基于轉移概率的河北省定興縣地表基質垂向分布特征分析

喬衍溢，霍潤斌，魯 敏，王 獻，趙凱明，張盼望，劉 勇

中國地質調查局 廊坊自然資源綜合調查中心，河北 廊坊065000

0 引言

地表基質是當前出露于地球陸域地表淺部或水域水體底部，主要由天然物質經自然作用形成，正在或可以孕育和支撐森林、草原、水、濕地等各類自然資源的基礎物質［1-2］.地表基質層是地表自然資源的承載體和賦存體，按調查開展層次，進一步可劃分為表層（0～0.2 m）、淺層（0.2～2 m）、中層（2～5 m）、深層（5～50 m）地表基質.5m 以淺地表基質層處于生物圈、水圈、大氣圈和巖石圈交互的核心位置，包含生產層（土壤層）和生態層（土壤母質層），外部環境與內部條件共同作用形成了其垂向結構，水、氣、熱、肥等地表基質的理化性質更是由垂向結構直接控制.華北平原是主要的農業生產區，主要出露多條河流影響下的沖積土，使得垂向上地表基質層次分布十分復雜［3］.因此，以5 m以淺地表基質層為例，查明刻畫垂向結構，有助于水肥遷移等科學研究，并能夠為農業的精準化管理及土地利用規劃提供依據.

自馬爾可夫（Markov）利用轉移概率描述隨機變量的變化規律后，前人基于馬爾可夫鏈理論，在地質沉積模型識別［4-5］、地層序列分析［6］、土壤類型和質地層次［7-10］、地層變異模擬［11］、土地利用流轉及景觀格局［12-13］等領域，已經取得大量成果.地表基質調查［14-17］中，基于地表基質剖面挖掘、工程取樣鉆揭示后描述總結垂向結構的方法，對地表基質類型變異和分布特征更多是宏觀定性描述.缺乏定量模型的描述；地表基質類型垂向變化是確定性、隨機性、模糊性共同作用的結果，現有調查對區域上垂向基質類型變化規律刻畫還不夠精細，需要引入合適的數學原理及方法進一步對其精細刻畫.本研究以河北省定興縣為例，將取樣鉆巖心編錄結果視為不同地表基質類型疊置組合的序列，引入嵌入轉移概率矩陣定量描述地表基質類型的垂向排列規律，并根據差值矩陣構建最理想情況下的地表基質類型疊置樣式.

1 研究區概況及數據采集

定興縣位于河北省保定市中部，地處冀中平原腹地，總面積為714.4 km2.研究區地形平坦，總體地勢西北高、東南低，大清河水系的拒馬河、北易水、中易水河自西向東橫貫全境，水文及工程地質條件良好.新構造運動活動直接控制了區內的地貌格局與水系展布，研究區地貌類型以沖洪積平原、沖積平原為主，河漫灘、河床及階地在河流兩側發育.第四紀沉積物成因類型相對簡單，主要為沖洪積和河流沉積，覆蓋厚度一般在數十到數百米（圖1）.

圖1 研究區地貌類型及采樣點位分布圖Fig.1 Landform types and sampling sites in the study area1—河床（river bed）；2—河漫灘（flood plain）；3—階地（terrace）；4—沖積洼地（alluvial depression）；5—平坦的沖積平原（flat alluvial plain）；6—傾斜的沖積平原（sloping alluvial plain）；7—傾斜的沖積洪積平原（sloping alluvial-deluvial plain）；8—起伏的沖積洪積平原（undulating alluvialdeluvial plain）；9—采樣點位（sampling site）；10—研究區（study area）

在定興縣內，根據地貌解譯類型，按照地貌分區的原則布設取樣鉆.采樣點位如圖1 所示.在揭穿5 m以淺地表基質層的65 個取樣鉆孔點，取埋深等于或超過5 m 所處地表基質類型的自然截止深度為底界深度，統計編錄獲取得到的357 個層位的地表基質類型及其層厚信息，將其作為轉移概率統計研究的原始數據.編錄結果表明，地表基質類型均為為土質基質，按照三級分類可進一步劃分為砂土（C2s）、壤質砂土（C2l）、黏質砂土（C2c）、砂質壤土（C3s）、壤土（C3l）、黏質壤土（C3c）、砂質黏土（C4s）、壤質黏土（C4l）、黏土（C4c）等9 種類型.考慮到傾斜的沖洪積平原和階地地貌類型面積較小，且采樣點較少，對此兩種地貌類型不再分區研究.

