諧波減速器動力學特性與建模研究進展

張 猛, 熊宇聰, 祝曉麗, 梁驕雁, 郭超勇, 唐藝偉, 肖 曦

1. 北京控制工程研究所,北京 100094 2. 清華大學電機系,北京 100084

0 引 言

諧波減速器是20世紀50年代后期隨著空間技術發展而出現的一種新型傳動機構.1947年,蘇聯工程師МOCKBИTИH[1]提出諧波傳動原理.1955年,為適應空間技術應用需求,美國發明家MUSSER[2]根據諧波傳動原理發明諧波減速器,于1957年申請諧波減速器發明專利.1965年,日本從美國引入諧波減速器技術,開始探索諧波減速器商業化發展道路.1987年,日本成立哈默納科公司,成功實現諧波減速器產業化發展.截至2021年,日本哈默納科公司生產的諧波減速器占據世界市場90%的份額[3].

傳動比和輸出力矩相近的通用行星減速器和諧波減速器主要指標如表1所示[4].相較于通用行星減速器,諧波減速器具有如下優點:1)相對質量減小62%;2)工件構件數減少77%,體積減小75%;3)價格降低60%.

表1 通用行星減速器和諧波減速器主要指標比較Tab.1 Comparison of planetary transducer and harmonic drive

基于上述優點,諧波減速器廣泛應用于空間機械臂關節設計,是空間機械臂關節傳動的核心部組件,支撐空間在軌服務、深空探測任務的順利實施.ESA靈巧機械臂DEXARM[5]、DLR智能關節IRJ[6]、NASA空間飛行遙控機器人FTS[7]和Maryland大學空間系統試驗室研制的輕型自重構空間機械臂MORPHbots[8]等在關節處采用了諧波減速器傳動.

隨著空間在軌服務與支持、深空探測任務日益多元化,對空間機械臂工作能力和工作性能提升需求日益迫切[9].諧波減速器作為空間機械臂關節的核心部組件,其動力學特性對空間機械臂性能提升舉足輕重,如諧波減速器的低剛度造成空間機械臂諧振,降低空間機械臂運動平穩性等.

為提升空間機械臂工作性能,1992年,MIT 人工智能試驗室的TUTTLE[10]對諧波減速器的動力學特性開展了系統性研究.TUTTLE通過試驗研究發現,影響諧波減速器動力學特性的主要因素包含運動誤差、非線性剛度和非線性摩擦.運動誤差的頻率與波發生器轉速正相關,運動誤差的頻率與諧波減速器固有頻率相同時,諧波減速器將發生諧振.諧波減速器的剛度呈現高度非線性特點,且存在滯回現象.非線性摩擦與波發生器轉速有關,且隨柔輪和剛輪的相對位置改變呈現周期性變化特點,當諧波減速器諧振時,摩擦會異常增大.在試驗研究基礎上,TUTTLE建立了包含運動誤差、非線性剛度和非線性摩擦3種動力學特性的諧波減速器動力學模型,為理解諧波減速器的動力學行為開辟了道路.此后,國內外學者針對諧波減速器的運動誤差、非線性剛度和非線性摩擦3種動力學特性和建模開展了大量研究,持續至今.

前期,TAGHIRAD和BELANGER等[11-12]開展了諧波減速器整體動力學模型研究.典型的思路為通過試驗的方法,采用位置傳感器、力矩傳感器等設備測量諧波減速器的運動誤差、非線性剛度和非線性摩擦,利用數學函數或模型對運動誤差、非線性剛度和非線性摩擦進行擬合,將擬合的結果代入到諧波減速器傳動關系中,最終獲得諧波減速器整體動力學模型表達式.

隨著諧波減速器動力學特性和建模研究的深入,大量學術成果涌現.相較于前期研究,呈現如下特點:

1)試驗手段多樣化.前期試驗研究主要應用位置傳感器、力矩傳感器等設備獲取諧波減速器整體運動信息.近年來,隨著高速相機、激光傳感器等設備在諧波減速器領域應用,試驗研究不僅可以獲取諧波減速器整體運動的“宏觀”信息,還可獲取諧波減速器運動時,柔輪和剛輪嚙合的運動“微觀”信息.試驗手段多樣化豐富了信息內容,為從“微觀”機理上理解諧波減速器的動力學特性提供了手段.

2)機理分析深入化.前期研究主要采用數學擬合的方式模擬諧波減速器的運動誤差、非線性剛度和非線性摩擦3種動力學特性,未深入分析相關機理.近年來,諧波減速器運動誤差、非線性剛度和非線性摩擦3種動力學特性研究深入機理層面.學者們從諧波減速器的裝配誤差、嚙合誤差和嚙合過程分析等方面開展機理分析,為諧波減速器動力學特性和結構設計之間建立起紐帶,為后續諧波減速器設計優化提供理論基礎.

3)建模手段多元化.相較于前期研究,近幾年隨著人工智能等領域的發展,神經網絡等方法應用于諧波減速器動力學建模,豐富了諧波減速器的動力學建模手段,簡化了動力學方程,為后續諧波減速器動力學模型應用開辟了道路.

本文從試驗、機理和建模3個角度出發,分別論述關于諧波減速器的運動誤差、剛度和摩擦3種動力學特性的最新研究成果,并總結分析諧波減速器動力學特性和建模研究所面臨的挑戰以及未來發展的方向,為后續諧波減速器動力學特性與建模研究提供借鑒.

