考慮重力作用的垂向雙洞竄流試井模型

徐燕東，陶杉，何輝，萬小勇，鄒寧，袁鴻飛

（1.中國石化西北油田分公司，新疆 烏魯木齊 830011；2.中國石化碳酸鹽巖縫洞型油藏提高采收率重點實驗室，新疆 烏魯木齊 830011；3.西安華線石油科技有限公司，陜西 西安 710065）

順北油氣田位于塔里木盆地順托果勒低隆北部，油氣資源豐富，屬于斷控巖溶背景的縫洞型碳酸鹽巖油氣藏[1-2]。順北斷溶體油藏垂向深度深，儲層結構復雜，且具有很強的非均質性[3-5]。試井分析作為油氣藏動、靜態資料評價的重要方法，在此類油氣藏中具有廣泛應用[6-7]。

對于縫、洞連續分布且尺度較小的縫洞型油氣藏[8]，普遍使用以達西定律和連續性假設為基礎的WARREN-ROOT 雙重孔隙介質模型[9]以及在此基礎上改進和擴展的多重孔隙介質模型[10-11]。而針對大尺度的縫洞型油氣藏，一些學者認為縫洞中流體具有極高的流動性，壓力可以瞬間傳到溶洞邊界并形成擬穩態流，由此建立了不同縫洞組合關系的等勢體縫洞試井解釋模型。劉洪等[12]和尹洪軍等[13]建立了井鉆遇溶洞試井解釋數學模型，其中溶洞為等勢體模型，溶洞外儲層為雙重孔隙介質模型。彭小龍等[14]、常寶華等[15]和段寶江等[16]建立了大尺度溶洞裂縫型油藏等勢體試井分析模型，其中裂縫考慮為一維擬穩定流模型。熊鈺等[17]根據地質特征，建立了井打在大尺度裂縫上的縫洞型試井模型和串聯雙洞型試井模型，實例解釋結果與地質模型和鉆井數據有著較好的一致性。

少數學者在大尺度縫洞型油氣藏的試井解析理論研究中考慮了重力因素。徐燕東[18]結合順北油田斷溶體儲層縱向分布深的特征，建立了考慮重力因素的斷溶體儲層“井－洞－縫”試井模型。馬國銳等[19]將溶洞與裂縫組合系統視作聯立的圓柱形區域，建立了一種考慮重力因素影響的單洞型斷溶體儲層試井解釋方法。DU 等[20]綜合考慮了流動和波動對溶洞壓力變化的影響，建立了波動與流動耦合方程，進一步將重力作用修正到附加壓降中并結合外部地層滲流方程形成了新的縫洞型油藏試井模型。

綜上所述，在縫洞型油氣藏的解析試井模型研究中，普遍忽略了重力因素的影響。少數學者在斷溶體儲層試井模型中考慮了重力作用，模型種類較少，仍需擴充完善，以便更好地適用于復雜地質特征。針對順北油氣藏縫洞儲層垂向深度深的特征，建立了考慮重力作用的雙洞竄流試井模型。利用Laplace 變換方法對模型進行解析求解，并給出部分參數變化的典型特征圖以及應用實例。

1 試井解釋模型

1.1 模型假設

大溶洞1 和大溶洞2 均為圓柱體，分別位于圓形封閉儲層1和儲層2中心，直井鉆遇大溶洞1，產量恒定；大溶洞1 和2 在儲層縱向分布，通過竄流通道連接，大溶洞具有無限導流能力（等效壓力點分別取在大溶洞1 和2 的中部位置），流體在竄流通道中的流動為非穩態流；儲層1、2是由小尺度裂縫構成的裂縫性儲層，流體流動符合達西滲流；儲層1、2 之間無流體交換，并分別向大溶洞1、2 供給流體，大溶洞2 中流體通過竄流通道流入大溶洞1，總系統中流體都經大溶洞1 流入井筒；巖石及流體微可壓縮，且壓縮系數為常數；考慮溶洞儲集效應，考慮重力作用（圖1）。

