考慮尺寸效應的FRP約束混凝土分析模型

管國東, 張璐珂

(1.云南航天工程物探檢測股份有限公司，云南 昆明 650217；2.山東大學 巖土與結構工程研究中心，山東 濟南 250061)

0 引言

纖維增強復合材料(Fiber Reinforced Polymer，FRP)具有輕質高強、耐腐蝕和不增加截面尺寸等優點，在混凝土墩柱加固中得到廣泛應用。FRP約束混凝土改變了混凝土的受力狀態，限制了混凝土的側向變形，極大提高了混凝土的強度。FRP約束柱的力學性能可以通過面向設計的模型[1]與面向分析的模型[2]進行預測。面向設計的模型通常會預設FRP約束混凝土的應力應變曲線形狀，然后通過試驗數據回歸分析標定曲線的特征點(峰值強度、極限強度和極限應變等)[3-5]。設計模型公式簡單，便于應用，但不能很好地用于分析FRP約束混凝土的機理，偏重經驗性。分析模型通?；诨炷恋妮S向壓縮和側向膨脹的關系預測約束應力，再根據約束的應力應變模型預測軸向應力，但通常需要逐步迭代計算。

試驗結果表明，混凝土的力學性能隨試樣尺寸不同而變化，這種特性稱為尺寸效應[6]。強度的尺寸效應是混凝土的固有特性，主要產生原因是混凝土內部結構的不均勻性。Bazant[6]建立了一個簡化的力學分析模型，探討混凝土受壓破壞時的尺寸效應，但其論文建立的理論和試驗測試結果顯示：混凝土受壓尺寸效應的研究難度較大，其影響因素不僅與混凝土強度相關，還與柱體的破壞形態有密切關系。

關于試件尺寸對FRP約束混凝土構件的混凝土強度影響存在大量研究和爭論。Owen[7]首次研究了FRP約束混凝土柱的尺寸效應，發現FRP約束混凝土的極限強度存在顯著的尺寸效應。Zhou等[8]對5種不同尺寸的碳纖維布約束混凝土圓柱體進行了軸向壓縮試驗，試驗結果表明，CFRP約束混凝土的極限強度具有明顯的尺寸效應，而極限應變只有輕微的尺寸效應。Wang等[9]得出結論，當AFRP約束處于較低水平時，試樣尺寸對AFRP約束混凝土的過渡強度和極限強度有顯著影響。Jin等[10]通過建立3D細觀數值模擬揭示了GFRP約束混凝土存在尺寸效應現象，并建立了極限強度的半經驗半理論公式。這些研究工作表明FRP約束混凝土存在尺寸效應。相反，另一些學者[11-15]認為，FRP約束混凝土柱的強度或延性的尺寸效應可以忽略。此外，使用FRP材料加固混凝土結構的現行設計規范(ACI、CAS和fib等)未考慮尺寸效應對約束混凝土材料性能的影響。從上述文獻可以看出，關于試件尺寸對約束混凝土的影響存在不同的觀點，需要進一步研究。

分析模型從約束混凝土的機理出發，更具理論性，因此選擇分析模型開展尺寸效應研究。分析模型中，FRP約束混凝土在復雜應力狀態下的行為可以使用Drucker-Prager(以下簡稱DP)塑性模型進行預測[16-17]。Jamatia等[18]指出Jiang等[17]建立的顯式數學模型不能揭示尺寸效應對約束混凝土力學性能的影響。約束混凝土的尺寸效應對強度具有顯著的影響，而內聚力本質上是強度的函數，因此本文基于Jiang等的研究基礎上通過修正內聚力參數模型來考慮尺寸效應的影響。首先分析了頂部鋼板和混凝土圓柱體端部摩擦對破壞模式的影響，然后基于已有文獻中的64個樣本建立了考慮尺寸效應的內聚力模型，并對模型進行了驗證。

