壓電陶瓷定位平臺的復合控制系統研究

姜佩岑,劉曰濤,于長松,溫尚林,王福凱

(山東理工大學 機械工程學院,山東 淄博 255049)

0 引言

近年來,隨著科學技術的迅速發展,各行各業對高精度定位有更高要求[1]。如在物理學、光通信、生物檢測、微電子、航空航天等領域中,對精度的要求達到了微納米級。因此,一個理想的精密定位平臺是保證實現高定位分辨率的關鍵[2-3]。壓電陶瓷憑著分辨率高,無磨損,效率高,強度大,響應速度快及不發熱等優點成為了一個理想的執行機構[4]。壓電陶瓷的驅動原理是利用逆壓電效應,使其迅速完成電能和機械能間的轉化,且其響應速度迅速[5-6]。但壓電陶瓷固有的遲滯性和蠕變性影響其精度,其中遲滯性問題占主要地位,所產生的非線性誤差可達最大量程的10%～14%,導致壓電陶瓷定位平臺的執行機構在運動過程中不能準確定位到目標位置,甚至可能導致工作系統震蕩,不能滿足對精度的要求[7]。

為了提高壓電陶瓷平臺的定位精度,一個理想的復合控制系統起著重要作用。理想的控制系統可以降低壓電陶瓷自身特性帶來的不足,從而滿足對壓電陶瓷定位平臺的精度要求。本文采用復合控制方法,提出一種基于分段式的Prandtl-Ishlinskii(P-I)模型前饋補償的復合控制系統,引入比例-積分控制器作為負反饋,在保證響應速度的情況下,負反饋部分采用數字電路,使其具有更高的抗干擾能力,具有一定的學術意義和較高的工程實用價值。

1 壓電陶瓷定位平臺遲滯模型建立

針對壓電陶瓷遲滯特性建立靜態遲滯模型。目前遲滯模型可分為物理學模型和現象學模型兩大類。本文選用現象學模型中Prandtl-Ishlinskii模型,是一種在Preisach算子的基礎上優化得到的模型。該模型從壓電陶瓷遲滯性的特征入手,更好地擬合壓電陶瓷定位平臺的遲滯特性。該模型的Play算子如圖1所示。

圖1 單個Play算子

與Preisach模型相比,P-I模型的雙重積分計算過程少,降低了計算難度,不僅有利于控制系統的實現,還提高了響應速度。P-I模型是各個閾值對應的Play算子加權積分后得到的壓電陶瓷定位平臺的電壓和位移的關系構成的。由圖1可看出,單個Play算子是奇對稱結構,因此P-I模型是一種奇對稱模型。單個Play算子:

fr(v(t),w(t))=max{v(t)-r,min(v(t)+

r,w(t)}

(1)

式中:r為Play算子的閾值;v(t)為控制系統在t時刻時給定的輸入;w(t)為Play算子在t時刻的輸出,其初始值為

w(0)=Hr[v](0)=fr(v(0),0)=

max{v(0),min(v,0)}

(2)

有限個數不同閾值的Play算子加權積分后得到P-I模型。不同閾值的算子描述不同的遲滯特性現象的輸入、輸出間的關系。因此,由P-I模型描述的壓電陶瓷遲滯特性更精確。加權疊加后Play算子的表達式為

Fk(v(t),w(t))=samax {v(t)-

r,min (v(t)-r,w(t)}

(3)

式中:Fk為閾值r的加權Play算子在t時刻的輸出;sa為Play算子的權值。

再對各個閾值對應的Play算子進行加權積分,得到P-I遲滯模型的表達式為

r,w(t)}

(4)

式中:y(t)為P-I模型在t時刻的輸出;k為算子的個數。

P-I模型的擬合精度與Play算子的個數有關,算子個數越少,擬合精度越低;算子個數多,雖可提高擬合精度,但也增加了計算復雜性。所以在保證精度的前提下,算子個數越少越好。算子個數與位移誤差如圖2所示。

為了得到最合理情況下算子的個數,在3～17個算子中進行比較。經過比較發現,當算子個數為11時,位移的平均誤差為0.22 μm;算子個數繼續增加,位移誤差無明顯減少,可實現在保證建模精度要求下,降低算法的復雜程度。

2 遲滯逆模型參數辨識與驗證

選用的P-I遲滯模型存在逆解,同時其逆模型也是一種奇對稱的P-I模型。壓電陶瓷的遲滯性是不對稱的結構,對壓電定位平臺施加電壓,并測得電壓與位移的關系,得到遲滯曲線圖如圖3所示。

