EBSM電子束掃描多極靴偏轉線圈的多目標優化設計

張化斌,馬貴春,鄭俊旺,郭思博,王 磊,劉 洋

(中北大學 航空宇航學院,山西 太原 030051)

0 引 言

電子束選區熔化增材制造技術(Electron Beam Selective Melting,EBSM)具有成形速度快、能量利用率高、成形效率高等特點,可輕松成形具有復雜形狀的高性能金屬零部件[1-4],因此被廣泛地運用于航空航天、生物醫療等領域[5-7]。但是,電子束偏轉的精確控制程度會影響復雜零件成型的質量。由于電子束的偏轉掃描控制是非接觸式的,電子束的慣性和質量幾乎可以忽略,通過控制電子束運動空間中電磁場的大小和方向就可以實現對電子束運動軌跡的控制。偏轉掃描線圈所產生電磁場的均勻性是影響電子束偏轉精度的重要因素,因此,使用電磁場均勻性差的線圈難以實現電子束的精確控制[8]。

針對上述問題,學者們對電子束偏轉線圈進行一些研究。一些著名電子束加工設備研制單位如CVE(Cambridge Vacuum Engineering)、TWI(The Welding Institute)、PTR(Pulsed Technologies Research)等[9]均對電子束偏轉掃描技術進行了深入研究,其中德國SST所研制的電子束偏轉掃描控制系統的頻率已經達到了200 kHz。路開通等[10]基于亥姆霍茲線圈設計偏轉線圈,其頻率達30 kHz。張偉等[11]基于亥姆霍茲線圈設計了偏轉線圈,其掃描速度可達3 500 m/s,掃描范圍最大為350 mm×350 mm。趙攀峰等[12]也基于亥姆霍茲線圈設計了偏轉線圈,其掃描范圍可達350 mm×350 mm,掃描速度為7 000 m/s。楊波等[13]設計了以鐵氧體為磁芯材料的十二極靴偏轉線圈,其頻率達100 kHz以上。相關文獻均對EBSM系統的電子束掃描偏轉線圈的設計提供了參考,但亥姆霍茲線圈的體積較大,不便于配置磁芯,且中心場強較弱,難以滿足EBSM系統大角度偏轉的要求。多極靴結構線圈雖然加工精度要求低、中心場強較大,但是其磁場均勻性較差,不利于實現電子束偏轉的精確控制。目前,針對EBSM掃描偏轉線圈的多極靴結構磁場強度分析與多目標優化設計的已公開研究較少。

本文將多極靴線圈結構的極靴數和磁芯類型作為變量,設計多極靴線圈磁感應強度正交仿真試驗,闡明試驗的設計方案及結果,對線圈中心磁感應強度、距線圈中心2.5 mm和5 mm范圍內磁感應強度的變化率進行對比分析。通過極差分析法更加直觀地分析單因素對于線圈中心磁感應強度、距線圈中心2.5 mm和5 mm范圍內磁感應強度變化率的影響程度及其變化趨勢,進一步采用MOEA/D算法對此問題進行優化求解,并得到使線圈中心磁感應強度較大、磁場較均勻的結構參數。

1 數學模型

1.1 磁偏轉理論

EBSM設備所使用的電子束偏轉系統,通常以較小的偏轉角度工作,電子束以恒定的速度進入均勻磁場,在洛倫茲力作用下做圓周運動,如圖1 所示。

圖1 電子束運動軌跡圖

根據電磁理論可得

(1)

式中:R為圓周運動半徑;m為電子質量;v為電子運動速度;e為電子電荷;B為磁感應強度;Va為電子槍的加速電壓;η為電子荷質比。

電子束離開均勻場后的偏轉角δ滿足

(2)

由電磁理論可知,磁感應強度與線圈電流成正比,即

B=kI,

(3)

式中:k為與線圈相關的常數;I為線圈電流。

假設線圈所產生的磁場寬度與線圈自身高度h一致,可得

(4)

對于EBSM成型系統而言,電子槍加速電壓Va通常是固定值,偏轉線圈在設計完成后其高度h自身相關常數k也已確定,因此,系統將通過控制線圈中的電流從而控制電子束的偏轉角δ。

