幾種新型異形橢球面方程、幾何特征及其應用前景

武周虎

（青島理工大學環境與市政工程學院，青島 266033）

引言

橢球面是一種3 參數二次閉曲面[1]，蛋形曲線[2,3]繞其對稱軸旋轉180°形成的旋轉面稱為蛋形曲面。由于蛋形曲面建筑良好的抗風能力、抗震特性和優美的外觀特征備受欣賞。

國際上有代表性的曲面建筑如[4]：中國國家大劇院、日本東京的巨蛋、英國?？怂共锏牡靶魏陀《让腺I的賽博蛋形等造型。張群力等[5]建立了橢球面的斜駛線微分方程和等距曲面方程，給出了建筑造型的三維網格效果圖。程健等[6]認為數字建筑具有數學韻律，當建筑和結構完美融合在一起時，往往能創造出與傳統迥異、令人嘆為觀止的奇妙建筑形態。施永安[7]在數字化建筑背景下采用計算機輔助設計，提出了超橢球大跨空間網殼結構的參數優化方法，方便了建筑師與結構工程師的設計交融?；谖渲芑8-10]創建的Wu’s 單對稱軸二參數平面閉曲線——異形橢圓，武周虎[11]在三維空間上首先創建了Ⅰ和Ⅱ型異形橢球面方程，分析了它們的幾何特征和應用前景。

本文以異形橢圓和橢圓為基本圖形，在三維空間上再分別構建Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面（Wu’s 系列曲面）——5 種類型的3 參數閉曲面方程，分析它們的幾何特性，為其推廣應用提供理論支持。

1 構建條件與分類

以異形橢圓和橢圓的不同組合方式及定義區間為條件，對已有[11]和擬構建的異形橢球面一并進行分類。

在直角坐標系（O-xyz）中，Ox、Oy、Oz軸旋轉的正方向遵循右手定則。定義異形橢球面的3 個獨立參數分別為x坐標方向的半長度（a）、y坐標方向的半寬度（b）和z坐標方向的半高度（c）。其中：y的定義區間為（-b≤y≤b），x和z的定義區間見表1。按照在平行于yOz上的剖面線均為異形橢圓、xOy俯視輪廓投影線為橢圓和異形橢圓以及xOz剖面線為橢圓、半異形橢圓和半橢圓來構建新型異形橢球面的原則要求，在三維空間上分別構建Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面的條件和幾何特征列于表1。

表1 幾種異形橢球面的構建條件和幾何特征

如表1 所示，Ⅲ型異形橢球面在xOy坐標面以上部分與以下部分的高度相同，Ⅳ和Ⅴ型異形橢球面全部位于xOy坐標面以上，Ⅵ和Ⅶ型異形橢球面在xOy坐標面以上部分與以下部分的高度比值為（e-1），自然常數e≈2.718。

按照表1 所列Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面的構建條件和幾何特征，相應異形橢球面方程的構建如下。

2 方程構建

分類構建Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面方程，分別繪制相應的三維空間建模曲面體圖。

2.1 Ⅲ型異形橢球面

（1）在xOz坐標面上，Ⅲ型異形橢球面的垂直剖面橢圓方程為：

或

式中：z1為xOz垂直剖面橢圓的垂向坐標，其它符合同前（下同）。取值范圍（ -a≤x≤a， -c≤z1≤c）；

（2）在yOz平行面上，Ⅲ型異形橢球面的橫截面是異形橢圓（以下簡稱為“橫截面異形橢圓”）。橫截面異形橢圓的對稱軸通過Ox軸上的相應點且平行于Oz軸，其上頂點和下頂點坐標為（y=0，z=±|z1|），垂向高度為2|z1|。設橫截面異形橢圓非對稱軸橫向半寬度為|yb|。