1 運動誤差試驗、機理及建模研究

諧波減速器的運動誤差定義為輸出組件轉角的理論值和實際值之差.運動誤差由靜態運動誤差和動態運動誤差組成.靜態運動誤差又稱純運動誤差,受諧波減速器裝配、齒間隙等因素影響.動態運動誤差由柔輪彈性變形量和波發生器彈性變形量組成,柔輪彈性變形量取決于負載,波發生器彈性變形量取決于輸入轉矩和輸入轉速,因此動態運動誤差受諧波減速器工況影響.

近年來,諧波減速器運動誤差的研究內容主要集中在以下方面:1)開展空載和帶載試驗,研究負載和轉速對運動誤差的影響,以及靜態運動誤差和動態運動誤差的特性;2)深入分析靜態運動誤差和動態運動誤差機理,研究影響靜態運動誤差和動態運動誤差的主要因素;3)建立運動誤差模型.

1.1 運動誤差試驗研究

運動誤差試驗包括空載試驗和帶載試驗.

(1)空載試驗

侯昱輝等[13]以輸入轉速為自變量,運動誤差為應變量,開展諧波減速器空載試驗.試驗結果表明,在空載試驗中,運動誤差幅值基本不變,對于不同輸入轉速,運動誤差表現出常值差異.究其原因,當諧波減速器空載且輸入轉速恒定時,運動誤差受靜態運動誤差與動態運動誤差共同影響,由于諧波減速器裝配、加工狀態不變,靜態運動誤差幅值不變,而輸入轉矩和輸入轉速保持恒定時,柔輪彈性變形量為零,波發生器彈性變形量為常值,因此,不同輸入轉速工況下,動態運動誤差之間存在常值差異[14].

(2)帶載試驗

當諧波減速器帶載運行時,運動誤差由靜態運動誤差和動態運動誤差疊加而成.不同轉速和負載工況下,運動誤差幅值特性發生變化.王梓熒、裴欣等[15-16]開展諧波減速器帶載運行試驗,試驗結果印證上述觀點.

1.2 運動誤差機理分析

為進一步探究靜態運動誤差與裝配等因素之間,動態運動誤差與轉速、負載等因素之間的聯系, JIA等[17-18]分別針對靜態運動誤差和動態運動誤差開展機理研究.

1.2.1 靜態運動誤差機理

研究表明,靜態運動誤差主要由裝配、齒切向綜合偏差和波發生器形狀引起:

1)裝配引起靜態運動誤差分量的機理如圖1所示.理想狀態下,波發生器應沿理想裝配平面裝配,此時,剛柔輪輪齒的嚙合點為p,而實際狀態下,波發生器組件裝配時,實際裝配平面與理想裝配平面存在誤差,相較于理想裝配狀態,柔輪嚙合齒與剛輪輪齒的嚙合點p將沿剛輪位移至點p′,產生靜態運動誤差分量Δθmisalignment,當嚙合點的轉動角為ψ,徑向位移量為δ,Δθmisalignment可表示為[17]

圖1 波發生器裝配誤差示意圖Fig.1 Assembly error of wave generator

δ=max[rQ-LW]|Q∈Iwg(θwgi)

(1)

(2)

(3)

式中:δ為波發生器裝配誤差作用下,柔輪與剛輪嚙合點p發生的徑向位移;Iwg(θwgi)為波發生器輸入角為θwgi時,波發生器外形曲線在理想裝配平面上的投影曲線,投影曲線隨輸入角θwgi變化;ψ為波發生器裝配誤差作用下,柔輪嚙合齒沿剛輪的轉動角度;Rcs為剛輪半徑;ke為柔輪形狀調整系數.

隨著輸入角θwgi變化,Δθmisalignment呈現周期性變化,當裝配方式不同時,Δθmisalignment具有不同的幅值和頻譜,如圖2所示.

圖2 裝配引起靜態運動誤差幅值和頻譜變化Fig.2 Variation in amplitude and spectrum of static error caused by assembly error

2)齒切向綜合偏差引起靜態運動誤差分量Δθteeth.對于一般齒輪傳動系統,由于輪齒的加工誤差,傳動過程中將出現單齒切向綜合偏差和齒切向綜合偏差.單齒切向綜合偏差的特點為頻率高、幅度小,難以用數學模型描述.齒切向綜合偏差的特點為頻率低、具有周期性,通常采用正弦函數描述.諧波減速器為多齒嚙合傳動,可忽略單齒切向綜合偏差的影響[19].

諧波減速器的齒切向綜合偏差引起的靜態運動誤差分量Δθteeth分為兩部分:①剛輪輪齒切向綜合偏差Fics,可用式(4)表示;②柔輪輪齒切向綜合偏差Fifs,可用式(5)表示

Fics=acssin(θwgi+φcs)

(4)

(5)

式中,acs和afs為剛輪輪齒切向綜合偏差和柔輪輪齒切向綜合偏差幅值,θwgi為波發生器輸入角度,φcs和φfs為剛輪輪齒切向綜合偏差和柔輪輪齒切向綜合偏差相位,Zcs為剛輪輪齒數,Zfs為柔輪輪齒數.

