母線橢圓率對橢球形金屬隔膜翻轉行為的影響

范 凱，趙和明

（1.上?？臻g推進研究所，上海 201112； 2.上?？臻g發動機工程技術研究中心，上海 201112）

1 引言

推進劑貯箱作為航天器推進系統中關鍵的承壓容器部件，其核心功能是貯存和供給滿足使用要求的推進劑［1］。其中，推進劑的供給主要由貯箱內部的管理裝置實現。作為重要的推進劑管理裝置之一，金屬隔膜因可靠性高、工藝簡單、相容性好等特點被廣泛使用。

金屬隔膜在內外側壓差作用下通過翻轉變形將液體推進劑排出，完成推進劑供給。因此，隔膜的可靠翻轉對貯箱性能至關重要。同時，受限于上述工作原理，現有的金屬隔膜結構主要為球形、橢球形及錐球形。其中球形隔膜結構最為簡單，主要翻轉區呈半球形，但其幾何尺寸（半徑）由貯箱液腔容積直接確定，進而貯箱外包絡尺寸也隨之確定，因此該類型隔膜應用場景受限。橢球形隔膜和錐球形隔膜是在球形隔膜的基礎上對型面進行調整，可實現在確定貯箱外包絡尺寸下根據液腔容積要求進行適應性設計，應用場景更為廣泛。近些年針對球形和錐球形隔膜翻轉行為及影響因素開展了較多研究。結果表明隔膜翻邊半徑［2-3］、隔膜錐角［4］、隔膜壁厚［5］和徑厚比［6］等幾何參數對隔膜翻轉行為影響顯著，需要在隔膜設計中加以考慮。為拓展金屬隔膜的應用場景，作者對新型柱形金屬隔膜的結構設計優化和變形行為進行了研究［7］。然而，對于橢球形隔膜的翻轉行為及影響因素研究較少。黃韜等［8］通過有限元方法研究分析了厚度梯度對鈦制橢球形隔膜翻轉行為的影響。作為橢球形隔膜的另一個重要幾何參數，母線橢圓率ρ的影響尚未見研究報道。目前的金屬隔膜采用板材沖／旋壓后機加壁厚得到，這就意味著不同母線橢圓率的隔膜需要不同的沖／旋壓工裝，試驗研究時間和經濟成本巨大。有限元仿真模擬技術為開展這一研究提供了更為合適的手段。

本文以橢球形金屬隔膜為研究對象，基于弧長（Riks）法的有限元仿真，研究母線橢圓率ρ對隔膜翻轉行為的影響，重點分析其對翻轉壓力、徑向失穩和最終翻轉型面的影響機理。

2 有限元模擬

2.1 隔膜結構和幾何

橢球形金屬隔膜為軸對稱結構，其結構及幾何尺寸如圖1 所示。其母線由橢圓段、翻邊段和直線段3 部分構成。其中橢圓段方程如式（1）所示。

上述3 段經旋轉后分別形成隔膜結構的3 個組成區域：構成翻轉主體區域的橢球區、誘發隔膜啟動翻轉的翻邊區和用于與殼體密封連接的直筒區。

橢球形隔膜幾何參數包括：隔膜高度H、翻邊半徑r、豎直柱段高度h、翻邊段圓心到隔膜中心軸的距離L和隔膜壁厚t。為了研究母線橢圓率ρ對橢球形隔膜翻轉行為的影響，保持其他幾何參數不變，僅通過改變母線橢圓的長半軸a和短半軸b實現橢圓率ρ的改變。本文共選取6 組不同ρ的隔膜（D-1～D-6），其具體型面如圖2 所示，對應的幾何參數如表1 所示。

表1 橢球形金屬隔膜幾何參數Table 1 Geometry datas of ellipsoidal metal diaphragms mm

圖2 不同ρ 值的橢球形隔膜初始型面Fig.2 Initial profiles of ellipsoidal diaphragms with different ρ values

2.2 隔膜材料

根據隔膜的工作特點，一方面，要求其容易變形，具有良好的柔韌性、延展性、不易破裂失效；另一方面，能與推進劑長期貯存。目前常用的隔膜材料為純鋁、純鈦和不銹鋼。本文選用工業純鋁橢球形隔膜為研究對象，其在室溫下的真應力-應變曲線如圖3 所示。

圖3 室溫下工業純鋁的真應力-應變曲線Fig.3 True stress-strain curve of commercial pure aluminium at room temperature

