三維反手性拉脹結構在靜態壓縮過程中的力學性能研究

任保沖，張振華

(海軍工程大學 艦船與海洋學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

在1987 年Lakes 成功制備出泊松比為-0.17 的聚氨酯材料后，近些年隨著科學技術的發展進步，越來越多的拉脹結構和負泊松比材料被發現并制作出來，這些結構在航空航天等領域發揮了重要的作用[1-2]。拉脹結構在受拉時會橫向膨脹，受壓時橫向收縮，所以又被稱為負泊松比結構[3]。由于拉脹結構特殊的變形模式，使得這種結構具有特殊的力學性能[4]。AWerson[5]分析了手型多胞結構軸向壓縮力學模型，得出棱數為4和6的手型結構具有負泊松比的性質。郭春霞等[6]對正弦負泊松比多孔蜂窩梁進行了面內三點彎曲實驗，并與傳統方孔蜂窩梁進行對比分析，實驗結果表面負泊松比結構相較于傳統正泊松比結構具有更好的吸能效果。張振華等[7]對金字塔點陣單胞結構在壓縮載荷下的力學性能進行研究，得出了結構泊松比合影邊之間的規律。新型結構和材料在越來越多的領域發揮著自己獨特的作用，朱偉杰等[8]通過仿真計算的方式分析了水下微穿孔板聲超材料應用于新型聲導流罩獨特優勢。趙昌方等[9]對復合材料負泊松比結構的拉壓力學性能進行了仿真研究，驗證了其負泊松比特性。劉宇等[10]對負泊松比基元蜂窩結構的吸能效果進行仿真研究，得出負泊松比結構在同等質量條件下吸能量相比于傳統結構更高的結論。

本文選取三維反手性負泊松比單胞結構作為研究對象。通過萬能試驗機壓縮并通過攝影記錄、利用游標卡尺量取側向位移的方式來獲取結構的泊松比，得到結構在壓縮載荷下的泊松比變化規律，并結合數值仿真研究反手性負泊松比結構的變形破壞模式和靜壓載荷下的應力分布情況，為三維反手性負泊松比結構的力學性能研究提供參考。

1 實驗研究

1.1 模型設計

采用三維反手性負泊松比結構中的單體胞元，如圖1 所示。

圖1 結構示意圖Fig. 1 Schematic diagram of structure

該胞元由3 層板和2 層各16 根方桿組成。其中3 層板結構相同，由4 個正方形薄板和4 根方桿組成，如圖2 所示。由于四向反手性負泊松比結構是周期型結構，所以上下2 層板的厚度為中間板厚度的一半。上層板可以通過下層板平移得到，中層板可以通過下層板繞結構上下兩層板質心連線旋轉90°之后平移并復制后得到。結構中每4 個相鄰的方桿可以通過其中1 根方桿繞與其相連的2 個正方形薄板的質心連線環形陣列得到，把4 個相鄰的方桿視為1 個方桿組，1 層內與已經得到的方桿組相鄰的的2 個方桿組可以通過鏡像的方式得到，最后1 個方桿組可以通過第1 個方桿組平移得到。第2 層方桿可以通過將第1 層16 根方桿繞結構上下2 層板質心連線整體旋轉90°之后平移得到。該結構尺寸主要參數為：正方形薄板邊長A=14 mm，正方形薄板之間的距離L=7 mm，直桿寬度d=3 mm，板厚T=3 mm，方桿高度H=10 mm，方桿端部正方形邊長a=4 mm，斜桿與XY平面夾角α=45°。

圖2 單胞結構圖Fig. 2 Diagram of single-cell structure

本文所采用的三維反手性負泊松比結構為立體鏤空結構，結構構造較為復雜，傳統工藝難以加工，故采用FDM 增材制造技術，選用聚碳酸酯（PC）作為打印材料，使用Raise3D Pro2 型號的3D 打印機制作該模型，模型如圖1 和圖2 所示[11]。聚碳酸酯材料的力學性能指標見表1。

表1 材料PC 的性能參數Tab. 1 Performance parameters of polycarbonate

1.2 萬能試驗機壓縮實驗

1.2.1 實驗實施

使用MTS 萬能試驗機對試樣進行壓縮，實驗開始前布置實驗背景為黑色背景，與白色圖像形成反差色，便于后續分析處理。將試驗機通過數據傳輸線與電腦相連接，在電腦客戶端控制上下夾具與模型上下面板接觸，并施加小于50 N 的初始力，此時將應力值和位移值清零。

實驗過程中，將萬能試驗機的加載模式設置為方向豎直向下大小為1 mm/min 等量加載狀態，符合靜態壓縮的實驗要求。每當試驗機輸出模型軸向位移增加0.1 mm 時暫停實驗，使用游標卡尺測量模型中間板X方向尺寸并使用相機遙控拍照記錄，數據記錄結束后開始試驗繼續加載。如此循環直至模型發生破壞，實驗結束。根據游標卡尺測量數據得到模型的宏觀橫向位移。模型的縱向位移和力可以由實驗系統直接導出。