按照標準形式的異形橢圓方程[8-10]，則有橫截面異形橢圓方程為：

式中：當z=|z1|時，為“未定式”，采用洛必達法則計算（下同）。取值范圍（ -|yb|≤y≤|yb|，-|z1|≤z≤|z1|）；

（3）在xOy坐標面上，Ⅲ型異形橢球面的俯視輪廓投影線（也就是橫截面異形橢圓的半寬度變化曲線，下同）為關于Ox軸兩側對稱的橢圓，其數學方程為：

式中：yb為俯視輪廓投影橢圓的橫向坐標，下同。取值范圍（ -a≤x≤a，-b≤yb≤b）；

（4）將式（2）和式（4）代入式（3），化簡整理得到Ⅲ型異形橢球面方程為：

由式（5）繪制的三維空間建模曲面體，如圖1（a）～（b）所示。

圖1 Ⅲ型異形橢球面的三維建模曲面體

2.2 Ⅳ型異形橢球面

（1）在xOz坐標面上，并在z≥0 時，Ⅳ型異形橢球面的垂直剖面半異形橢圓方程為：

式中：z1為xOz坐標面上的半異形橢圓的垂坐標。取值范圍（0≤x≤2a，0≤z1≤2c）；

（2）在yOz平行面上剖面線的上頂點和下頂點坐標分別為（y=0，z=z1）和（y=0，z=0），則有垂向高度為z1的異形橢圓方程為：

式中：取值范圍（ -|yb|≤y≤|yb|，0≤z≤z1）；

（3）在xOy坐標面上的俯視輪廓投射線方程為：

式中：取值范圍（0≤x≤2a， -b≤yb≤b）；

（4）將式（6）和式（8）代入式（7），化簡整理得到Ⅳ型異形橢球面方程為：

由式（9）繪制的空間三維建模曲面體，如圖2（a）～（b）所示。

圖2 Ⅳ型異形橢球面的三維建模曲面體

2.3 Ⅴ型異形橢球面

（1）在xOz坐標面上，并在z≥0 時，Ⅴ型異形橢球面的垂直剖面半橢圓方程為：

式中：z1為xOz垂直剖面半橢圓的垂向坐標。取值范圍（a≤x≤a，0≤z1≤2c）；

（2）在yOz平行面上，Ⅴ型異形橢球面的橫截面異形橢圓方程與式（7）相同。

（3）在xOy坐標面上，Ⅴ型異形橢球面的俯視輪廓投影線為關于Ox軸兩側對稱的橢圓，其數學方程與式（4）相同；

（4）將式（10）和式（4）代入式（7），化簡整理得到Ⅴ型異形橢球面方程為：

由式（11）繪制的三維建模曲面體，如圖3（a）～（b）所示。

圖3 Ⅴ型異形橢球面的三維建模曲面體

2.4 Ⅵ型異形橢球面

（1）在xOz坐標面上，并在z＜0 時，Ⅵ型異形橢球面的垂直剖面下半異形橢圓方程為：

式中：取值范圍（0≤x≤2a， 2c/e≤z1≤0）。

在xOz坐標面上，并在z≥0 時，Ⅵ型異形橢球面的垂直剖面上半異形橢圓方程為：

式中：z1和z2分別為xOz坐標面的下半部和上半部剖面線的垂坐標。取值范圍（0≤x≤2a，0≤z2≤2c(1-1/e)）；

（2）在yOz平行面上剖面線的上頂點和下頂點坐標分別為（y=0，z=z2）和（y=0，z=z1），則有垂向高度為（z2—z1）的異形橢圓方程為：

式中：取值范圍（-|yb|≤y≤|yb|，z1≤z≤z2）；

（3）在xOy坐標面上的俯視輪廓投射線方程與式（8）相同；

（4）將式（12）、式（13）和式（8）代入式（14），化簡整理得到Ⅵ型異形橢球面方程為：

由式（15）繪制的空間建模曲面體，如圖4（a）～（b）所示。

圖4 Ⅵ型異形橢球面的三維建模曲面體

2.5 Ⅶ型異形橢球面

（1）在xOz坐標面上，并在z＜0 時，Ⅶ型異形橢球面的垂直剖面下半橢圓方程為：

式中：取值范圍（-a≤x≤a， 2c/e≤z1≤0）。

在xOz坐標面上，并在z≥0 時，Ⅶ型異形橢球面的垂直剖面上半橢圓方程為：

式中：z1和z2分別表示xOz垂直剖面下半和上半橢圓的垂向坐標。取值范圍（-a≤x≤a，0≤z2≤2c(1-1/e)）；

（2）在yOz平行面上，Ⅶ型異形橢球面的橫截面異形橢圓方程與式（14）相同；

（3）在xOy坐標面上，Ⅶ型異形橢球面的俯視輪廓投影線為關于Ox軸兩側對稱的橢圓，其數學方程與式（4）相同；

（4）將式（16）、式（17）和式（4）代入式（14），化簡整理得到Ⅶ型異形橢球面方程為：

由式（18）繪制的三維立體建模曲面體，如圖5（a）～（b）所示。

圖5 Ⅶ型異形橢球面的三維建模曲面體

3 幾何特性

對Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面，按一般性質和六至坐標、xOz剖面線、俯視輪廓線、橫截面最大異形橢圓以及其它特性進行分析。