2.3 隔膜有限元模型

采用ABAQUS 有限元軟件對不同母線橢圓率ρ的橢球形隔膜進行三維（3D）建模。綜合考慮結果準確性和計算成本，將所有隔膜結構簡化為1／4 模型。在隔膜直筒區頂端和2 個對稱面上分別設置固定約束和對稱約束，同時在隔膜外表面上施加均布載荷。所有隔膜均采用殼單元（S4R）進行計算分析。通過網格無關性驗證得到較為合理的網格尺寸2 mm×2 mm。圖4 為典型橢球形隔膜（ρ＝1.1）的整體網格，其共包含65 968 個網格和66 235 個節點。

圖4 ρ＝1.1 橢球形金屬隔膜有限元模型Fig.4 Finite element model of ellipsoidal metal diaphragm with ρ＝1.1

Riks 弧長法作為目前結構非線性分析中計算穩定、計算效率高且可靠性高的迭代控制方法之一，被廣泛應用于推進劑貯箱金屬隔膜的非線性前后屈曲分析，其合理性和有效性得到了驗證。本文仍采用Riks 弧長法模擬不同母線橢圓率的橢球形隔膜翻轉變形過程。

3 結果與討論

3.1 母線橢圓率對隔膜翻轉壓力的影響

通過模擬得到6 組不同母線橢圓率ρ的橢球形隔膜在翻轉過程中的壓力變化，如圖5 所示。從圖中可以觀察到，在隔膜翻轉初期（隔膜頂點軸向位移D＝0 ～6 mm），不同母線橢圓率ρ的隔膜對應的翻轉壓力p曲線基本相同，如圖中A區域局部曲線所示；在隔膜翻轉前期（隔膜頂點軸向位移D＝6～280 mm），母線橢圓率ρ越大的隔膜對應的翻轉壓力p曲線越低，如圖中B區域局部 曲 線 所 示； 在 隔 膜 翻 轉 后 期（D＝280 ～620 mm），母線橢圓率ρ越大的隔膜對應的翻轉壓力p曲線越高，如圖中C區域局部曲線所示；在隔膜翻轉末期（D＝620 ～630 mm），不同母線橢圓率ρ的隔膜對應的翻轉壓力p曲線基本相同，如圖中D區域局部曲線所示。因此，母線橢圓率的增加對橢球形隔膜翻轉壓力的影響與翻轉階段有關。在隔膜翻轉初期和末期，母線橢圓率對翻轉壓力基本無影響；在翻轉前期，母線橢圓率的增加對翻轉壓力產生負向影響；在翻轉后期，母線橢圓率增加對翻轉壓力產生正向影響。

圖5 不同母線橢圓率的橢球形隔膜翻轉壓力曲線Fig.5 Overturing pressure curves of ellipsoidal diaphragms with different generatrix ellipticities

3.2 母線橢圓率對隔膜翻轉徑向失穩的影響

圖6 展示了6 組母線橢圓率的橢球形隔膜在翻轉相同頂點軸向距離（D＝50 mm）時的應力云圖。從圖中可以觀察到，當母線橢圓率ρ較?。é眩?、1.05、1.1 和1.2）時，隔膜翻轉過程中均未出現徑向失穩現象；當母線橢圓率ρ較大（ρ＝1.3和1.4）時，隔膜翻轉過程中在出現了徑向失穩現象，并且隨著ρ的增大，失穩程度增加。因此，母線橢圓率的增加對橢球形隔膜在翻轉過程中的徑向失穩具有一定的負向影響。

3.3 母線橢圓率對隔膜翻轉最終型面的影響

在目前隔膜的設計中，為保證隔膜可靠性，通常不允許隔膜產生較大的塑性變形。因此，將隔膜剛完成翻轉作為其整個工作過程結束的標志，此時對應的型面為翻轉最終型面。

根據模擬得到的6 組不同母線橢圓率ρ隔膜的翻轉最終型面繪制了其最終母線，如圖7 所示。從圖中可以觀察到，在最終隔膜型面赤道位置（y＝-2 ～12 mm） 和下極端位置（y＝-305 ～-295 mm）內，不同母線橢圓率ρ的隔膜翻轉最終型面基本相同，如圖中的A區域和D區域所示；在隔膜最終型面中上位置（y＝-140 ～-2 mm）內，相同軸向位移Δy下母線橢圓率ρ越大對應的徑向位移Δx越大，如圖中的B區域所示；在隔膜最終型面中下位置（y＝-295 ～-140 mm）內，相同軸向位移Δy下母線橢圓率ρ越大對應的徑向位移Δx越小，如圖中的C區域所示；因此，母線橢圓率對隔膜翻轉最終型面的影響與型面位置有關，其中中間位置的影響顯著，赤道和下極端位置幾乎無影響。