1 Jiang等[17]的模型

為了準確預測FRP約束混凝土的應力應變，塑性模型需要具有以下3個特征：①包括第三偏應力不變量的屈服準則；②與圍壓相關的硬化/軟化準則；③流動法則不僅與圍壓有關，而且與約束增加比率有關。雖然傳統的DP塑性模型不包括上述3個特征，但是對DP模型的塑性參數進行修正能夠模擬FRP約束混凝土構件在單軸荷載下的應力應變行為[16-17]。這些參數包括：與摩擦角和內聚力相關的參數決定屈服、硬化軟化準則，與膨脹角相關的參數決定流動法則。本文采用Jiang等建立的顯式參數模型。

1.1 摩擦角模型

(1)

(2)

1.2 內聚力模型

(3)

(4)

式中：k為內聚力；fco為無約束混凝土抗壓強度；ρ為約束剛度比；p1(ρ)和p2(ρ)為約束剛度比的函數；Efrp為FRP的彈性模量，tfrp為FRP包裹厚度，D為混凝土圓柱體直徑。

(5)

(6)

1.3 膨脹角模型

(7)

λ1=11.61ρ+980

(8)

λ2=5 700ρ+225 000

(9)

βu=101.66 exp(-0.06ρ)-37.5

(10)

Jamatia等[18]指出Jiang等[17]建立的顯式數學模型不能揭示尺寸效應對約束混凝土力學性能的影響，因此，本文對該模型修正以考慮尺寸效應的影響。

2 數值模擬

2.1 有限元模型

采用ABAQUS開展有限元分析?；炷林榫哂羞m當邊界條件的1/8圓柱體。FRP布采用平面應力中的正交異性彈性單層板來定義(Lamina)，只考慮其環向模量，將縱向模量、剪切模量設為無限小，泊松比設置為0.3?；炷帘徽J為是各向同性材料，采用實體單元C3D8R，見圖1。模型底面(即實際構件的中間截面)的Z方向平動，側面1的Y方向平動和側面2的X方向平動被約束。模型上端面的鋼板與混凝土頂面的相互作用類型為“表面與表面接觸”。FRP布和混凝土界面采用ABAQUS 中的“Tie”命令，即FRP布和混凝土無相對滑動。

(a)FRP材料局部方向

(b)邊界條件

(c)網格劃分圖1 有限元模型

采用ABAQUS子程序開發的方式開展數值模擬分析。USDFLD子程序可以通過用戶自定義的方式將場變量表示成某一變量的函數來定義材料參數。因此采用USDFLD子程序通過定義場變量的方式實現摩擦角、膨脹角和內聚力模型的導入。其中，采用GETVRM子程序來獲取材料的積分點信息。

2.2 頂部鋼板和混凝土圓柱體端部摩擦對破壞模式的影響

混凝土強度的尺寸效應主要來源于材料的斷裂特性，而斷裂是材料內部微裂紋發展的結果。Bazant分析了加載端無摩擦情況下的混凝土柱體破壞形式，見圖2(a)，這種破壞模式呈現為縱向劈裂裂縫，強度不具有尺寸效應；而當端部存在摩擦時如圖2(b)，混凝土柱出現錐體破壞形態，呈現出較多的斜裂縫，這類破壞具有尺寸效應。

圖2 端部摩擦對混凝土破壞模式的影響

從已有的FRP約束混凝土文獻調研結果看，目前的試驗樣本出現了錐體破壞模式。FRP布表面膨脹，變形明顯，失效時FRP布斷裂，主要原因是，在加載后期內部混凝土的非均勻變形顯著，導致FRP材料中的環向應變不均勻。

值得注意的是，Jiang等[17]模型雖然使用了分析模型開展FRP約束混凝土的研究，但是其數值模型中，不考慮頂部加載的端部約束效應(見圖2)。然而混凝土圓柱體受壓試驗，端部不做處理，圓柱體的端面必然存在摩擦。對文獻[2]的C38CF4樣本進行計算，樣本的具體參數參見表1。圖3為不同摩擦系數下混凝土的軸向塑性應變云圖。