圖1 物理模型示意圖Fig.1 Physical model diagram

1.2 數學模型

根據滲流理論可建立儲層1控制方程：

式中無因次變量的定義如下:

式中：p1D為儲層1無因次壓力；rD為無因次徑向距離；tD為無因次時間；k1為儲層1 滲透率，單位10-3μm2；h1為儲層1 厚度，單位m；q為流量，單位m3/d；μ為黏度，單位mPa·s；B為體積系數，單位m3/m3；pi為初始壓力，單位MPa；p1為儲層1 壓力，單位MPa；r為徑向距離，單位m；L為參考長度（通常以井徑作為參考），單位m；t為時間，單位h；φ1為儲層1孔隙度；Ct1為儲層1綜合壓縮系數，單位MPa-1。

儲層2控制方程：

式中無因次變量的定義如下:

式中：p2D為儲層2 無因次壓力；σ21為儲層2 與儲層1的導壓系數比；p2為儲層2 壓力，單位MPa；k2為儲層2 滲透率，單位10-3μm2；φ2為儲層2 孔隙度；Ct2為儲層2綜合壓縮系數，單位MPa-1。

竄流通道控制方程：

式中無因次變量的定義如下:

式中：pfD為竄流通道無因次壓力；zD為無因次垂向距離；cD為流體壓縮系數與無因次壓力轉換系數的比值；gD為考慮重力作用時的無因次附加壓力；σf1為竄流通道與儲層1 的導壓系數比；pf為竄流通道壓力，單位MPa；kf為竄流通道滲透率，單位10-3μm2；φf為竄流通道孔隙度；Ctf為竄流通道綜合壓縮系數，單位MPa-1；CL為流體壓縮系數，單位MPa-1；ρ為流體的密度，單位kg/m3；g為重力加速度，單位m/s2；z為垂向距離，單位m。

根據物質守恒及竄流通道與大溶洞1 連接處壓力相等條件：

式（4）—式（5）中無因次變量的定義如下:

式（4）—式（5）中：pv1D為溶洞1 無因次壓力；rv1D為溶洞1 無因次半徑；rfD為竄流通道無因次半徑；hv1D為溶洞1 無因次中心點高度；h2D為儲層2 無因次厚度；ωv1為溶洞1 儲容比；LfD為竄流通道無因次長度；mf1為竄流通道與儲層1 的流度比；pv1為溶洞1 壓力，單位MPa；rv1為溶洞1半徑，單位m；rf為竄流通道半徑，單位m；hv1為溶洞1 中心點高度，單位m；h2為儲層2厚度，單位m；Lf為竄流通道長度，單位m；Ctv1為溶洞1綜合壓縮系數，單位MPa-1；φv1為溶洞1孔隙度。

根據物質守恒及竄流通道與大溶洞2 連接處壓力相等條件：

式（6）—（7）中無因次變量的定義如下:

式（6）—（7）中：pv2D為溶洞2 無因次壓力；rv2D為溶洞2 無因次半徑；hv2D為溶洞2 無因次中心點高度；ωv2為溶洞2 儲容比；m21為儲層2 與儲層1 的流度比；pv2為溶洞2 壓力，單位MPa；rv2為溶洞2 半徑，單位m；hv2為溶洞2中心點高度，單位m；Ctv2為溶洞2綜合壓縮系數，單位MPa-1；φv2為溶洞2孔隙度。

儲層與溶洞連接條件：

儲層外邊界條件：

式（8）—式（10）中無因次變量的定義如下:

式（8）—式（10）中：re1D為儲層1無因次半徑；re2D為儲層2 無因次半徑；re1為儲層1 半徑，單位m；re2為儲層2半徑，單位m；。

系統考慮重力時，儲層、溶洞以及竄流通道中初始時刻的壓力均是垂向距離z的函數：

式中：下標1，2，v1，v2，f分別表示儲層1、儲層2、溶洞1、溶洞2、竄流通道。

1.3 模型求解

基于tD對式（1）—式（11）作Laplace變換，并結合初始條件和邊界條件求解可得Laplace 空間井底壓力解為：

式（12）—式（19）中：u為無因次時間tD對應的Laplace變量；I0、K0分別為改進的零階第一類修正貝塞爾函數和零階第二類修正貝塞爾函數；I1、K1分別為改進的一階第一類修正貝塞爾函數和一階第二類修正貝塞爾函數；CfD、f1、f2、b1、b2、bf1、bf2均為中間變量。