1.2 線圈結構

多極靴線圈結構如圖2 所示,其能夠在緊湊的空間內布置大量的對稱線圈,從而提高中心磁場的均勻度和場強,且能通過將線圈骨架替換為軟磁材料磁芯來進一步提升中心場強。多極靴線圈的結構形式較多,下面將針對四極靴、八極靴、十二極靴、十六極靴以及二十極靴的線圈中心磁場強度和距線圈中心2.5 mm、5 mm范圍內磁場均勻度設計正交仿真實驗,對多極靴偏轉線圈進行三維電磁場分析。

圖2 多極靴線圈結構示意圖

2 正交仿真試驗

2.1 正交試驗設計

根據極靴數量和磁芯類型設計正交試驗,探究極靴數量及有無磁芯對多極靴線圈磁感應強度和磁場均勻性的影響規律,因素水平如表1 所示,正交試驗方案如表2 所示。

表1 正交試驗因素水平

表2 正交方案

2.2 仿真實驗

2.2.1 模型建立

對多極靴偏轉線圈建模,如圖3 所示,線圈內徑90 mm,外徑110 mm,極靴高度10 mm,磁芯高度30 mm。定義磁芯材料為鐵(相對磁導率1 000)或真空(相對磁導率1,用作線圈骨架)。磁芯每極靴上繞制的線圈均定為寬度5 mm,厚度2 mm,匝數32匝,電流設置為單位電流1 A。磁芯中心位于聚焦線圈中心Z軸+155 mm位置上。

圖3 不同極靴數偏轉線圈模型

2.2.2 仿真設置

在完成對仿真模型的建模后,還需要對環境及邊界條件、仿真模型的網格劃分和求解器的參數進行設置。由于EBSM系統在工作時,系統內部處于高度真空狀態,因此,在仿真中對環境材料定義為真空,相對磁導率為1。采用六面體網格劃分,并對線圈網格作更進一步的調整以增加網格密度。

3 仿真試驗結果與極差分析

3.1 試驗結果

在試驗結果的后處理中,選定Z軸方向為剖切平面法線,使剖切面經過線圈中心,并將三維的磁感應強度分布云與剖切面相交,可獲得剖面內的磁感應強度分布情況。圖4 中(a)、(b)、(c)、(d)、(e)分別為四極靴無磁芯、八極靴無磁芯、十二極靴無磁芯、十六極靴無磁芯、二十極靴無磁芯線圈的磁感應強度分布情況,有磁芯的情況見圖5?？梢钥吹?隨著極靴數的增加,無磁芯與有磁芯線圈的磁感應分布均勻度、對稱度都有很大的提高。同時,在有磁芯存在的情況下,磁感應強度分布更集中于磁芯與線圈內部,向線圈外的漏磁更少。

圖4 無磁芯線圈磁感應強度分布

圖5 鐵磁芯線圈磁感應強度分布

在EBSM成型系統實際工作條件下,電子束偏轉角度較小,主要由線圈中心5 mm范圍內的磁場狀況決定。為進一步研究線圈中心5 mm范圍內的磁場均勻性,對線圈中心、距中心2.5 mm位置、距中心5 mm位置的磁感應強度進行分析,結果如表3 所示。

3.2 試驗結果極差分析

極差分析法是正交設計中常用的方法之一,其可通過簡便的計算和判斷求得試驗的主次因素、優水平、優搭配及最優組合。計算公式為

(5)

(6)

根據本文試驗目的,以最大線圈中心磁感應強度K均值和最小磁感應強度變化率K均值來選取各因素下的最優水平。

3.2.1 線圈中心磁感應強度分析

利用式(5)和式(6)進行計算,得到線圈中心磁感應強度的極差分析結果如表4 所示。

表4 線圈中心磁感應強度的極差分析結果

由表4 可以看出:極靴數和磁芯類型對線圈中心磁感應強度均有一定影響。鐵磁芯線圈產生的磁感應強度遠遠大于無磁芯線圈,極靴數量越多線圈中心的磁感應強度越大。分析可知,鐵磁材料里面帶有“磁疇”,平時磁疇無規則排列不表現磁性,在通電線圈的作用下,磁疇會規則排列,使鐵芯中形成很強的磁通,從而使磁感應強度增大,但鐵磁芯線圈存在一定的磁滯損耗,較難實現超高頻率信號的實時響應。極靴的主要作用是增大磁通面積,減小主磁場以外的漏磁,所以極靴數量越多,磁通面積越大,漏磁越少,因而磁感應強度增大。