由圖3可知：考慮端部摩擦，錐體破壞可以較好地被模擬；而Jiang等[17]得到的結果，如圖3(a)，不能出現典型的錐體破壞模式。文獻[19]給出鋼板和混凝土摩擦系數為0.6，本文采用該值作為ABAQUS相互作用表面接觸中摩擦系數。

(a)摩擦系數0

(b)摩擦系數0.6

(c)摩擦系數1圖3 不同摩擦系數下約束混凝土軸向塑性應變云圖

3 結果分析

3.1 擬合樣本介紹

本文收集了相關文獻中的64個樣本(見表1)，包括不同的FRP材料、混凝土抗壓強度、圓柱體直徑和高度、FRP粘貼層數。需要說明的是，編號帶上標a的試驗樣本，參考文獻并沒有對應的編號，本文是根據無約束混凝土圓柱體抗壓強度fco、FRP種類和包裹層數命名的。例如，C39.6GF1表示無約束混凝土圓柱體抗壓強度為39.6 MPa、FRP材料為玻璃纖維、包裹層數為1層，其余樣本編號均采用參考文獻中試件編號。fcu1(FEA)通過式(3)得到,fcu2(FEA)通過后文中式(11)得到。

表1 擬合樣本數據庫序號文獻來源編號FRP類型fco/MPaD/mmH/mmtfrp/mmEfrp/GPaρfcu(Test)/MPaAfcu1(FEA)/MPafcu2(FEA)/MPa1C-A-SAFRP50.64702100.057 21183.808 72.661.554.7272.422C-A-MAFRP50.641053150.071 51183.173 62.741.4452.3567.133C-A-LAFRP50.641945820.1431183.435 54.311.252.4851.954C-B-SAFRP28.79702100.057 21186.698 40.311.533.57465C-B-MAFRP28.791053150.071 51185.582 41.721.432.1145.76C-B-LAFRP28.791945820.1431186.042 36.61.2632.1439.187C-C-SAFRP50.64702100.095 31186.345 80.981.4560.5382.668C-C-MAFRP50.641053150.1431186.347 69.151.3558.3371.749[9]C-C-LAFRP50.641945820.2861186.870 63.41.453.7167.310C-D-SAFRP28.79702100.095 311811.160 55.511.7536.9357.7911C-D-MAFRP28.791053150.14311811.164 53.791.737.755712C-D-LAFRP28.791945820.28611812.085 48.971.537.1650.9