圖3 壓電陶瓷的遲滯曲線

對此提出分段式的P-I模型進行擬合,對升程和回程進行分別建模,權值的選擇通過對加速度矢量(dv/dt)的大小進行判斷,以確定升壓段或降壓段。逆模型的解與P-I模型的乘積是一個單位矩陣(yy′=E),對于不同段,逆模型的基礎數學表達式均可表示為

r′,w′(t))}=s′rF′r[y,y′]

(5)

其中:

(6)

(7)

利用Matlab在同一段三角波下進行仿真,將傳統P-I模型、分段式P-I模型與實際測量值進行對比分析,結果如圖4所示。分段式P-I模型的誤差優于傳統P-I模型,平均誤差從3.7%降低到0.69%。

圖4 傳統PI模型與分段式PI模型誤差對比

3 壓電陶瓷定位平臺控制系統設計

設計一種基于前饋補償的復合控制系統,在基于分段式P-I遲滯逆模型的前饋逆補償的基礎上引入反饋,在保證響應速度的前提下,負反饋部分采用數字電路,使其具有更高的抗干擾能力。

3.1 前饋控制設計

前饋控制是一種開環控制,響應速度快,利用建立的模型充當導向作用[8-9],因此這類控制的精度取決于建立模型的精度。對于壓電陶瓷執行器,前饋控制也是最便捷的抵消遲滯性影響的方法,是一種直接控制的方法[10]。如圖5所示,開環前饋控制是將輸入的期望位移轉化為控制的輸入電壓信號,進而控制壓電平臺的執行器,響應速度快,且能較大的糾正遲滯性帶來的誤差,但不能對誤差進行改進。

圖5 前饋控制結構圖

3.2 反饋控制設計

雖然有前饋補償起導向作用,理論上能達到較高的精度,但實際應用中,任何環節一點微小的誤差都會影響壓電陶瓷定位平臺的實際位移輸出,因此引入負反饋,對實際應用中產生的誤差進行補償,可提高平臺的控制精度。

為了使系統具備良好的穩定性,產生較小的噪音及擁有更高的控制精度,在前饋補償的前提下引入反饋,設計一種串聯PI控制電路。其中反饋控制器分為比例環節和積分環節,二者相互獨立,提高了系統的穩定性和響應速度。PI控制器的控制規律表示為

(8)

式中:U(t)為控制輸出電壓;e(t)為輸入位移v(t)和輸出位移w(t)之間的差值;Kp、Ki分別為比例、積分系數。

反饋控制器采用二進制數字信號的數字電路,無噪音積累,抗干擾能力強,更有利于遠距離存儲和運輸。因此,加入數字電路使系統更穩定可靠,從而減少了不必要的誤差。

采用雙極板式電容傳感器對壓電陶瓷定位平臺的位移進行檢測。與應變片式電容傳感器相比,電容式傳感器結構簡單,安裝方便。對于高精度的設施,復雜的安裝工序會增加誤差值。因此,采用電容式傳感器在保證分辨率的前提下可增強系統的抗干擾能力。

對反饋回路進行設計優化,正弦激勵電路原理圖如圖6所示。選擇有源石英晶振電路作為激勵信號的信號源,使其產生穩定幅值和頻率的正弦激勵信號,該信號可將待測電容值轉化為電壓值。激勵信號的質量是決定檢測電路是否有效的關鍵。信號首先經過A1輸入運算放大器LF353-N和電阻R2、R3,以及雙T性陷波濾波器組成的選頻放大電路,然后通過由A2運算放大器AD818及對應電阻和場效應管構成穩壓調節電路,輸出具有穩定幅值和頻率的激勵信號,該正弦激勵電路的傳遞函數為

圖6 正弦激勵電路

(9)

電容轉換電路選用雙極板式電容傳感器,利用檢測電路對電容傳感器的電容變化進行調制,然后輸出電壓值,原理圖如圖7所示。電容的變化量很小,需要增大放大器增益及輸入阻抗,確保提高反饋回路的靈敏度。因此,由A1運算放大器(OPA637)、電阻R1及電容Cr、C1構成高通濾波器。通過電阻和電容值的改變控制雙T型濾波器的頻率。A2運算放大器(AD818)和雙T型濾波器構成陷波濾波器。該轉換電路的傳遞函數為