圖7 不同母線橢圓率的橢球形隔膜翻轉最終型面母線Fig.7 Overturing final profile generatrixes of ellipsoidal diaphragms with different generatrix ellipticities

此外，對上述各最終母線進行了非線性擬合。圖7 中的2 組散點曲線（黑色方形散點曲線和綠色圓形散點曲線）為2 個典型隔膜（ρ＝1 和1.2）的擬合曲線，擬合結果較好。匯總所有隔膜對應的擬合曲線形狀及方程如表2 所示。從表中可以觀察到，母線橢圓率ρ較小的3 個隔膜（D-1、D-2和D-3）的翻轉最終型面母線約為1／4 橢圓，并且橢圓中心點縱坐標和短半軸長度隨著ρ的增大而增大；母線橢圓率ρ較大的3 個隔膜（D-4、D-5 和D-6）的最終型面約為1／4 圓，并且圓心縱坐標隨著ρ的增大而增大。

表2 不同母線橢圓率的橢球形隔膜翻轉最終型面擬合形狀與方程Table 2 Fitting Shapes and equations of overturning final profiles for the ellipsoidal diaphragms with different generatrix ellipticities

3.4 討論與分析

根據金屬隔膜的工作原理，任一時刻向由翻轉過渡區、翻邊區和待翻轉橢球區所形成的第n個主動翻轉區內施加一定壓力時，在該區域殼體上形成一定的翻轉力矩促使上述3 區發生不同程度的翻轉，并最終依次形成翻轉完成區、新的翻轉過渡區和新的翻邊區，同時后2 區與新的待翻轉橢球區構成第n+1 個主動翻轉區。該過程如圖8所示。連續經歷若干個上述過程即完成隔膜的整個翻轉過程。因此，主動翻轉區的翻轉行為決定了隔膜的翻轉行為，同時其受到該區域局部型面幾何的影響。通常來說，當該區域內的橢球區切線斜率k（＝-tan（90-β））絕對值較小時，該區域的張開夾角β較大，此時驅動其發生翻轉所需的彎矩較小，進而形成了較低的翻轉壓力p曲線；同時較低的翻轉壓力p曲線導致翻轉過渡區轉變為翻轉完成區的變化程度較弱，進而導致最終型面中相同軸向位移Δy對應的徑向位移Δx較大。

圖8 隔膜主動翻轉區翻轉過程Fig.8 Overturning process of diaphragm active overturning area

此外，隔膜主動翻轉區內的待翻轉橢球區殼體承受外壓，并進入塑性階段，此時該區域殼體的抗徑向失穩能力較差［9］。當主動翻轉區內的翻轉壓力pr大于橢球區殼體的臨界失穩壓力ppb時，待翻轉橢球區殼體會發生徑向失穩。

首先，對各隔膜初始型面母線斜率進行了計算?；谑剑?）求導可得到式（2）：

聯合式（1）可得隔膜初始型面母線斜率與隔膜軸向坐標y的關系如式（3）所示。

計算得到6 組隔膜初始型面母線斜率k隨軸向坐標y的變化，如圖9（a）所示。從圖中可以觀察到，不同隔膜的初始型面母線斜率k差異與隔膜軸向坐標y有關。

圖9 隔膜初始型面母線切線斜率變化曲線Fig.9 Change curves of slope of the tangent line for the diaphragm initial profile generatrixes

在隔膜軸向坐標y＝0～6 mm 范圍內（初始型面翻邊區），不同母線橢圓率ρ的隔膜所對應的切線斜率變化曲線基本重合，即任一相同軸向位置的切線斜率k絕對值相同，如圖9（b）中的A區域局部曲線所示。相同的切線斜率k絕對值導致不同ρ的隔膜在此區域內任一時刻的主動翻轉區所需的翻轉力矩相同，進而形成相同的翻轉壓力p曲線（圖5 中A區域曲線）和相同的最終型面（圖7 中A區域型面）。

在隔膜軸向坐標y＝6～205 mm 范圍內（初始型面橢球區底部），母線橢圓率ρ越大的隔膜所對應的切線斜率曲線越高，即任一相同軸向位置的切線斜率k絕對值越小，如圖9（b）中的B區域局部曲線所示。越小的切線斜率k絕對值導致ρ越大的隔膜在此區域內任一時刻的主動翻轉區所需的翻轉力矩越小，進而形成越低的翻轉壓力p曲線（圖5 中B區域曲線）。同時，越低的翻轉壓力p曲線導致翻轉過渡區轉變為翻轉完成區的變化程度較弱，進而導致ρ越大的隔膜最終型面中相同軸向位移Δy產生的徑向位移Δx較大（圖7 中B區域輪廓）。