泊松比定義公式的物理意義為，當模型受到軸向載荷時，物體的橫向應變和軸向應變值之比的相反數即為物體的泊松比。根據以上數據便可得到模型的宏觀泊松比。

1.2.2 實驗結果分析

在壓縮過程中，第1 層斜桿在與桿件成一定角度的力和力矩的作用下發生彎曲和扭轉變形，帶動上中2 層板結構中的正方形薄板旋轉，使連接正方形薄板的水平桿件產生彎曲變形，繼而使結構產生橫向收縮變形，呈現負泊松比效應。隨著萬能試驗機施加的軸向位移的增大，結構軸向的壓縮變形進一步增大，如圖3 所示。

圖3 單胞結構壓縮實驗圖Fig. 3 Picture of single-cell structure compression test

由于實驗操作采用等位移加壓法，所以實驗得到的模型宏觀力位移曲線存在許多均勻分布的鋸齒狀結構。從圖4 可以看出，模型在靜態壓縮中的變形可以分為3 個階段：彈性階段、塑性階段和破壞階段。

圖4 宏觀力—位移曲線Fig. 4 Macro force-displacementcurve

彈性階段（AB段）：當0≤S<1.45 mm 時，處于這個階段下的模型各部分產生了不同程度上的彈性變形，模型展現出的彈性模量大小為95.77 MPa。

塑性階段（BC段）：當1.45 mm≤S<2.26 mm時，模型部分區域產生塑性變形，力位移曲線斜率變小，力的增大速度明顯減小。采用“最遠法”確定屈服點B的位置[11-12]，即B點在曲線AC上，且滿足AB和BC線段之和最大的點即為模型屈服點。當模型壓縮位移為1.45 mm 時，支反力大小為1.37 kN，屈服強度為5.36 MPa。當模型壓縮位移為2.26 mm 時，模型最大承載力為1.62 kN，強度極限為6.3 MPa。

破壞階段（CD段）：當S≥2.26 mm 時，部分模型逐漸發生破壞，力位移曲線呈現出階梯式下跌。當S=3.74 mm 時，中層板連接桿件發生破壞，結構徹底失去承載能力，此時，模型被完全破壞，破壞強度為4.88 MPa。

2 仿真分析

2.1 有限元建模

采用Abaqus/ CAE 軟件對結構進行實體建模，并對實驗過程進行仿真計算。使用體單元對結構進行劃分網格，采用C3D4 四節點線性四面體單元進行網格化分。部件實例布種設置近似全局尺寸為2 mm，共產生節點26 894 個，單元105 802 個。材料屬性設置如下：密度1.19E-9 kg/mm3，楊氏模量2.048E9 Pa，泊松比0.3。賦予結構截面設置為：實體，均質。為和真實實驗條件保持一致，在結構上方設置剛性薄板模擬萬能試驗機上部壓頭，并賦予薄板下表面和結構上表面相互作用為有限滑移的表面與表面接觸，接觸面摩擦公式定義為粗糙。為結構底部面板添加固定邊界條件，施加大小為0.016 mm/s 方向沿Z軸負向的位移于薄板上，分析步類型選擇靜力通用，分析步時長設置為1 000 s。仿真模型如圖5 所示。

圖5 單胞結構仿真模型Fig. 5 Single cell structure simulation model

2.2 仿真結果分析

在仿真輸出數據庫中提取上面板支反力和位移數據，繪制力位移曲線并和實驗得到的結構力位移曲線進行對比。結果顯示，在結構變形的彈性階段由仿真方法和試驗方法在同一位移刻度下的支反力相差不大，以位移為-1.0 mm 時的支反力為例，仿真計算得出力位移曲線并進行線性內插得到位移為-0.1 mm 時作用在薄板上的支反力大小為159.3 N，實驗數據中對應位移為-0.1 mm 時的支反力為170.6 N，兩者誤差為6.3%，2 種計算方法之間的誤差隨著位移的增大而不斷增大，這是由于實驗采用等量增壓方式而仿真采取連續加壓方式造成的。以薄板位移1.29 mm 時為例，結構的位移仿真計算圖如圖6 所示?？煽闯?，與圖3 所示的壓縮實驗結構變形模式相一致，2 層斜桿呈彎扭變形，使得中間面板上的方盤旋轉從而帶動直桿產生歪曲變形，由于方盤和斜桿的相互作用使得結構在水平方向上內縮，同時結構在薄板的壓力作用下在豎直方向上收縮，產生負泊松比效應。從力位移曲線趨勢和彈性階段的誤差來看，數值仿真結果和實驗結果較為吻合，這說明仿真結果比較準確且有效（見圖7）。