波發生器運轉時,柔輪和剛輪輪齒切向綜合偏差共同作用,且波發生器的長軸嚙合區相位相差πrad,因此,齒切向綜合偏差引起靜態運動誤差分量Δθteeth可表示為

(6)

(7)

式中,ke為多齒嚙合調整系數,lFS為柔輪周長.

諧波減速器齒切向綜合偏差引起靜態運動誤差分量Δθteeth如圖3所示.從頻譜圖可知,柔輪和剛輪齒切向綜合偏差的頻率極為接近,且幅值近似相等,兩者疊加將導致靜態運動誤差出現頻拍現象[18].

圖3 齒切向綜合偏差引起靜態運動誤差幅值和頻譜變化Fig.3 Variation in amplitude and spectrum of static error caused by total tangential composite deviation

3)波發生器形狀引起的靜態運動誤差分量Δθshape的原理如圖4所示.波發生器嵌入柔輪,迫使柔輪發生變形.由于柔輪周長不變,lAB=lA′B′,因此柔輪在波發生器作用下將產生變形角Δθshape,在諧波減速器傳動過程中,變形角Δθshape將疊加在輸出中,成為諧波減速器靜態運動誤差的一部分[20].

圖4 波發生器形狀引起的靜態運動誤差分量ΔθshapeFig.4 Static error caused by shape of wave generator

Δθshape的求解過程為:根據波發生器的形狀,建立柔輪變形后的極坐標方程ρ(θ),根據lAB=lA′B′可得

(8)

式中,Rfs為柔輪未變形時的半徑,α為未變形的lAB所對應角度,θ為變形后lA′B′所對應角度.通過式(8)可求解θ,利用Δθshape=θ-α即可求解Δθshape.

GRAVAGNO等[20]對不同波發生器形狀引起的變形角Δθshape進行研究.當模數、剛柔輪齒數相同時,橢圓等7種不同類型的波發生器形狀對運動誤差的影響如圖5所示.從結果可知,不同類型的波發生器引起靜態運動誤差分量Δθshape幅值和相位的差異.其中Resal型波發生器引起的靜態運動誤差較Cycloidal型波發生器引起的靜態運動誤差幅值小0.12°,相位差約為2°.

圖5 不同類型的波發生器形狀引起的靜態運動誤差Fig.5 Different static error caused by different shapes of wave generator

1.2.2 動態運動誤差機理

動態運動誤差與諧波減速器剛度、負載和轉速等工況有關.直接方法研究動態運動誤差與剛度、負載和轉速等因素之間的關系難度較大,可采用間接方法研究動態運動誤差的特性[18],思路為:首先建立靜態運動誤差數學模型,然后將運動誤差和靜態運動誤差作差,分離動態運動誤差,最后采用拉格朗日方程建立動態運動誤差數學模型,并利用切比雪夫多項式逼近的數值計算方法分析動態運動誤差與剛度、負載和轉速等工況之間的關系.采用間接方法建立動態運動誤差數學模型

(9)

(10)

求解上述模型(如圖6所示),結果表明動態運動誤差的基頻與靜態運動誤差相同,且動態運動誤差中存在高頻分量.

圖6 動態運動誤差和靜態運動誤差Fig.6 Dynamic kinematic error and static kinematic error

采用切比雪夫逼近的方法研究動態運動誤差幅值與剛度、阻尼、轉速和負載等工況系數的關系(如圖7所示),利用運動誤差幅值與工況系數的關系,可對不同工況下動態運動誤差幅值上下限進行預測.分析動態運動誤差對輸入轉動慣量Jin、一次項剛度系數k1、三次項剛度系數k2、波發生器阻尼系數Cin和剛柔輪輪齒之間的阻尼系數Cfc5個變量的敏感性(如圖8所示),結果表明動態運動誤差對輸入轉動慣量Jin、一次項剛度系數k1最為敏感[18].

圖7 動態運動誤差幅值與工況系數的關系Fig.7 Relationship between dynamic kinematic error and working condition

圖8 動態運動誤差敏感性分析Fig.8 Sensitivity analysis of dynamic kinematic error

1.3 運動誤差建模研究

(1)頻譜建模法

頻譜建模法主要步驟為試驗測試運動誤差,利用快速傅里葉變換提取運動誤差Δθerr相對于波發生器輸入角度θwgi、柔輪輸出角度θfso的頻譜特征,采用頻譜疊加的方法建立運動誤差Δθerr的數學模型.頻譜建模法建立運動誤差Δθerr的數學模型可用式(11)表示[21]

(11)

式中,i為運動誤差Δθerr的頻譜中相對波發生器輸入角度θwgi的頻率成分,Ai為對應波發生器頻率成分的幅值,φi為對應波發生器頻率成分的初始相角,j為運動誤差Δθerr的頻譜中相對柔輪輸出角度θfso的頻率成分,Aj為對應柔輪頻率成分的幅值,φj為對應柔輪頻率成分的初始相角.

(2)等效機構建模法

DONG等[22]針對諧波減速器運動誤差建模問題提出等效機構建模法.在建模過程中,將諧波減速器波發生器、柔輪和剛輪3部分等效為不同空間連桿機構,建立諧波減速器運動量,如波發生器輸入角度θwgi等,與空間連桿機構幾何參數之間的聯系,通過分析空間連桿機構拓撲關系,間接建立諧波減速器運動誤差的數學模型.