在隔膜軸向坐標y＝205～317 mm 范圍內（初始型面橢球區中部），母線橢圓率ρ越大的隔膜所對應的切線斜率曲線越低，即任一相同軸向位置的切線斜率k絕對值越大，如圖9（c）中的C區域局部曲線所示。越大的切線斜率k絕對值導致ρ越大的隔膜在此區域任一時刻的主動翻轉區所需的翻轉力矩越大，進而形成越高的翻轉壓力p曲線（圖5 中C區域曲線）。同時，越高的翻轉壓力p曲線導致翻轉過渡區轉變為翻轉完成區的變化程度較強，進而導致ρ越大的隔膜最終型面中相同軸向位移Δy產生的徑向位移Δx較?。▓D7 中C區域輪廓）。

在隔膜軸向坐標y＝317～324 mm 范圍內（初始型面橢球區頂部），不同母線橢圓率ρ的隔膜所對應的切線斜率變化曲線基本重合，即任一相同軸向位置的切線斜率k絕對值相同，如圖9（c）中的D區域局部曲線所示。相同的切線斜率k絕對值導致不同ρ的隔膜在此區域內任一時刻的主動翻轉區所需的翻轉力矩相同，進而形成相同的翻轉壓力曲線（圖5 中D區域曲線）和相同的最終型面（圖7 中D區域輪廓）。

隨后，對隔膜主動翻轉區內待翻轉橢球區殼體的塑性失穩壓力進行計算?；谑剑?）可得其第一主曲率半徑和第二主曲率半徑分別為式（4）和式（5）［10］：

按線性范圍內的薄殼屈曲理論公式［11］，橢球殼塑性失穩臨界壓力為式（6）：

聯合式（4）～（6），分別對6 組不同母線橢圓率ρ的隔膜在翻轉壓力首次達到最大值prmax時對應的塑性失穩臨界壓力ppb進行計算，如表3所示。

表3 隔膜橢球區殼體塑性失穩臨界壓力Table 3 Critical pressure of plastic instability for ellipsoidal shell of diaphragm MPa

從表中可以觀察到，母線橢圓率ρ較小的4組隔膜（D-1、D-2、D-3 和D-4），待翻轉橢球區殼體的塑性失穩臨界壓力ppb均高于隔膜翻轉最大壓力prmax，因此隔膜不會發生徑向失穩（圖6（a）～（d））；母線橢圓率ρ較大的2 組隔膜（D-5和D-6），待翻轉橢球區塑性失穩臨界壓力ppb均低于隔膜翻轉最大壓力prmax，因此隔膜發生徑向失穩（圖6（e）和（f））。此外由于D-6 隔膜的ppb低于prmax的程度較D-5 隔膜更大，進而造成其徑向失穩更為明顯。

綜上所示，母線橢圓率對橢球形隔膜的翻轉行為影響顯著，應在其設計過程中加以考慮。

4 結論

1）母線橢圓率對橢球形隔膜翻轉壓力的影響與翻轉階段有關。在隔膜翻轉初期和末期，其對翻轉壓力基本無影響；在翻轉前期，其對翻轉壓力產生負向影響；在翻轉后期，其對翻轉壓力產生正向影響。

2）母線橢圓率的增加對橢球形隔膜在翻轉過程中的徑向失穩具有一定的負向影響。

3）母線橢圓率對隔膜翻轉最終型面的影響與型面位置有關，其中中間位置的影響顯著，赤道和下極端位置幾乎無影響。母線橢圓率ρ較小的隔膜的翻轉最終型面母線約為1／4 橢圓；母線橢圓率ρ較大的隔膜最終型面母線約為1／4 橢圓。

4）當該區域內的橢球區切線斜率k絕對值較小時，該區域的張開夾角β較大，此時驅動其發生翻轉所需的彎矩較小，進而形成了較低的翻轉壓力p曲線；同時較低的翻轉壓力p曲線導致翻轉過渡區轉變為翻轉完成區的變化程度較弱，進而導致最終型面中相同軸向位移Δy對應的徑向位移Δx較大。

5）隔膜主動翻轉區內的待翻轉橢球區殼體承受外壓，并進入塑性階段，此時該區域殼體的抗徑向失穩能力較差。當主動翻轉區內的翻轉壓力pr大于橢球區殼體的臨界失穩壓力ppb時，待翻轉橢球區殼體會發生徑向失穩。