3.2.2 2.5 mm范圍內磁場均勻性分析

2.5 mm范圍內磁感應強度變化率極差的分析結果如表5 所示。

表5 2.5 mm范圍內磁感應強度變化率極差分析結果

由表5 可以看出:對2.5 mm范圍內磁場均勻度影響最大的因素是極靴數,其次是磁芯類型。八極靴線圈比四極靴線圈的磁場均勻度有極大的提升。十二極靴線圈、十六極靴線圈、二十極靴線圈對比八極靴線圈的磁場均勻度,提升已不明顯。鐵磁芯線圈相較于無磁芯線圈,磁場的均勻度上沒有明顯的優勢,提升磁場均勻度的效果不如提升極靴數的效果明顯。

3.2.3 5 mm范圍內磁感應強度均勻性分析

5 mm范圍內磁感應強度變化率的極差分析結果如表6 所示。

表6 5 mm范圍內磁感應強度變化率極差分析結果

由表6 可以看出:極靴數量對5 mm范圍內的磁場均勻度有顯著影響,極靴數越多磁場越均勻,但十二極靴線圈、十六極靴線圈、二十極靴線圈對比八極靴線圈的磁場均勻度,提升已不明顯。無磁芯線圈相較于鐵磁芯線圈在5 mm范圍內的磁場均勻度有顯著優勢,分析可知,鐵磁芯的存在使磁感應強度越靠近線圈增加越劇烈,導致磁感應強度變化率增大。

通過以上分析可得,試驗因素對于線圈中心磁感應強度、2.5 mm范圍內磁場均勻性以及5 mm范圍內磁場均勻性均產生不同的影響。綜合考慮,以較高線圈中心磁感應強度、較低2.5 mm 范圍內磁感應強度變化率以及較低5 mm范圍內磁感應強度變化率為優化目標,通過MOEA/D算法對此多目標優化問題進行求解。

4 基于MOEA/D算法的多目標優化

4.1 MOEA/D算法原理

基于分解的多目標進化算法(MOEA/D)將多目標優化問題分解為N個單目標優化的子問題,通過選擇、變異同時優化N個單目標子問題,最終獲得一組Pareto最優解,其運算流程如圖6 所示[14-16]?；谝陨咸攸c,MOEA/D算法具有較低的計算復雜度,可以避免陷入局部最優。

圖6 MOEA/D算法流程

4.2 多目標優化方法

MOEA/D算法能夠同時優化N個標量子問題,在多個目標問題求解方面具有顯著優勢,進而可以為工程領域問題提供解決方案。

多目標優化問題定義如式(7)～式(8)所示。

minF(x)=[f1(x),f2(x),…,fm(x)],

x∈Rn,

(7)

s.t.hi(x)≤0,i=1,2,…,p,

(8)

式中:x=[x1,x2,…,xn]∈Rn,為n維決策向量;F(x)為目標函數;fi(x)為適應度函數;hi≤0為不等式約束條件。

4.3 適應度函數構建

試驗中優化目標為線圈極靴數以及磁芯類型,首先對試驗數據進行處理,把無磁芯條件記為0,鐵磁芯條件記為1?；谧钚《嗽?對10組正交試驗數據通過多項式擬合法進行擬合,并將方程的最高次項設置為4次,以提高回歸方程的置信度。進而得到自變量為極靴數n和磁芯類型c的3個回歸方程,并將它們作為MOEA/D算法的適應度函數。

建立線圈中心磁感應強度B的模型,表示為

B=-0.061 15+0.079 73n+0.003 8c-

0.008 606n2+0.121 4nc+0.000 494 1n3-

0.007 051n2c-0.000 010 72n4+

0.000 136 3n3c。

(9)