1.4 運動誤差研究分析

近年來,國內外學者將運動誤差分解為靜態運動誤差和動態運動誤差,分別針對靜態運動誤差和動態運動誤差開展試驗研究和機理分析.

試驗研究方面,開展了諧波減速器空載和帶載試驗,印證了運動誤差中靜態運動誤差和動態運動誤差的存在性.

順著靜態運動誤差和動態運動誤差的研究思路,國內外學者進行了機理分析.對于靜態運動誤差,采用直接法建立靜態運動誤差與裝配、齒切向綜合偏差和波發生器形狀之間的聯系.采用間接法研究動態運動誤差與輸入轉動慣量、輸出轉動慣量、一次項剛度系數和阻尼系數等工況系數之間的聯系.從多方面揭示了運動誤差的變化機理及影響因素.

在運動誤差的建模研究方面,目前有頻譜建模法和等效機構建模法.

對比前期研究,最新研究存在以下方面的意義與局限性:

1)試驗研究方面.前期試驗研究發現,諧波減速器的運動誤差與裝配和工況等因素密切相關.最新試驗研究對前期試驗研究發現進一步驗證.較前期試驗研究進步之處在于,試驗研究的指導思想發生變化,將諧波減速器運動誤差進一步分解為靜態運動誤差和動態運動誤差兩部分,空載試驗和帶載試驗直接證明靜態運動誤差和動態運動誤差分解的合理性,為后續靜態運動誤差和動態運動誤差的解耦研究提供支撐.但是試驗研究未與靜態運動誤差和動態運動誤差機理分析進一步緊密結合,開展系統性試驗,為機理分析提供更為詳實的原始數據記錄.

2)機理分析方面.前期對運動誤差的機理研究開展較少,近年來,學者們對這一領域的內容進行了豐富的研究,尤其在靜態運動誤差機理研究方面,取得了較為重要的研究成果,直接在數量關系層面揭示了靜態運動誤差機理與裝配、齒切向綜合偏差和波發生器形狀因素之間的聯系.動態運動誤差機理研究方面也取得了一定進展.相較于靜態運動誤差機理研究,動態運動誤差機理研究整體仍處于初步分析階段,目前的機理分析實現了對不同工況下動態運動誤差幅值的預測,但是剛度、慣量等因素對動態運動誤差的耦合影響分析需要進一步完善.

3)建模研究方面.最新研究與前期研究既有繼承,又有創新.采用頻譜建模法是前期研究的繼承性方法,在單一工況下,該方法結合辨識算法能較好擬合運動誤差,實現對運動誤差的建模.但諧波減速器工況發生變化,在動態運動誤差影響下,運動誤差頻譜的幅值將發生變化,頻譜法建模將產生偏差.創新方面,學者提出等效機構建模法,建立空間連桿機構與諧波減速器之間的聯系,通過分析連桿機構的拓撲關系獲得諧波減速器運動誤差模型,該方法給出一種新的建模思路,模型對多工況下運動誤差的適應性值得進一步檢驗.

2 剛度試驗、機理及建模研究

諧波減速器剛度分為靜剛度和動剛度.靜剛度定義為諧波減速器承載力矩與相對扭轉角之比,動剛度定義為諧波減速器激振承載力矩與該激振承載力矩引起的相對扭轉角之比.

諧波減速器的動剛度是一種綜合性參數,與靜剛度、阻尼和轉動慣量有關.國內外學者所研究的剛度一般為諧波減速器的靜剛度.

諧波減速器靜剛度具有兩個特點:承載力矩與相對扭轉角之間呈非線性函數關系和存在滯回.靜剛度的非線性特性主要由波發生器、柔輪兩種彈性元件的變形特性決定,其中柔輪的變形取決于柔輪輪齒變形和柔輪薄壁圓筒變形.滯回是一種能量逸散特性,主要由剛柔輪輪齒的摩擦、波發生器變形阻尼損失等因素引起.

近年來,諧波減速器剛度的研究內容主要集中在以下方面:1)開展靜動載荷、靜剛度退化以及柔輪變形等試驗;2)從“宏觀”層面分析波發生器、柔輪等剛度特性對諧波減速器整體剛度特性的影響,從“微觀”層面分析剛柔輪輪齒之間的接觸剛度;3)建立剛度非線性和滯回特性的模型.

2.1 剛度試驗研究

近年來,學者針對波發生器的剛度影響因素開展了試驗研究,包括靜動載荷影響試驗、剛度退化試驗以及柔輪變形試驗.

(1)靜動載荷試驗

在前期研究中,TUTTLE通過靜剛度曲線計算諧波減速器的剛度,并求解諧波減速器的自然頻率,而在諧波減速器帶載運行試驗中,諧波減速器自然頻率實際值與理論計算值存在差異,TUTTLE認為諧波減速器自然頻率的變化是由諧波減速器帶載運行時剛度發生變化引起的.在計算諧波減速器自然頻率時,使用的剛度參數在靜載荷條件下測得,諧波減速器實際帶載運行時,受運動誤差影響,輸出端載荷為動態載荷,諧波減速器剛度發生變化,進一步引起自然頻率變化.譚晶等[23]通過試驗比較了靜態載荷和動態載荷作用下諧波減速器剛度,結果如表2所示.試驗結果表明,動態載荷下剛度低于靜態載荷下的剛度值,驗證了TUTTLE的觀點.