圖6 位移U=1.29 mm 時的位移云圖Fig. 6 Displacement nephogram of displacement U =1.29 mm

圖7 實驗與仿真結果Fig. 7 Experimental and simulated results

3 力學性能分析

3.1 泊松比分析

在Abaaqus 仿真軟件中提取出三維反手性負泊松比結構在壓縮過程中變形圖并提取結構橫向位移值。在橫向位移范圍0～3.74 mm 中n種工況下通過仿真計算方法得出來的結構泊松比數值可以根據結構的縱向位移和橫向位移計算出縱向應變和橫向應變通過式（1）得到，結果見表2。

表2 泊松比計算結果Tab. 2 Results of Poisson's ratio calculation

可以得出，該四向反手性結構具有負泊松比性質，在縱向位移為0～3.74 mm 過程中， 結構的泊松比數值在壓縮過程中于-0.5 上下變化，上下浮動不超過±0.05，且變化速度較為緩和。

3.2 變形模式分析

根據數值仿真與壓縮實驗宏觀應力—應變曲線的對應關系，可得圖8 所示結果。圖8(a)單胞結構位移變形最大值為0.276 mm，出現在上面板邊角處；中層板連接桿中段的應變出現最大值7.98×10-3，其它部位的應變較??；應力最大值為22.18 MPa，出現在斜桿上與面板相接觸的部分。圖8(b)單胞結構位移變形最大值為2.057 mm，出現在上面板邊角處；中層板連接桿中段的應變出現最大值0.285，其他部位的應變較??；應力最大值為35.80 MPa，出現在斜桿中間部分。圖8(c)單胞結構位移變形最大值為3.492 mm，出現在上面板邊角處；中層板連接桿中段的應變出現最大值1.132，其他部位的應變較??；應力最大值為39.25 MPa，出現在斜桿上與面板相接觸的部分。

圖8 仿真壓縮過程應變、應力、位移云圖Fig. 8 Strain,stress nephograms and displacement for simulated compression

綜上，斜桿的位移、應力往往是最大的，中層板連接連接桿中段的變形最明顯，且中層板連接桿的斷裂是制約結構承載能力的主要原因。這說明隨著壓縮載荷的增加，單胞結構更容易在斜桿和連接桿處首先發生破壞。

圖9 為單胞結構在壓縮試驗過程中的最終破壞形式和結構破壞時的應力云圖?？梢钥闯?，在實驗過程中，中層板和中層桿的連接處發生斷裂而導致結構產生破壞從而喪失承載能力，但在仿真計算中，而是由于中層板連接桿中段發生了嚴重的塑性收縮導致了單胞結構的破壞。這種現象的出現和FEM 增材制造技術為分層打印和打印精度不高從而導致了一定的結構缺陷有關。以上結果表明，在壓縮過程中中層板連接桿在x-y方向的彎矩和壓力的同時作用下率先發生破壞，從而導致結構喪失承載能力。

圖9 桿件破壞示意圖Fig. 9 Schematic diagram of rod failure

4 結 語

采用FEM 增材制造的方式，使用Raise3D Pro2 3D 打印機制作了四向反手性負泊松比結構單胞模型，使用萬能試驗機對模型進行壓縮實驗，運用數值仿真方法研究單胞結構的力學性能，得到了反手性單胞結構在壓縮過程中的泊松比數值變化規律，分析了反手性單胞結構的變形模式和破壞模式，得出結論如下：

1） 該型反手性單胞結構在靜態壓縮實驗過程中呈現出明顯的負泊松比效應，泊松比數值在-0.5 左右變化，且變化幅度不超過0.05。

2） 通過仿真建模的方式重現了該單胞結構的靜態壓縮實驗過程，并通過力-位移曲線驗證了仿真建模的正確性。根據仿真計算的結果，單胞結構在靜態壓縮過程中發生彈塑性變形，變形過程可以分為彈性變形階段、屈服變形階段和破壞階段，其中屈服強度為5.36 MPa，強度極限為6.33 MPa，破壞強度為4.88 MPa。

3） 在軸向壓縮載荷作用下，隨著載荷的增大，軸向位移不斷增大，該單胞結構各部分變形量也在逐漸增大。在變性過程中，位移、應變的最大值出現在中間板連接桿中部，而應力最大值出現在斜桿與面板的連接處，最終中間板連接桿在壓縮載荷和彎曲力的作用下首先發生斷裂破壞從而導致結構喪失承載能力。由于分層打印和原材料缺陷，該單胞結構在實驗過程中中間板連接桿首先發生破壞的位置不是仿真結果顯示的桿件中間處而是板件與桿件的連接處。