圖7 電容轉換電路

(10)

式中:Uin為輸入電壓;Uout為輸出電壓;Cr為已知參考電容;Cx為待測電容。

3.3 復合控制系統設計

為進一步提高系統的定位精度,在前饋逆補償的基礎上引入反饋,本文提出一種基于前饋補償的復合控制系統,如圖8所示。前饋基于分段式的P-I遲滯逆模型,反饋控制器采用串聯式PI控制器,可保證有較高的響應速度,同時也有較高的精度,且更適合應用于實際工程中。

圖8 復合控制結構圖

在前饋作為導向的前提下,反饋回路具有微調的作用,有利于在最短時間內盡可能減少誤差,提高系統的定位精度。因為壓電陶瓷的遲滯特性,PI控制器內比例、積分部分在電容傳感器檢測到誤差信號時,檢測電路輸出包含位移變化的直流電壓分量,經A/D轉換電路實現數字化處理,保證誤差信號傳輸時的可靠性和穩定性,有利于信號的存儲和傳輸。比例部分對誤差信號進行迅速放大,放大后誤差信號由積分部分進行積分,經D/A轉換電路輸出驅動電壓信號,控制壓電陶瓷產生伸縮變形。

4 實驗與結果分析

該實驗平臺用STM32F103VET6搭建控制器,用Visual C++作為編程語言,反饋電路由正弦激勵電路和電容轉換電路構成,壓電平臺由壓電陶瓷和柔性鉸鏈構成,其余部分由驅動器、TDS1012B-SC數字儲存示波器、IT6722可編程直流電源等組成。通過上機位輸入一個期望控制信號,前饋逆模型輸出補償后的數字電壓信號,控制器內部的D/A轉換電路輸出相應的模擬信號,驅動電路控制壓電陶瓷定位平臺的執行器產生相應的位移,然后通過電容傳感器檢測出位移差,經檢測電路后輸出包含位移變化量的電壓信號,經A/D轉換電路后輸出數字信號并反饋到反饋控制器內。實驗測試平臺如圖9所示。

圖9 測試平臺搭建

在測試行程為0～140 μm時,對壓電陶瓷定位平臺從反向極限到正向極限進行輸出。起始點在反向極限處,進行5個周期循環,每個周期設置11個采集點,分別為pi(i=1,2,3,…,11),第i個測量位置準確度Ai可表示為

(11)

式中:Pij為第i個位置的第j次測量值;Pi為第i個位置的理論值;n為測量次數。

取A=max (Ai),作為平臺測試的準確度,再分別對5個周期中壓電平臺的輸出位移進行記錄,得出在復合控制系統下壓電定位平臺的性能實驗結果,如圖10所示。

圖10 期望位移與實際輸出位移對比曲線

由圖10可看出,壓電陶瓷定位平臺的實際輸出位移與期望位移誤差較小,且未出現與期望位移偏移的情況。比較兩種位移行程,得到的誤差如圖11所示。由圖可看出,實際位移所產生的誤差較小,且存在一定的周期性規律,最大誤差出現在升程段與回程段交匯處,以及回程段的回零點處。

圖11 期望位移與實際位移輸出位移誤差

在復合控制系統和僅有開環控制的情況下,對兩種控制精度進行對比分析,并記錄在1個周期下的誤差對比,如圖12所示。由圖可看出,復合型控制系統的控制精度更高。

圖12 兩種控制方法下的誤差對比

根據參考國標GB/T 38614—2020的測試標準,測量結果表明,在設計的復合控制系統控制下,壓電陶瓷定位平臺正、反向重復定位精度分別為0.013 1 μm和0.015 5 μm,準確度為0.033 5 μm,計算出反向差值后可得遲滯誤差為0.013%。

5 結束語

針對壓電陶瓷位移平臺固有的遲滯非線性會降低其定位精度的問題,本文提出一種帶有前饋補償的復合型閉環控制系統。設計一種分段式P-I模型作為前饋補償,建模誤差率小于0.69%。為了提高平臺的控制精度提出了一種串聯式PI控制電路。為了提高系統的抗干擾能力,檢測回路采用雙極板電容式傳感器,并增加A/D轉換電路使其信號數字化,以便存儲和運輸。根據GB/T 38614—2020 進行實驗測試,結果可得出遲滯模型的擬合精度得到提高,控制精度更準確。最終驗證了本文所提出的復合控制系統的準確性和有效性。