表2 諧波減速器靜動態載荷下剛度Tab.2 Stiffness of harmonic drive under static load and dynamic load

(2)剛度退化試驗

TANG等[24]將諧波減速器跑合100h,測量跑合前后諧波減速器剛度和滯回,結果如圖9所示.跑合100 h后,柔輪輪齒面、柔輪內表面產生磨損,柔輪輪齒剛度降低,剛柔輪輪齒間摩擦減小.最終,諧波減速器剛度受柔輪輪齒剛度影響降低,滯回因輪齒間摩擦減小而減小,非線性增加.

圖9 剛度退化Fig.9 Degrading of stiffness

(3)柔輪變形試驗

柔輪彈性變形影響諧波減速器剛度,研究不同轉速、負載工況下柔輪變形,可明確轉速、負載工況因素對諧波減速器剛度的影響.MA、柴文杰等[25-26]觀察了柔輪在不同轉速下的變形情況,結果如圖10所示.試驗結果表明,同一負載情況下,波發生器轉速升高時,柔輪彈性變形減小,剛柔輪輪齒嚙合深度降低,進而影響諧波減速器的剛度.

圖10 不同轉速下柔輪變形情況Fig.10 Deformation of flexspline under different speed

2.2 剛度機理分析

剛度機理研究從“宏觀”和“微觀”兩方面開展.“宏觀”方面主要研究波發生器、柔輪部組件的剛度和摩擦等因素對諧波減速器整體剛度和滯回的影響.“微觀”方面主要研究剛柔輪輪齒的接觸剛度.

(1)“宏觀”方面

TANG等[24]建立了波發生器剛度、柔輪剛度和摩擦等因素與諧波減速器整體剛度的聯系.TANG建立了波發生器、柔輪組件間相互作用的動力學模型(如圖11所示),通過動力學模型推導了諧波減速器整體剛度表達式,在此基礎上,進一步研究輪齒摩擦、波發生器剛度和柔輪剛度變化時,諧波減速器整體剛度的變化情況.

圖11 諧波減速器剛度機理模型Fig.11 Model of stiffness of harmonic drive

波發生器、柔輪組件間相互作用的動力學模型為

TFS=KFΔθF

(12)

(13)

TFSsinα=KWΔθWcosα±
(TFScosα+KWΔθWsinα+T0)μ

(14)

Δθ=ΔθF+ΔθT+tanα·ΔθW

(15)

式中,TFS為柔輪輸出力矩,KF為柔輪圓筒剛度系數,ΔθF為柔輪扭轉角,ΔθT為柔輪輪齒扭轉角,TT為分段線性函數轉折力矩,li(TFS)和li(TT)為不超過TFS和TT的最大整數,a和b為常數,α為輪齒齒角,KW為波發生器剛度系數,ΔθW為波發生器扭轉角,T0為空載時輪齒預載荷,μ為剛柔輪接觸面摩擦系數,Δθ為諧波減速器整體扭轉角度.

求解該模型,獲得諧波減速器剛度曲線的理論值,理論值與實際值吻合.通過改變參數a和b,該模型還描述諧波減速器剛度退化現象.利用該模型分析剛度隨輪齒摩擦系數、波發生器剛度和柔輪剛度參數的變化情況,結果表明,剛度對波發生器剛度最為敏感.

(2)“微觀”方面

ZHANG等[27]采用分形理論研究諧波減速器剛柔輪輪齒的接觸剛度.剛柔輪輪齒表面為粗糙面,接觸時,剛柔輪輪齒存在彈性變形,這一物理過程可用具有一定分布的彈性球形微凸體(spherical asperity)間的接觸刻畫,彈性球形微凸體的剛度可表征剛柔輪輪齒的接觸剛度.利用分形理論,對彈性球形微凸體間的接觸過程進行物理建模,進而獲得剛柔輪輪齒間的接觸剛度

(16)

(17)

(18)

根據上述理論結果,ZHANG等分析了剛柔輪輪齒間接觸力F與接觸剛度Km之間的關系,結果表明,剛柔輪輪齒之間的接觸剛度Km隨接觸力F增加而線性增加,如圖12所示.

圖12 接觸剛度與接觸力關系Fig.12 Relationship between contact stiffness and contact force

2.3 剛度建模研究

建立諧波減速器剛度模型時需綜合考慮非線性和滯回兩方面特性.前期研究中對剛度的非線性和滯回特性建模有兩種思路:

1)利用多項式函數對非線性特性進行擬合,常見的剛度擬合函數為三次函數,如式(19).將滯回這一能量逸散特性在摩擦模型中,通過靜摩擦項予以體現,不在剛度模型中表示

T=k1θ+k2θ3

(19)

式中,T為柔輪承載力矩,k1為一次項剛度系數,k2為三次項剛度系數,θ為扭轉角.

2)采用Preisach、Maxwell模型原理建立剛度模型,綜合考慮諧波減速器剛度非線性和滯回兩方面特點.

第一種思路將滯回特性排除在剛度模型之外,無法全面表征剛度,建模完備性不足,與實際動力學行為之間存在較大差異.第二種思路建模結果復雜,需要大量試驗數據對模型參數進行辨識,難以取得廣泛應用.

