基于距離加權的矩形擬合方法研究

楊洋

（深圳市華漢偉業科技有限公司，廣東 深圳 518000）

1 引言

機器視覺作為自動化系統中的“眼睛”和“大腦”，在推動智能制造向智能化、柔性化發展中起著重要作用。當前，機器視覺主要有測量、定位、識別、表面質量檢測四大應用場景。光學測量作為實現非接觸式測量的關鍵技術和手段，在自動化生產過程中起著重要作用。在平面測量中，點、線、圓和矩形等作為常用的設計要素和基本幾何基元，解決上述基本幾何基元的精確估計，是實現精確尺寸估計關鍵技術。

圖像中的幾何測量是圖像分析和理解的重要內容，也是機器視覺的基礎技術之一。為了滿足裝配、測量、品質分類等場景的要求，很多時候需要從圖像中提取感興趣的幾何形狀，如直線、圓、橢圓、矩形等，并對它們進行分析和計算，如求取它們的位置、方向、尺寸、面積、周長等參數?；谳喞木匦螖M合方法主要存在以下兩方面的問題：①圖像輪廓的提取不一定準確，可能會受到噪聲、遮擋、光照等因素的影響，導致輪廓不完整或不規則，從而影響矩形擬合的效果；②矩形擬合不一定穩定，可能會受到輪廓點分布不均勻或離群點的影響，導致矩形擬合結果與目標不一致或有較大誤差。

為了解決上述問題，本文提出了一種基于距離加權的矩形擬合算法，通過引入一個加權函數來給不同距離的點分配不同的權重，從而降低噪聲和異常值的影響，提高擬合精度和魯棒性。加權函數，給距離近的點更高的權重，給距離遠的點更低的權重，如Gauss、Huber、Tukey 等加權方法。

本文首先介紹了基于距離加權的矩形擬合方法的原理和步驟，然后通過實驗驗證了該方法在不同類型和條件下的圖像上的有效性和優越性，并與其他常用的矩形擬合方法進行了比較和分析。最后，總結了本文的主要工作和創新點，并指出了未來需要改進和完善的方面。

2 研究與方法

矩形擬合是一種常用的圖像處理技術，矩形擬合的基本思想是根據一組點集（xi，yi），根據預測值和真實值的誤差的平方和最小的原則，完成矩形參數的估計，從而實現目標檢測、識別或測量等功能。矩形是由相互正交和平行的四條直線構成的，因此很多直線擬合的方法，可以用來解決矩形擬合的問題。常用的直線擬合的方法有霍夫直線檢測[1-2]、最小二乘直線擬合[3-5]、RANSAC直線擬合[6-8]等。本節首先介紹基于直線一般方程的最小二乘參數估計方法，然后結合聚類方法闡述點集劃分的方法，最后給出矩形擬合的基本步驟和原理闡述。

2.1 最小二乘直線擬合

直線的一般表示形式為ax+by+c=0，其中a2+b2=1。設輸入的點的坐標為（xi，yi）（i=1，2，…，n），根據最小二乘原理，可以建立目標函數為

2.2 坐標點集合聚類分割

輸入的坐標是一個數組集合，由于矩形擬合需要獲得每條直線對應的點的坐標，因此需要對數據點進行劃分。本文坐標點分割的流程為：

1）根據輪廓點，獲取凸多邊形表示；

2）獲取凸多邊形中距離最遠的兩個點，確定為矩形對角線的兩個點；

3）根據所述矩形對角線的兩個點，確定矩形的另外兩個點，確定方法為從剩余的輪廓點或凸多邊形剩余的點中，尋找與所述矩形對角線的兩個點分別形成的直線的夾角與90 度的差最小的像素點，以作為矩形中剩余的點。通過以下公式來尋找矩形中剩余的點：

4）將對尋找到的像素點進行位置校正，以使得校正后的像素點與所述矩形對角線的兩個點分別形成的直線的夾角呈90°，可以通過以下公式來校正，以獲得剩余的兩個點：

5）計算各輪廓點與所述初始矩形四邊條的距離，根據距離，將輪廓點分割到與四邊條中最短距離的那一邊，以將輪廓點分割為四組，每邊對應一組。

2.3 基于距離加權的最小二乘擬合

本文提出了一種基于距離加權的矩形擬合算法，它通過引入一個加權函數，給距離近的點更高的權重，給距離遠的點更低的權重，從而降低噪聲點對擬合結果的影響。對于矩形的四條直線可以分別表示為

由于通過2.2 節已經把輸入的邊緣數據點分割為四條直線對應的數據點的集合，可以建立約束目標函數為

權重初始化為，對a、b、c、d、e、f和λ分別求偏導數，并令其偏導數等于0，可以獲得參數a、b的初始解。后續可以根據Gauss-Newton 方法進行迭代計算，獲得a、b最終解。a，b取值后，可以獲得矩形的4 個點的坐標為

對于權重參數，常用的有三種：Gauss、Huber、Tukey，這三個權重函數的應用效果都很好。Huber 權重定義表示為

Tukey 權重定義表示為

式中，τ為削峰因子，δ表示點到對應直線的距離。這些點的權重在0～1 之間滑動變化，越接近理想擬合直線的點，所獲得的權重越大，否則權重越小或者等于0。對于閾值τ的選擇，通常經過距離的標準差近似估計獲得。標準差的近似可以根據下式獲得[10]：

3 結果與討論

本文對6 個不同大小、不同旋轉角度的矩形進行測試，獲得Least Square、Huber 和Tukey 三種情況下的矩形擬合結果，獲得擬合的矩形的中心（xc，yc）、主軸角度θ、主軸長L1和次軸長L2，Huber、Tukey 迭代次數為10 次。測試結果數據見表1。

表1 測試結果數據

輸入的圖像數據自上而下，自左向右，依次為工件1～工件6，不同算法的檢測結果如圖1 所示。

圖1 輸入圖像及不同算法檢測結果

傳統的方法通過提取點的坐標，通過直線擬合獲得擬合的矩形信息。本文將2 個正方形進行擬合測試，測試結果表明本文方法的兩個矩形的邊長的差距更小，具有更好的擬合效果，測試結果如圖2 所示，紅色為傳統方法的計算結果，綠色為本文計算結果，測試數據見表2。

圖2 對比測試結果圖

表2 對比測試結果數據

4 結束語

本文提出了一種基于距離加權的矩形擬合算法，通過引入一個加權函數，給距離近的點更高的權重，給距離遠的點更低的權重，從而降低噪聲點對擬合結果的影響。通過幾何相似性，對輸入的數據點進行分割，劃分為四組直線數據，將矩形參數的回歸轉化為基于直線參數的回歸，最后利用最小二乘法求解矩形模型的參數，利用了矩陣運算和迭代優化的方法，提高了算法的效率和收斂性。在機器視覺、智能制造等領域，可以利用矩形擬合來識別物體的位置、姿態、尺寸等信息，從而實現精準的控制和優化，具有很好的應用和落地前景。

矩形擬合在智能制造領域有廣泛的應用場景，如在半導體、3C 電子制造、新能源等領域，成為解決測量工藝節點的關鍵技術。主要應用：半導體中掩膜板、Wafer晶圓的寬度、高度測量等；新能源領域中極片尺寸測量、極片清洗槽寬度測量等；3C 電子制造業中，手機面板、中框、背板等尺寸測量。