2 典型圖版及參數敏感性分析

2.1 典型圖版

圖2 為無因次壓力降落典型曲線。根據其特征可分為9 個響應段：①大溶洞1 擬穩態流段，由于溶洞1的儲集效應，無因次壓力及其導數曲線前期基本呈斜率為1 的直線；②竄流通道線性流與儲層1 徑向流疊加響應段，無因次壓力及其導數曲線斜率介于0～0.5；③大溶洞2 過渡流與儲層1 徑向流疊加響應段，溶洞2 流體通過竄流通道進入溶洞1，無因次壓力導數曲線緩慢下降；④大溶洞2 擬穩態流與儲層1徑向流疊加響應段，由于溶洞2 的儲集效應，無因次壓力導數曲線緩慢上升；⑤儲層1 徑向流和儲層2 徑向流疊加響應段，無因次壓力導數曲線后端基本呈水平線；⑥儲層1 擬穩態流段，壓力波傳播至儲層1邊界，儲層1 的供給作用逐漸減弱，無因次壓力導數曲線開始上翹；⑦儲層2 過渡流段，儲層2 的供給作用逐漸增強，無因次壓力導數曲線下掉；⑧儲層2 徑向流段，無因次壓力導數曲線后端基本為水平線；⑨儲層2 擬穩態流段（封閉邊界控制流段），儲層2 的供給作用逐漸減弱，無因次壓力導數曲線上翹，后期基本呈斜率為1的直線。

圖2 無因次壓力降落典型曲線Fig.2 Typical curve diagram of dimensionless pressure drop

圖3 為不考慮小尺度裂縫儲層滲流作用的無因次壓力降落典型曲線（令儲層1 的半徑等于溶洞1 的半徑以及儲層2 的半徑等于溶洞2 的半徑即可實現）。典型特征圖可分為4 個響應段：①大溶洞1 擬穩態流段，無因次壓力及其導數曲線前期基本呈斜率為1 的直線；②竄流通道線性流響應段，無因次壓力及其導數曲線斜率基本呈斜率為0.5 的平行線；③大溶洞2過渡流響應段，無因次壓力導數曲線出現快速下掉；④大溶洞2 擬穩態流響應段，無因次壓力導數曲線呈斜率為1的直線。

圖3 無因次壓力降落典型曲線（不考慮小尺度裂縫儲層滲流作用）Fig.3 Typical curve of dimensionless pressure drop（without considering the flowing effect of small-scale fractured reservoir）

2.2 參數敏感性分析

圖4 為考慮重力作用時的無因次附加壓力變化響應特征。無因次附加壓力主要對無因次壓力降落圖的中期及后期影響較大。當無因次附加壓力越大時，流體受重力影響越大，系統中流體流動需要克服的阻力也越大，相應的無因次壓力及其導數曲線位置也越高。

圖4 無因次附加壓力變化響應特征Fig.4 Response characteristic diagram of Dimensionless additional pressure change

圖5 為竄流通道無因次長度變化響應特征。竄流通道無因次長度主要對無因次壓力降落圖的中期影響較大。竄流通道無因次長度增大時，竄流通道線性流與儲層1 徑向流疊加響應持續時間延長。同時，流體通過竄流通道時間增加，消耗能量增多，由溶洞2及儲層2流向溶洞1的阻力增大，因此，相應的無因次壓力及其導數曲線位置靠上。

圖5 竄流通道無因次長度變化響應特征Fig.5 Response characteristic diagram of dimensionless length change of channeling channel

圖6為溶洞1無因次半徑變化響應特征。溶洞1無因次半徑主要對無因次壓力降落圖的前期影響較大。溶洞1 無因次半徑越大，溶洞體積越大，所具有的彈性能量越大且儲存流體越多，因此，擬穩態流持續時間也越長。

