親緣選擇下間接互惠的量子鷹鴿博弈模型合作演化穩定性

張新立,王新穎,程 程,付子芮

(遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116029)

0 引言

自2005年《科學》提出了“合作行為如何演化是21世紀最關鍵的25個科學問題之一”以來[1],研究合作行為的演化穩定性一直是國內外學者重點關注的問題。Smith和Price[2]創立的演化博弈論及Nowak[3]提出的五大合作機制為研究合作行為演化穩定性提供了有效的理論框架。在二人博弈中,鷹鴿博弈被廣泛使用,很多學者利用該理論對鷹鴿博弈合作演化穩定性進行了研究,其中以五大合作機制中親緣選擇和間接互惠最為常見。親緣選擇是指愿意與血緣關系近的伙伴合作的合作機制,如家族企業。Hines和Smith在具有親緣關系的鷹鴿博弈中得到混合演化穩定策略的概率分布不同于純策略的概率分布[4]。Seidy和Ale等人分別從靜態和動態角度展示了合作(鴿)策略為演化穩定策略時,親緣關系滿足的條件[5,6]。間接互惠是人們的善意或惡意不能直接回報,而被傳遞了不相關的第三方的合作機制,如慈善企業。Nowak和Sigmund利用間接互惠的評分系統,得到玩家知道對家得分的概率必須大于成本效益比,雙方才能達到合作[7,8]。Berger建立間接互惠的容忍度評分規則,表明對背叛者有一定的容忍度,可引導社會穩定合作[9]。

上述文獻雖然已經從完全理性發展到了有限理性,但在參與人支付函數方面,并沒有突破經典博弈建立的理論范式。親緣選擇或間接互惠雖然能使個體間形成合作演化均衡,但很難回答這樣一個問題:由于合作系統內部的個體間爭奪公共資源,必然為資源的有限性發生沖突,導致合作解體,鷹鴿博弈困境仍沒有解決。由Meyer[10]創立的量子博弈論為解決這個困境提供了有益思路。王斌等人給出了一個新的量子策略納什均衡并達到帕累托最優,解決了鷹鴿博弈困境[11]。Sun[12]等人通過改變糾纏度使量子鷹鴿博弈達到了合作。

基于上述在演化博弈理論下研究合作行為演化穩定性的不足及量子博弈的優勢,本文首先運用量子博弈刻畫了鷹鴿博弈參與人支付函數,然后把親緣選擇和間接互惠有機結合起來,建立親緣選擇下間接互惠的量子鷹鴿博弈合作演化模型,求出了博弈的演化穩定策略(ESS),對親緣選擇、間接互惠和糾纏如何影響博弈合作進行了分析。此理論不僅拓展了傳統博弈模型支付函數的表示形式,而且把兩種合作機制與量子博弈結合起來,在兩種合作機制和量子糾纏的統一框架下,解決人類競爭和沖突等問題,具有重要指導意義。

1 模型的假設與建立

1.1 量子博弈模型的建立

假設博弈中參與人是兩個有限理性主體,分別為參與人I和參與人II,雙方都有兩個可選擇的策略合作(鴿)策略D和背叛(鷹)策略H.假設雙方共同獲取某一收益為B,雙方發生沖突付出的成本為C,且C>B>0.則經典鷹鴿博弈的收益矩陣為[13]:

參與人II

DH

(1)

(2)

1.2 親緣選擇下間接互惠量子鷹鴿博弈模型的建立

(3)

(4)

2 模型均衡點與演化穩定性分析

2.1 模型均衡點

(5)

(6)

(7)

類似可計算參與人II的收益,進而得到參與人I、II的復制動態方程分別為:

(8)

(9)

2.2 均衡點穩定性分析

引理1[15]均衡點為演化穩定策略(ESS)當且僅當其復制動態方程的雅可比矩陣滿足DetJ>0和TrJ<0條件。

分別對F(x)與F(y)求偏導可得雅可比矩陣:

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

根據Friedman提出的均衡點穩定性判定準則(引理1),對上述五個均衡點進行穩定性分析有如下結論成立:

定理1 均衡G1(0,0)點不穩定。

證明:均衡點G1(0,0)的Jaconbian矩陣為

J(G1(0,0))=

證明:均衡點G2(0,1)的Jaconbian矩陣為

J(G2(0,1))=

令DetJ(G2(0,1))>0,TrJ(G2(0,1))<0得

由于博弈收益矩陣是對稱的,對均衡點G3(1,0)穩定分析后,可得到相同結論。

證明:均衡點G4(1,1)的Jaconbian矩陣為

定理4 均衡點G5(x*,y*)為鞍點。

證明:均衡點G5(x*,y*) Jaconbian矩陣對角線元素為0,故TrJ(G5(x*,y*))=0.因此均衡點G5(x*,y*)為鞍點。

2.3 合作影響因素分析

由圖1可知根據參與雙方的初始概率不同系統有三種演化結果:(1,1)(1,0)和(0,1).鞍點構成了這三種收斂結果的臨界線,當參與雙方開始博弈的初始概率在臨界線右上方時,系統穩定于(1,1),二人選擇合作?？梢姲包c(x*,y*)是博弈演化路徑的重要影響因素,現考慮鞍點對合作的影響。x*和y*越接近0,右上方趨近(1,1)的概率越大,雙方決定合作的概率越大。

圖1 博弈演化路徑圖

1) 糾纏度

2) 辨別度

3) 相關度

3 數值仿真

僅從理論層面對模型進行分析推導,無法直觀地反映各參數對博弈合作的影響,因此本文利用MATLAB軟件數值分析糾纏度γ、相關度r和辨別度a對參與人I合作演化的影響。對參與人II的影響與參與人I相同,設置初始狀態(0.2,0,4)、B=2、C=3.

圖2、3、4分別為參與人I選擇合作的概率隨糾纏度γ、相關度r、辨別度a變化的情況。當a=0.1時,必須保證sin2γ≥0.5參與人才會選擇合作并趨于穩定;當a=0.6時,sin2γ=0.1參與人就會選擇合作并保持穩定。由此可見量子糾纏度是正向促進合作的,若辨別度較大,糾纏度較小,雙方也會合作。當sin2γ=0.6,a=0.1或sin2γ=0.1,a=0.6時,較低的相關度也會使雙方合作;當a=0.1,sin2γ=0.1時,要求r≥0.8才會合作,相關度越大越有利于合作。當sin2γ=0.1時,a≥0.4才會合作;當sin2γ=0.6,糾纏度較大,辨別度即使很小,雙方也會穩定合作。符合本文的理論分析部分,由以上分析可見糾纏度、辨別度和相關度均會正向促進合作,為使參與雙方合作,應增加三參數的值。

圖2 糾纏度γ對合作的影響

圖3 相關度r對合作的影響

圖4 辨別度a對合作的影響

4 結論