為提升剛度建模的完備性和簡潔性,近年來,學者針對剛度建模問題提出兩種建模方法:①信息學建模方法,包括神經網絡混合建模法[28-29]、憶阻遲滯模型與神經網絡并聯混合建模法[30];②非線性遺傳特性綜合建模法[31-32].

(1)信息學建模法

信息學建模方法優點在于模型結構簡潔,便于工程應用,在諧波減速器建模領域包括神經網絡混合建模法和憶阻遲滯特性模型與神經網絡并聯混合建模法.下文以神經網絡混合建模法為例進行說明.

神經網絡混合建模法的基本步驟為:對承載力矩進行類遲滯預處理,使處理后承載力矩與處理前承載力矩之間具備遲滯特性,建立類遲滯模型.此后,利用動態神經網絡實現類遲滯模型到諧波減速器剛度滯回特性的映射,并對非線性和滯回特性進行幅值和相位補償,建立諧波減速器剛度模型,如圖13所示.

圖13 神經網絡混合建模法Fig.13 Neural network hybrid model

(2)非線性遺傳特性綜合建模法

非線性遺傳特性綜合建模法主要思路是將剛度的非線性和滯回特性進行分離,分開建模,利用三次多項式擬合非線性特性模型,利用遺傳積分的方法建立滯回特性模型,兩者疊加,得到諧波減速器系統剛度模型.模型可用(20)～(22)表示

(20)

Tg(θ)=k1θ+k2θ3

(21)

(22)

2.4 剛度研究分析

近年來,國內外學者針對剛度的影響因素開展試驗研究,針對波發生器剛度、柔輪剛度與諧波減速器靜剛度之間的聯系開展機理分析.

試驗研究方面,開展了靜動態載荷試驗、剛度退化試驗和柔輪變形試驗.

機理上從“宏觀”和“微觀”兩個層面開展諧波減速器剛度的分析:

1)“宏觀”層面.諧波減速器剛度與波發生器剛度、柔輪剛度的聯系被揭開.

2)“微觀”層面.采用分形理論,深入研究剛柔輪輪齒的接觸剛度,并探究了接觸力與接觸剛度的關系.

在剛度的建模研究方面,提出兩種建模方法:以神經網絡為代表的信息學建模法和非線性遺傳特性綜合建模法.

對比前期研究,最新研究存在以下方面的意義與局限性:

1)試驗研究方面.對前期試驗研究進行驗證與深入.如在前期試驗研究中,學者提出剛度將受帶動態載荷的影響而降低,最新的試驗研究驗證了該觀點,受動態載荷影響,諧波減速器剛度降低2/3.此外,近幾年圍繞剛度退化和柔輪變形進行了試驗研究,研究表明,剛度退化是由剛柔輪輪齒退化引起,輪齒長期跑合后,剛度和摩擦降低,導致諧波減速器整體剛度下降,滯回減小.柔輪變形則隨轉速升高而降低.不足之處在于圍繞剛度開展的研究試驗在系統性方面有所欠缺.如在靜動載荷試驗中,剛度與不同形式動載荷之間的關系未進一步明確.柔輪變形試驗中,柔輪變形隨轉速升高而減小,這一變化對整體剛度的影響未深入挖掘.

2)機理分析方面.前期研究主要特點為整體定性分析,從整體上研究剛度的非線性特性,往往采用數學擬合的方法研究剛度曲線的形狀.近年來,剛度機理分析從“宏觀”和“微觀”兩方面取得了重要成果,實現了整體定性分析向個體定量分析的轉變.“宏觀”層面,從波發生器、柔輪和剛輪相互作用機制出發,學者揭示了諧波減速器整體剛度與波發生器剛度、柔輪剛度之間的數量關系.“微觀”層面,應用分形理論,剛柔輪輪齒接觸剛度的數學模型研究取得一定進展.有待進一步深入研究之處有兩點:①“宏觀”層面上需考慮動載荷、剛度退化等方面的機理研究,如動載荷對波發生器、柔輪剛度的影響等;②“微觀”層面上需定量研究剛柔輪輪齒接觸剛度對諧波減速器整體剛度的影響.

3)建模研究方面.前期研究的兩種建模思路:①只對剛度的非線性特性進行擬合,不建立滯回特性模型,將滯回特性歸于靜摩擦項予以體現;②采用Maxwell等復雜模型進行剛度建模,模型較為復雜.最新研究采用信息學建模方法和非線性遺傳特性綜合建模法,模型的形式更為簡潔,且模型完備性更為合理,有利于工程應用.但是,信息學建模方法和非線性遺傳特性綜合建模法是基于現象的建模方法,諧波減速器的剛度被視為黑盒,而試驗研究表明,剛度受到動載荷、轉速等因素的影響,且長時間跑合將出現退化現象.因此,信息學建模方法和非線性遺傳特性綜合建模法的實際應用效果有待實踐檢驗.

3 摩擦試驗、機理及建模研究

諧波減速器摩擦由兩部分組成:波發生器、柔輪和剛輪之間相對運動過程中的摩擦以及波發生器和柔輪彈性變形過程中的勢能耗散.諧波減速器組件之間相對運動產生的摩擦主要表現為接觸摩擦和粘滯摩擦,柔性組件變形勢能耗散主要表現為等效耗散摩擦.影響諧波減速器摩擦的因素主要有溫度、負載和轉速.前期研究表明,溫度影響摩擦系數,直接影響摩擦.負載和轉速主要影響剛輪和柔輪輪齒之間的載荷,間接影響摩擦.

