現的，而是受到了介質本身的空間分布特征（局部孔隙度分布/局部壓實度差異）的控制。此外，從表4中還可以看到，排水過程含水量分布與吸水過程含水量分布之間的相關性較弱，說明含水量的分布不僅與介質本身的空間分布特征有關，還會受到水分運動方向的影響。

3.3 含水量分布的Hurst指數

為了檢驗砂箱中含水量的橫向分布是否符合分數布朗運動（fractional Brownian motion，fBm）模型分布，在砂箱的不同高度處提取出含水量的橫向分布，并分別使用差值法和V/S分析法作雙對數散點圖。圖6顯示了三個不同位置的分析示例。從圖6中可以發現，不管是差值法還是V/S分析法得到的散點圖中，窗口長度（?x）的對數與該窗口上統計量（|?θw|或V/S2）的對數均呈較好的線性關系，并且兩種方法估計得到的H值非常接近。由此可知，fBm可以很好地描述砂箱中含水量的橫向波動。

圖6 (a) 差值法及 (b) V/S分析法估計的Hurst指數值的對比Fig. 6 Comparison of Hurst coefficients estimated by (a) Intensity Difference method and (b) V/S analyses

圖7顯示了每個排水/吸水過程，砂箱中不同高度處含水量橫向分布的Hurst指數值。由圖7可見，不管是排水還是吸水過程，Hurst指數的峰值都出現在濕潤鋒上，排水過程的峰值H在0.5附近，而吸水過程的峰值H只有0.2左右。H值越小意味著含水量更傾向于局限在均值附近波動，因此波動范圍越??；相對的，更大的H值意味著含水量的波動范圍也更大。H值在濕潤鋒上達到峰值，意味著濕潤鋒上的含水量分布波動范圍最大，這一點與我們在圖3中觀察到的現象一致。另外，吸水過程中0.2的H峰值顯示了在吸水過程中含水量的波動受到了較強的抑制，其分布有強烈的回歸均值的趨勢；而排水過程中0.5的H峰值則說明濕潤鋒上含水量的波動更接近隨機波動，相比吸水過程受到的抑制較少，更接近一個不穩定的過程。Moebius和Or（2012）在他們的孔隙尺度排水實驗中指出，達西尺度下看似連續運動的濕潤鋒實際上在孔隙尺度上看來是非常不規則和不穩定的。從圖7中可以看到，使用fBm模型及Hurst指數可以較好刻畫這種不穩定排水現象造成濕潤鋒上含水量波動的精細結構。

圖7 排水 吸水過程中砂箱不同高度處含水量分布的Hurst指數值Fig. 7 Comparison of Hurst coefficients in the sand chamber during each period

3.4 不同流量條件下含水量分布的Hurst指數

前文提到，較大的Hurst指數與孔隙尺度不穩定排水過程有關。因此，如果增大排水流量，加快排水速度，應該也能觀察到 Hurst 指數的升高。圖8中顯示了不同流量條件下的Hurst指數對比。從圖8中可以看到，排水過程中隨著流量從5 mL/min升高到400 mL/min，濕潤鋒區域（區域II）的H值變化很小，而濕潤鋒以上區域（區域I）的H值變化較為明顯，尤其是當流量增加到400 mL/min時，區域I的H值從0升高到了0.3附近。區域II的H值變化不明顯是因為該區域H峰值本來就已經很高，在0.5左右的H值意味著含水量的波動已經接近隨機波動，因此排水流量的進一步增加無法造成區域II中H值的增加。而區域I中H值的明顯升高可以被歸因于快速排水造成的不穩定現象。隨著排水流量的增加，越來越多的水分被滯留于濕潤鋒上方來不及及時排出。由于這部分滯留的水分無法在濕潤鋒上方穩定存在，會隨著排水過程的進行逐步排出。正是這些仍然在緩慢排出的滯留水分造成了區域I中Hurst指數的升高。另一方面，觀察吸水過程的Hurst指數可以發現，隨著吸水流量增大，吸水速度加快，計算得到的Hurst指數反而出現了些許下降。從圖8中可以看到，隨著吸水流量從5 mL/min上升到400 mL/min，砂箱中Hurst指數的峰值從0.2左右下降到了0.1左右。H峰值的下降意味著隨著吸水流量升高，濕潤鋒上含水量的波動有更強烈的均值回歸的傾向，其波動范圍受到了抑制。關于吸水速度對于濕潤鋒形態的影響，前人也做了不少研究（Berg et al., 2013, Nguyen et al.,2006）。Hughes和Blunt指出，在吸水速度較快的時候，粘性力占主導而毛細力受到抑制，因此水分更傾向于優先充填臨近的孔隙，而不是在毛細力的作用下上升形成指狀毛細水（Berg et al., 2013）。此時相鄰孔隙的“協同充水”現象發生得很頻繁，在孔隙尺度下來看，水氣交界面往往是連續且平滑的。而當吸水速度較低時，毛細力占據了主導地位，在毛細力的作用下水分沿著孔隙直徑較小的路徑上升，形成了一處處不規則的指狀毛細水。根據圖8中的結果可以推測，這種吸水速度對于水氣交界面的影響同樣能在濕潤鋒上體現出來。由于介質本身存在一定的非均質性，低流量下濕潤鋒上的水分在毛細力的作用下不規則上升，體現為含水量在橫向上的波動。然而隨著吸水速度加快，毛細力的作用受到抑制，濕潤鋒上的水分分布變得更加規則，所以此時含水量的波動也受到了抑制，H值也隨之下降。

圖8 不同流量條件下吸水/排水過程含水量分布Hurst指數對比Fig. 8 Comparison of Hurst coefficients under different flow rates

4 結論

通過二維砂箱實驗研究了排水及吸水過程中含水量分布的差異，并使用分數布朗運動模型定量分析和討論了含水量的波動特征。在排水過程中，由于“海恩斯跳躍”等孔隙尺度不穩定排水現象的存在，導致含水量在橫向上出現較大范圍的波動，并且在含水量曲面上能觀察到含水量波動造成的指狀起伏。而在吸水過程中，含水量的波動范圍更小，含水量曲面也更為平整。含水量分布在排水過程和吸水過程之間的差異說明了孔隙尺度的一些常見過程能夠對達西尺度下的水分運動過程造成影響，而不是在提升尺度的過程中被簡單抵消掉。