建立距線圈中心2.5 mm范圍內磁感應強度變化率U2.5的模型,表示為

U2.5=4.208-1.048n-0.606c+0.114 5n2+

0.142 6nc-0.005 365n3-0.011 34n2c+

0.000 0911 5n4+0.000 286 5n3c。

(10)

建立距線圈中心5 mm范圍內磁感應強度變化率U5的模型,表示為

U5=15.9-3.813n-2.322c+0.409 3n2+

0.497 2nc-0.019 01n3-0.035 49n2c+

0.000 322 3n4+0.000 833 3n3c。

(11)

4.4 目標函數

目標優化的自變量分別為極靴數n以及磁芯類型c,構建模型的矢量表達式如式(12)所示。

x=[n,c]T=[x1,x2]T。

(12)

記線圈中心磁感應強度、距線圈中心2.5 mm范圍內的磁感應強度變化率的以及距線圈中心5 mm范圍內的磁感應強度變化率的回歸方程分別為y1(x)、y2(x)與y3(x),以較大的線圈中心磁感應強度以及較小的距線圈中心2.5 mm范圍內的磁感應強度變化率與距線圈中心5 mm范圍內的磁感應強度變化率為最優指標,使用優化方法求解最小值,故線圈中心磁場強度求取為min(-y1(x)),距線圈2.5 mm和5 mm范圍內的磁感應強度變化率取最小值,即為min(y2(x))和min (y3(x))。因此,所優化的目標函數如式(13) 所示。

minf(x)=[-y1(x),y2(x),y3(x)]T。

(13)

4.5 約束條件

對自變量x1和x2的取值范圍添加約束條件,極靴數的約束條件如式(14)所示,磁芯類型的約束條件如式(15)所示。

(14)

(15)

由此可得,自變量x1和x2取值的約束條件如式(16)所示。

h(x)=[h1(x),h2(x)]T。

(16)

綜上所述,線圈參數的多目標優化模型為

(17)

4.6 優化模型的求解

根據線圈特性及其使用環境確定線圈結構參數的取值范圍,基于MOEA/D算法,并使用MATLAB軟件編寫M程序進行求解。計算結果如圖7 所示。

圖7 MOEA/D算法計算結果

4.7 優選結果

通過分析結果可得,解集中的最優選擇參數產生在極靴數為18、無磁芯的情況下,其磁感應強度分布如圖8 所示。表7 中列舉了最優參數的仿真結果。分析可知:線圈中心磁感應強度處于較高水平,提高了電子束的偏轉角度; 與此同時,距線圈中心2.5 mm和5 mm內磁感應強度的變化率較低,尤其是距線圈中心2.5 mm范圍內的磁感應強度變化率均小于1%,可近似看作勻強磁場,這對電子束偏轉的精確控制有著積極影響。

表7 3組試驗結果對比

圖8 十八極靴無磁芯線圈磁感應強度的分布

5 結 論

本文對多極靴偏轉線圈進行了建模,并進行了多極靴線圈靜態磁場的正交仿真試驗。以增大電子束通過線圈時大角度偏轉和精確控制為目標,以極靴數量和磁芯類型為試驗變量,并以較大的線圈中心磁感應強度、較小的距線圈中心2.5 mm和5 mm范圍內的磁感應強度變化率作為優化指標,通過分析線圈內部磁場云圖,得出了磁感應強度分布的趨勢。通過對線圈中心磁感應強度和磁感應強度變化率數據的分析,可以得到以下結論:

1) 采用極差分析法對正交仿真試驗的10組結果進行分析,可以分別得出線圈中心磁感應強度和磁感應強度變化率在極靴數量和磁芯類型作用下的變化程度,其中,極靴數量和磁芯類型同時對線圈中心的磁感應強度產生顯著影響,距線圈中心2.5 mm和5 mm范圍內磁感應強度變化率的最顯著的影響因素是極靴數量;

2) 利用MOEA/D算法求解線圈設計參數的多目標優化問題,并考慮線圈的實際工藝性以及使用環境,得出十八極靴、無磁芯的線圈結構對于電子束大角度偏轉和精確控制有顯著優勢。