續表1 擬合樣本數據庫序號文獻來源編號FRP類型fco/MPaD/mmH/mmtfrp/mmEfrp/GPaρfcu(Test)/MPaAfcu1(FEA)/MPafcu2(FEA)/MPa13C-E-SAFRP50.64702100.190 711812.696 111.481.765.8998.4314C-E-MAFRP50.641053150.28611812.694 96.881.6563.3891.7715C-E-LAFRP50.641945820.57211813.741 106.191.6561.1992.0916C-F-SAFRP28.79702100.190 711822.332 88.431.845.3668.217C-F-MAFRP28.791053150.28611822.328 86.561.647.5466.3218C-F-LAFRP28.791945820.57211824.169 82.621.545.3662.9719W1-50CFRP41.150100177.375.230148.241.8106.60140.220[20]W1-100CFRP41.1100200177.337.62092.11.676.3495.3821W2-100CFRP41.1100200277.375.230146.751.952.85138.5222S1-1CFRP24.52701400.16724247.09261.91.644.5755.7123S2-1CFRP24.521002000.16724232.96453.61.535.4857.324S4-1CFRP24.521903800.16724217.35047.61.3531.5344.5125S5-1CFRP24.523106200.16724210.63439.61.1752.8535.1526S1-2CFRP24.52701400.33424294.1831021.6268.76100.2827[8]S2-2CFRP24.521002000.33424265.92871.971.565.1377.4428S4-2CFRP24.521903800.33424234.69957.81.345.9752.7329S5-2CFRP24.523106200.33424221.26746.71.1737.6741.7830S1-3CFRP24.52701400.501242141.28126.71.771.48103.8131S2-3CFRP24.521002000.50124298.892108.21.567.6393.6432S4-3CFRP24.521903800.50124252.04959.51.356.1763.3833S5-3CFRP24.523106200.50124231.90154.51.143.5146.234C30.2CF1aCFRP30.21002000.17224.625.28646.61.349.0257.9735C30.2CF3aCFRP30.21002000.5224.674.37187.21.4580.2189.2436C30.2CF4aCFRP30.21002000.67224.699.657104.61.584.09109.7437C30.2CF1aCFRP30.21002000.14628.658.28141.71.444.1547.5238[21]C30.2CF2aCFRP30.21002000.28629.6116.75561.456.6251.6139C30.2CF3aCFRP30.21002000.42576.6160.3863.31.3567.0776.1140C30.2AF1aAFRP30.21002000.1597.19.646391.2540.6846.9941C30.2AF2aAFRP30.21002000.2987.316.76668.51.463.4671.442C30.2AF3aAFRP30.21002000.4387.324.86092.11.572.1888.9143C38GF1aGFRP381022041.4219.910.268571.2557.8766.2644[22]C39.4GF1aGFRP39.41022041.4219.99.90363.11.2559.3467.945C39.5GF1aGFRP39.51022041.4219.99.87860.41.2558.516746CC-70-4GFRP31.974008000.9262.549.00058.221.0845.4046.2847CC-80-4GFRP44.394008000.9262.546.48052.840.949.6246.0948[23]CC-85-4GFRP48.94008000.9262.545.88058.180.848.7245.5649CC-80-6GFRP38.814008000.9262.547.41057.140.85549.7542.8450CC-85-6GFRP36.344008000.9262.547.92065.780.962.8760.4251C39.6GF1aGFRP39.61523050.17080.14.52038144.0744.0752[24]C39.6GF2aGFRP39.61523050.34080.19.05055.51.351.3861.5853C39.6GF3aGFRP39.61523050.51080.113.57063.31.359.4570.28

3.2 尺寸效應修正內聚力模型

ABAQUS 擴展DP準則中，摩擦角、內聚力和膨脹角參數控制混凝土應力應變行為，尺寸效應對強度具有顯著影響，內聚力本質上是剪切強度，因此對內聚力修正是合理的?？紤]到混凝土抗拉和抗壓強度均存在尺寸效應[6]，僅僅考慮修正內聚力參數考慮尺寸效應的影響。對式(3)增加修正系數A，該系數和混凝土圓柱體尺寸產生關聯，進而建立考慮尺寸效應的修正模型，見式(11)。

(11)

考慮論文篇幅，僅僅顯示6個擬合樣本預測值和試驗值的對比結果，見圖4，圖4中樣本編號參見表 1。從圖4可以看出：采用內聚力修正系數修正后，應力應變曲線和實測值比修正前更為吻合。

(a) C-A-SS

(b) C-B-S

(c) C-C-S

(d)W1-50

(e) W1-100

(f) CC-80-4圖4 擬合樣本FEA值和試驗值應力應變曲線對比

統計64個樣本的名義強度預測值和試驗值的對比結果見圖5，從圖中可以看出，64個擬合樣本的試驗值與理論預測值具有較好的一致性，R2=0.91，表明本文采用的修正方法能較好地模擬不同圓柱體直徑對FRP約束混凝土柱名義抗壓強度的影響。

(a)修正前

(b)修正后圖5 擬合樣本極限強度試驗值與FEA對比

Bazant提出了尺寸效應定律，見式(12)。

Kim等[25]認為對于約束混凝土圓柱體，式(12)中的D可以用高度與直徑的差值(H-D)代替,因為混凝土柱的能量釋放主要在試樣中間高度附近的(H-D)區域觀察到。

(12)

式中：σNu為圓柱體試件的名義強度；B、D0為依賴于結構的幾何常數；D為圓柱體試件的直徑。

因此，本文，見式(13)和式(14)。

(13)