近年來,圍繞諧波減速器摩擦的研究內容主要集中在以下方面:1)開展溫度、負載和轉速等試驗,研究溫度、負載和轉速對摩擦的影響;2)研究摩擦機理,主要研究諧波減速器摩擦表現形式;3)考慮溫度、負載作用下的摩擦數學模型.

3.1 摩擦試驗研究

摩擦試驗主要分為兩部分:1)溫度試驗,主要驗證溫度對接觸摩擦系數和粘滯摩擦系數的影響;2)負載轉速試驗,主要利用計算視覺的方法研究負載和轉速變化對諧波減速器剛柔輪輪齒間摩擦的影響.

(1)溫度試驗

ISKANDAR等[33-34]在諧波減速器運行負載、轉速相同時,改變環境溫度,得到諧波減速器接觸摩擦和粘滯摩擦系數的變化情況,如圖14所示.結果表明,隨著溫度升高,庫倫摩擦和粘滯摩擦形狀參數增加,Stribeck速度和粘滯摩擦系數降低.

圖14 摩擦系數、摩擦力矩與溫度關系圖Fig.14 The relationship between temperature and friction coefficient, friction torque

在上述參數的影響下,運行負載和轉速相同時,諧波減速器的摩擦隨溫度升高而降低.

(2)負載轉速試驗

MA等[35]利用高速相機和計算視覺的方法,對諧波減速器在不同負載、轉速工況下的輪齒嚙合過程進行研究.通過對輪齒的嚙合曲線進行處理,計算得到不同負載、轉速下輪齒的嚙合速度,從速度曲線中觀測嚙合過程的摩擦效應.

試驗結果表明,當負載增加時,輪齒嚙合過程中,在低速階段,嚙合位移出現粘滑現象,速度呈現“臺階”狀,隨著負載降低或轉速升高,粘滑和“臺階”現象消失.該現象是由不同負載和轉速下摩擦效應的差異引起.

3.2 摩擦機理分析

諧波減速器的摩擦分為接觸摩擦、粘滯摩擦和等效耗散摩擦3部分[36-37].其中,接觸摩擦和粘滯摩擦由波發生器、柔輪和剛輪之間相對運動引起.等效耗散摩擦由波發生器、柔輪變形過程中彈性勢能耗散引起.

接觸摩擦g和粘滯摩擦s可表示為

(23)

(24)

圖15 接觸摩擦與粘滯摩擦綜合作用下的摩擦力矩Fig.15 Friction torque considering contact friction and viscous friction

等效耗散摩擦e可表示為

(25)

式中,E為材料的彈性模量,βD為材料常數,εA為單次應變最大應變幅.

3.3 摩擦建模研究

近年來,諧波減速器摩擦建模主要為機理建模,在機理分析的基礎上,考慮了兩方面問題[33]:1)采用LuGre模型改進基于機理的摩擦模型,解決機理摩擦模型在轉速過零時不連續引起的計算問題;2)在模型中考慮溫度、負載對摩擦的影響.

LuGre模型表示諧波減速器摩擦Tf,如式(26)～(27)所示

(26)

(27)

式中,σ0為LuGre模型的剛毛剛度(bristle stiffness),z為剛毛偏轉量,σ1為微阻尼系數,s為粘滯摩擦,g為接觸摩擦.

考慮溫度、負載對摩擦的影響,采用多項式對接觸摩擦和粘滯摩擦的相關系數進行修正

(28)

(29)

(30)

(31)

式中,Fc為庫倫摩擦,vs為Stribeck速度,Fv為粘滯摩擦系數,δv為粘滯摩擦的形狀系數,ξ為環境溫度,τ為負載轉矩.

3.4 摩擦研究分析

近幾年內,國內外學者針對摩擦開展溫度試驗和負載轉速試驗,針對接觸摩擦、粘滯摩擦和等效耗散摩擦開展機理分析.

試驗研究方面,開展溫度試驗、負載轉速試驗.溫度試驗方面,主要探究溫度對接觸摩擦和粘滯摩擦系數的影響.負載轉速試驗主要通過高速相機和計算視覺手段研究不同負載和轉速工況下,剛柔輪輪齒嚙合過程中嚙合速度變化,進而觀察嚙合過程中的摩擦行為.

國內外學者從接觸摩擦、粘滯摩擦和等效耗散摩擦3方面開展諧波減速器摩擦的機理分析,基于摩擦機理分析,建立摩擦機理模型.在此基礎上,后續通過LuGre模型解決機理模型在轉速過零處不連續引起的計算問題,并在模型中考慮了溫度和負載的影響,建立溫度和負載對摩擦系數的修正關系.