3.1 一般性質和六至坐標

一般性質包括凸面性和對稱性等，“六至坐標”包括前、后、左、右、下和上的頂點坐標。

（1）一般性質

a.在表1 中所列的任何一種異形橢球面內部任何兩點所連的線段都在相應異形橢球面的內部，則有異形橢球面為凸球面，對應的空間幾何體為凸球體或凸面體。

b.除Ⅳ和Ⅴ型以外的5 種異形橢球面與任意一條直線最多只有兩個交點，而Ⅳ和Ⅴ型異形橢球面與除Ox 軸以外的任意一條直線最多也只有兩個交點。

c.根據Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面的構建條件、方程和三維建模圖不難得到：Ⅲ型、Ⅴ型和Ⅶ型異形橢球面關于xOz和yOz坐標面具有雙對稱性，Ⅳ型和Ⅵ型異形橢球面關于xOz坐標面具有單對稱性。

（2）六至坐標

Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面前、后、左、右、下和上的頂點坐標，如表2 所示。

表2 Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面的頂點坐標

3.2 xOz 剖面線

在xOz坐標面上的垂直剖面線依次為：Ⅲ型異形橢球面為由式（2）表示的橢圓，如圖6 所示； Ⅳ型異形橢球面為由式（6）表示的上半異形橢圓，如圖7 所示； Ⅴ型異形橢球面為由式（10）表示的上半橢圓，如圖8 所示；Ⅵ型異形橢球面為由式（12）和式（13）分別表示的下半和上半異形橢圓組合曲線，如圖9 所示；Ⅶ型異形橢球面為由式（16）和式（17）分別表示的下半和上半橢圓組合曲線，如圖10 所示。

圖6 Ⅲ型異形橢球面在對稱面xOz 上的橢圓和最大寬度位置的垂坐標（zw）

圖7 Ⅳ型異形橢球面在xOz 對稱面上的半異形橢圓和最大寬度位置的垂坐標（zw）

圖8 Ⅴ型異形橢球面在對稱面xOz 上的半橢圓和最大寬度位置的垂坐標（zw）

圖9 Ⅵ型異形橢球面在xOz 對稱面上2 個半異形橢圓的組合曲線

圖10 Ⅶ型異形橢球面在對稱面xOz 上2 個半橢圓的組合曲線

3.3 俯視輪廓線

（1）俯視輪廓投影線

Ⅲ型、Ⅴ型和Ⅶ型異形橢球面的俯視輪廓投影線為橢圓，其數學方程均由式（4）表示；Ⅳ型和Ⅵ型異形橢球面的俯視輪廓投影線為異形橢圓，其數學方程均由式（8）表示。Ⅵ和Ⅶ型異形橢球面的水平投影線與xOy剖面線重合。

（2）最大寬度位置的垂向坐標

根據Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面的最大寬度位置坐標等于最大高度/e的條件[8]，當x=定值時，可以得到對應的垂向坐標zw等于最大高度/e減去最小垂向坐標的絕對值|zmin|。據此，推導出最大寬度位置的垂向坐標計算公式，如表3 所示。

表3 Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面最大寬度位置的垂向坐標

由表3 和圖6 可知，Ⅲ型異形橢球面最大寬度位置位于z＜0 處，zw的變化曲線為下半橢圓（半高度≈0.264c）；再由圖7 和圖8 可知，Ⅳ型和Ⅴ型異形橢球面最大寬度位置位于z＞0 處，zw 的變化曲線為半高度（=2c/e）的上半異形橢圓或上半橢圓；而Ⅵ型和Ⅶ型異形橢球面最大寬度位置均在xOy坐標面上。

3.4 橫截面最大異形橢圓

Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面在yOz平行面上均為異形橢圓。Ⅲ型、Ⅴ型和Ⅶ型異形橢球面均在x=0 處出現橫截面最大異形橢圓，Ⅳ型和Ⅵ型異形橢球面均在xw=2a/e處出現橫截面最大異形橢圓。