圖6 溶洞1無因次半徑變化響應特征Fig.6 Response characteristic diagram of dimensionless radius change of cave 1

圖7為溶洞2無因次半徑變化響應特征。溶洞2無因次半徑主要對無因次壓力降落圖的中期影響較大。溶洞2 無因次半徑越大，溶洞體積越大，所具有的彈性能量越大且儲存流體越多，因此，溶洞2 擬穩態流與儲層1徑向流疊加響應持續時間越長，導數曲線上翹特征出現越晚。

圖7 溶洞2無因次半徑變化響應特征Fig.7 Response characteristic diagram of dimensionless radius change of cave 2

3 實例分析

X 井為順北油田5 號斷裂帶上的一口開發井，鉆井過程中漏失1 400 kg/m3的泥漿25.45 m3，酸壓投產后隨即進行關井壓力恢復測試。關井測試前7 mm油嘴日均產油量約為326.0 m3，等效穩產時間113.2 h，關井有效測試時間為251.0 h。油體積系數1.58 m3/m3，油黏度0.33 mPa·s，儲層綜合壓縮系數3.17×10-3MPa-1，孔隙度0.1，測試井段儲層1 有效厚度10.0 m。實測恢復壓力差及其導數曲線如圖8所示，前端無明顯的線性流與經向流疊加特征，表明竄流通道的導壓系數可能較大，很快地達到擬穩態流階段。前期下凹段持續時間相對較長，表明溶洞2 和儲層1 的儲集體規模不大。后期導數曲線緩慢下掉主要是因為測試前生產時間相對較短，未探及儲層2 的邊界所致（若探及儲層2的邊界，則導數曲線會快速下掉）。

圖8 順北油田X井擬合成果Fig.8 Fitting results diagram of X well in Shunbei oilfield

結合測試前高產、鉆井漏失以及實測數據雙對數曲線圖的特點，應用模型對該實例井進行擬合分析，解釋結果為：儲層1 滲透率6.58×10-3μm2，大溶洞1半徑4.2 m，大溶洞2 半徑18.21 m，儲層1 外邊界60.00 m，竄流通道長度30.20 m，擬合壓力80.355 MPa。同時，應用商業軟件Saphir中的徑向兩區復合模型進行擬合分析，解釋結果為：井儲系數0.59 m3/MPa，表皮因子-4.20，內區滲透率293.79×10-3μm2，內區邊界31.72 m，擬合壓力80.394 MPa。對比發現，從擬合效果（圖8）上來看，垂向雙洞竄流模型與Saphir 的徑向兩區復合模型擬合效果均較好，但結合現場地質背景情況，徑向兩區復合模型明顯不符合使用條件，垂向雙洞竄流模型能較好反應儲層特征。因此，選用垂向雙洞竄流模型解釋的結果與現場生產動態情況也更為吻合，可靠性相對更高。

4 結論

建立了考慮重力作用的大尺度縫洞試井模型，應用數學物理方法對模型進行解析求解并繪制了模型典型特征圖版及參數敏感性分析圖版，給出了應用實例，主要結論如下：

1）考慮重力作用時，流體流動需要克服更大的阻力，因此無因次壓力及其導數曲線中期及后期位置更高，表明考慮重力作用的必要性?？傮w曲線特征和不考慮重力作用相似。

2）考慮小尺度裂縫儲層滲流作用時，竄流通道線性流與儲層徑向流疊加特征表現為無因次壓力及其壓力導數曲線斜率介于0~0.5。大溶洞過渡流與徑向流疊加特征表現為無因次壓力導數曲線緩慢下降。大溶洞擬穩態流與徑向流疊加特征表現為無因次壓力導數曲線緩慢上升且斜率小于1。

3）不考慮小尺度裂縫儲層滲流作用時，竄流通道線性流特征表現為無因次壓力及其壓力導數曲線斜率接近0.5。大溶洞過渡流特征表現為無因次壓力導數曲線快速下掉。大溶洞擬穩態流特征表現為無因次壓力導數曲線斜率接近1。