(14)

式中：a和b為待定系數。

表1中的64個樣本涵蓋了50～400 mm直徑的不同樣本。統計64個擬合樣本的修正系數A和試件直徑D，確定待定系數a和b(見圖6)。

(a)式(13)計算所得修正系數

(b)式(14)計算所得修正系數圖6 考慮尺寸效應的內聚力修正系數形式對比

由圖6對比可得，式(14)的內聚力修正系數擬合效果最優，其相關系數R=0.76。從結果看，內聚力修正系數存在一定的離散性，主要原因是錐體破壞模式和試驗破壞形態之間存在一定的偏差，理論模型一定程度上不能完全展示試驗樣本的各種破壞形態。將式(13)代入式(11)，得到考慮尺寸效應的內聚力模型，如式(15)所示。

(15)

3.3 模型驗證

為了驗證本文提出的修正模型，進一步收集了不同文獻的試驗測試結果，共25個樣本。具體驗證樣本信息參見表2。

表2 驗證樣本數據庫序號文獻來源編號FRP類型fcoD/mmH/mmTfrp/mmEfrp/GPaρfcu(Test)/MPafcu(FEA)/MPa1[26]M30-B2BFRP34.62004000.2221056.7443.6350.042M30-B3BFRP34.62004000.33310510.1147.9754.793M30-C1CFRP37.232004000.1112106.2651.7951.194[27]M30-C2CFRP37.232004000.22221012.5256.5861.955M30-C3CFRP37.232004000.33321018.7866.5369.696L30-C3CFRP37.233006000.33321012.5252.8957.457S1-3CFRP20.571523050.16724226.252.246.058S4-6CFRP20.571523050.33424252.3986.376.969S16-18CFRP24.81523050.16724221.7358.554.4810S19-21CFRP24.81523050.33424243.4687.880.3211[28]S22-24CFRP24.81523050.50124265.1811698.9512S28-30CFRP36.671523050.16724214.6966.468.9313S31-33CFRP36.671523050.33424229.3995.290.3614S34-36CFRP36.671523050.50124244.08122.2111.6715S37-39CFRP36.671523050.66824258.78142.5130.416C35.9CF1aCFRP35.91523050.165250.515.1550.363.7317C35.9CF2aCFRP35.91523050.33250.530.370.177.7818[29]C34.3CF3aCFRP34.31523050.495250.547.5790.188.4719C38.5GF1aGFRP38.51523051.2721.89.4655.164.2320C38.5GF2aGFRP38.51523052.5421.818.9276.580.2921[30]C41.1CF1aCFRP41.11523050.16525013.215571.6922C38.9CF2aCFRP38.91523050.3324727.5773.981.8223C1CFRP251523050.16523018.9542.147.8324[31]C2CFRP251523050.3323037.955658.8725GE2GFRP251523050.337412.2142.745.35

25個驗證樣本的極限強度試驗和FEA對比結果如見圖7所示，其理論預測值和試驗測試值的R2=0.93，表明了本文修正的內聚力模型能夠有效揭示FRP約束混凝土圓柱體的抗壓強度尺寸效應。

圖7 驗證樣本極限強度試驗和FEA對比

4 結論

通過試驗分析和數值模擬考慮尺寸效應對FRP約束混凝土的影響，得到以下結論：

1)考慮頂部鋼板和混凝土圓柱體的端部摩擦，能夠較好地模擬FRP約束混凝土圓柱體試件的錐體破壞模式。

2)基于ABAQUS的USDFLD子程序，通過內聚力修正系數A考慮尺寸效應的影響，見式(13)。建立了考慮尺寸效應的內聚力模型，見式(15)。對內聚力模型進行了驗證，極限強度的試驗值和FEA值決定系數R2=0.93，表明所提出內聚力模型的正確性。

3)本文提出的模型具有一定局限性：擬合樣本和驗證樣本均為圓形截面混凝土柱，對于其它截面(矩形和方形)，需要考慮不均勻約束的影響。