將x=0 代入（5）可以推導出Ⅲ型異形橢球面的橫截面最大異形橢圓方程為：

將xw=2a/e代入式（9）或將x=0 代入式（11）可以推導出Ⅳ型和Ⅴ型異形橢球面的橫截面最大異形橢圓方程均為：

將xw=2a/e代入式（15）或將x=0 代入式（18）可以推導出Ⅵ型和Ⅶ型異形橢球面的橫截面最大異形橢圓方程均為：

3.5 其它特性

Ⅲ型異形橢球面在xOy坐標面以上和以下部分的高度相等；Ⅳ和Ⅴ型異形橢球面全部在xOy坐標面以上；Ⅵ型和Ⅶ型異形橢球面在xOy坐標面以上部分與以下部分的高度比值均為（e-1），即在xOy坐標面以上部分、以下部分的高度分別占最大高度的63.21%、36.79%。

由文獻[10]給出的異形橢圓面積系數曲線圖可知，異形橢圓最大寬度相應的位置高度以上和以下部分的面積系數分別為0.6 083 和0.3 917。根據Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面最大寬度位置的垂向坐標，則有Ⅲ～Ⅶ型異形橢球體在最大寬度位置以上部分和以下部分的體積占各自總體積60.83%和39.17%。而Ⅵ和Ⅶ型異形橢球面最大寬度位置的垂向坐標為z=0，即在xOy坐標面以上部分和以下部分的體積占各自總體積比例也是如此。

4 應用前景

異形橢球面的連續性、光滑性和整體性好，具備G3 曲率相切連續。下面對幾種新型異形橢球面的應用前景進行分析探討。

Ⅲ、Ⅴ和Ⅶ型異形橢球面的俯視輪廓投影均為橢圓，即兩端、前后均對稱，調整垂向高度，剔除曲面的z 坐標較小部分，由相應的異形橢球面方程可得到形狀各異的建筑造型，比如蛋形建筑、塔樓等。選擇幾何尺寸2a=212.20 m[4]、2b=1.354a和2c=0.746a，由式（18）可得到Ⅶ型異形橢球面，在xOy坐標面以上部分的蛋形曲面與中國國家大劇院的外形十分相似，建筑物高度偏高7.2%。如果將z 軸向下倒置的Ⅲ、Ⅴ和Ⅶ型異形橢球面（體），剔除曲面的z坐標較?。瓷喜浚┎糠?，可作為造船的基本形狀，船體下水后浮體的浮心較高，有利于船舶穩定。

Ⅳ和Ⅵ型異形橢球面在三個坐標面上的輪廓線均為異形橢圓，合理調整3 個獨立參數，剔除曲面的z坐標較小部分，由相應的異形橢球面方程可得到具有大小頭的獨特蛋形建筑造型，可建造成歌劇院、藝術館、展覽中心和體育館等曲面穹頂以及景觀雕塑造型的形狀設計。

在實踐中，可根據設計對象的功能需求、環境協調和主題，按照各種異形橢球面方程的構建特征和形狀特征，進行方案比選與融合，取其所長，最終獲得一種理想的優化設計方案。

基于武周虎[12]創建的一種新的異形超橢圓方程，采用類似于異形橢球面方程的構建方法，可以構建出多種型式的異形超橢球面方程及其更多風格獨特的建筑物造型，具有更加廣闊的應用前景。

5 結論

異形橢球是異形橢圓和橢圓在三維空間的推廣。以異形橢圓和橢圓為基本圖形，定義了異形橢球面的3個獨立參數包含半長度、半寬度和半高度，在三維空間上分別構建了5 種類型的異形橢球面。

（1）Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面是：xOy俯視輪廓投影線為橢圓或異形橢圓，在平行于yOz上的剖面線均為異形橢圓，xOz剖面線為橢圓或半異形橢圓或半橢圓；

（2）Ⅲ、Ⅴ和Ⅶ型異形橢球面關于xOz和yOz坐標面具有雙對稱性，Ⅳ和Ⅵ型異形橢球面關于xOz坐標面具有單對稱性。Ⅲ、Ⅳ和Ⅴ型異形橢球面的俯視輪廓線不在同一平面上，Ⅵ和Ⅶ型異形橢球面的俯視輪廓線與xOy剖面線重合；

（3）Ⅵ和Ⅶ型異形橢球面在xOy坐標面（俯視輪廓線）以上部分的高度占各自最大高度63.21%，Ⅲ～Ⅶ型異形橢球體在俯視輪廓線以上部分的體積占各自總體積60.83%；

（4）Ⅲ～Ⅶ型異形橢球面在特殊建設工程、浮體和景觀造型等設計中，具有廣闊的應用前景。