對比前期研究,最新研究存在以下方面的意義與局限性:

1)試驗研究方面.對前期試驗研究進行了重要補充.在前期試驗研究中,學者往往關注摩擦機理,著重研究接觸摩擦和粘滯摩擦,對影響摩擦的因素如溫度等研究較少.最新研究開展溫度試驗和負載轉速試驗,進一步補充了摩擦試驗方面的研究成果.在負載轉速試驗中,通過剛柔輪輪齒的嚙合速度的“臺階”現象,明確摩擦粘滑效應的存在,但是該試驗僅在低速工況下開展研究,摩擦在高速工況下的表現有待進一步試驗.此外,前期研究中發現在諧波減速器諧振時,摩擦將產生“跳躍現象”,最新研究對諧振發生時的摩擦效應的“跳躍”機理研究較少.

2)機理分析方面.對比前期研究,學者開始關注由波發生器、柔輪組件在彈性變形過程中的彈性勢能耗散現象,將其作為等效耗散摩擦加以研究,對諧波減速器的摩擦機理進行完善,在摩擦整體行為方面取得重要研究成果.后續可根據輪齒嚙合、波發生器柔輪和剛輪彈性球軸承之間相對運動進一步研究摩擦的局部行為.

3)建模研究方面.在前期機理模型的基礎上,建模時考慮和補充了溫度、負載對摩擦的影響,建模取得良好效果.但是建模過程中僅考慮接觸摩擦和粘滯摩擦,對于等效耗散摩擦考慮有所欠缺,后續可以進一步改進.

4 挑戰與展望

4.1 面臨的挑戰

最新研究針對諧波減速器動力學特性與建模研究在試驗、機理和建模方面取得了長足進展.在試驗方面,高速相機和激光傳感器的應用,為研究諧波減速器嚙合運動過程提供了手段.在機理方面,研究深入考察了諧波減速器動力學特性理論,研究了運動誤差、剛度和摩擦的影響因素.在建模方面,神經網絡等新方法的應用,對建模進行了簡化,為后續模型的應用提供了基礎.

然而,研究領域內總體上仍有3方面的挑戰:

(1)靜態特性與動態特性的不均衡.最新的研究以動力學的靜態特性研究居多,動態特性研究極少.

1)動態運動誤差機理研究.當前階段,通過間接方法研究了動態運動誤差,利用切比雪夫多項式逼近的方法研究了負載、轉速等因素對動態運動誤差的影響,并成功預測了動態運動誤差在不同工況下的上下限.但是動態運動誤差的動態特性、頻譜特性和機理方面的研究有待進一步探究解決.

2)動態載荷作用下剛度研究.研究表明,在諧波減速器運行時,動態載荷作用下剛度會減小,但是減小的機制尚未清晰.

3)諧振時的摩擦表現.根據前期研究成果,摩擦在諧波減速器諧振狀態下存在“跳躍”現象,該現象產生的原因及對諧波減速器運行的影響需從試驗、機理和模型3方面深入挖掘,補充這一問題的研究內容.

(2)局部動力學特性與整體動力學特性、各局部動力學特性之間的關聯性欠缺.

1)最新研究主要分為兩種情況:①偏向于對單一局部特性開展研究,如運動誤差的研究,深入到裝配、輪齒層面,但是該局部特性對于整體動力學特性的影響機理尚待進一步完善;②偏向于對整體特性的把握,如摩擦的研究,在整體上獲得了諧波減速器的摩擦特性,但是具體到波發生器與柔輪之間、柔輪與剛輪之間的摩擦機理分析尚有探討的余地.

2)運動誤差、剛度和摩擦特性之間的耦合研究有待進一步深入.如運動誤差導致諧波減速器轉速波動,當波動頻率與系統頻率相同時,諧波減速器產生諧振,而系統頻率與剛度密切相關,運動誤差與剛度耦合導致系統諧振的機制有待挖掘.此外,摩擦對剛度滯回特性的影響也需進一步討論.

(3)理論與應用的結合緊密性不夠.

1)當前的建模理論傾向于對諧波減速器動力學特性的復現,而對控制器設計的指導意義有待進一步提升;

2)當前的建模理論無法定量研究諧波減速器諧振特性.

4.2 后續展望與建議

綜合3方面挑戰考慮,未來諧波減速器動力學特性以及建模研究有望在動態特性、整體與局部關系、理論與應用3個方面取得進一步發展:

1)動態特性方面.針對動態運動誤差,可結合快速傅里葉分析等手段,提取動態運動誤差的頻譜特性,進而明確動態運動誤差頻譜成分和負載等因素之間的關系,探究負載、轉速等因素對動態運動誤差的影響機理.針對剛度,可建立剛度的頻域模型,分析包含不同頻率成分的動態載荷對剛度的影響,進一步探究動態載荷對剛度的作用機制.針對摩擦,可對諧波減速器的諧振狀態開展力學分析,求解諧波減速器諧振狀態下的摩擦力矩,明確諧波減速器摩擦在諧振狀態下的“跳躍”形式.

2)整體與局部關系方面.對諧波減速器波發生器與柔輪開展彈性動力學研究,對剛輪與柔輪開展輪齒嚙合動力學研究,將兩方面研究結合,揭示諧波減速器整體動力學特性與局部動力學特性的聯系,為運動誤差、剛度和摩擦之間的耦合作用機制的研究開辟道路.

3)理論與應用方面.明確諧波減速器動力學特性對控制系統的影響,尤其對控制系統穩定裕度的影響,為諧波減速器控制系統設計提供堅實基礎.建模方面,可對諧波減速器諧振行為進行力學研究,為后續諧振抑制指明道路.