2 研究方法

根據定義，當推測后續狀態時，影響因素只與當前狀態相關，而與過去狀態無關的性質稱為馬爾可夫性.馬爾可夫鏈是一組具有馬爾可夫性質的離散隨機變量的集合.馬爾可夫鏈理論具體應用到本研究中，表示了沉積作用下，地表基質隨深度自下而上從某種類型轉變為另一種類型的概率大小，可以認為這是一個因變量地表基質類型只隨單一自變量深度變化的一維馬爾可夫鏈.本研究采用轉移概率（Transition Probability）方法定量描述定興縣地表基質垂向上類型變化規律，完成馬爾可夫性檢驗后，根據轉移概率的計算結果，開展置換分析、熵分析、差值矩陣與環流分析等轉移概率綜合分析，從而獲取區域地表基質類型的宏觀規律.

轉移概率計算方式通?？煞譃檫B續式和嵌入式兩種，即分別以等厚度間隔和地表基質類型實質變化兩種方式記錄地表基質類型的變化.考慮到同一種地表基質類型通常是同種環境的產物，地表基質的層數、類型及垂向排序是其最為重要和關鍵的信息.對于編錄結果而言，厚度信息可以方便地從編錄表中獲取，出于分析的方便性，統計地表基質類型的實質變化，選取嵌入式轉移矩陣方法分析描述地表基質類型的垂向變化特征.區內地表基質是沉積的產物，因此，依據各取樣鉆編錄結果，自下而上統計地表基質變化情況，可得到與進積方向一致、符合地質成因規律的轉移頻數矩陣TFM（N），作為轉移概率計算的起點.嵌入式TFM（N）的對角線元素均為0.

式中，m 為地表基質類型的總數目；nij表示相鄰兩層，地表基質類型i 出現在類型j 上面的頻數；ni為第i 行元素的總和，表示由第i 種地表基質類型轉變為其他類型的總頻數.將TFM 中每一行元素均除以該行元素的總和ni，即可得地表基質類型垂向向上轉移頻率矩陣TPM，其表示某種地表基質類型被其他各種類型上覆的概率.

pij為第i 種向第j 種地表基質類型的轉移概率.

2.1 馬爾可夫性檢驗

轉移概率分析首先需要進行馬爾可夫性檢驗，即檢驗逐次發生的事件或狀態是否獨立.無效假設是假設地表基質類型之間的轉移是相互獨立的，如果無效假設不成立，則滿足一維馬爾可夫鏈的要求.換言之，當馬爾可夫性檢驗結果證明無效假設不成立，即地表基質類型之間的垂向轉移具有相關性時，可以將地表基質類型的垂向變化視為一維馬爾可夫鏈.檢驗標準［18］如下：

其中，λ 為統計變量；pj為TPM 中第j 列的邊緣概率；m 為研究區地表基質類型總數目.當無效假設成立時，-2 ln λ 漸進服從自由度為m（m-1）的χ2分布.χ2分布是由正態分布構造而成的一個新的分布，當自由度很大時，其分布近似為正態分布.查χ2分布概率表時，按自由度及相應的概率去找到對應的值.

2.2 馬爾可夫鏈平穩性檢驗

平穩性能夠衡量研究變量在連續空間（時間）狀態變化情況是否與空間位置（時間）有關，當狀態變化與空間位置無關時，稱為平穩性馬爾可夫鏈.檢驗標準［18］如下：

其中，pij為全區內TPM 的第（i，j）個元素；pij（t）是第t個子區間TPM 的第（i，j）個元素；nij（t）為第t 個子區間TFM 中第（i，j）個元素；T 是子區間總數目；m 為地表基質類型總數.當無效假設成立時，即馬爾可夫鏈是平穩的，則-2 ln λ 漸進服從自由度為（T-1）m（m-1）的χ2分布，說明子區間內的TPM 與全區TPM 相同位置的元素值近似相等.

2.3 置換分析

研究區內不同地表基質類型層次轉移的TPM 各行，可以統計出如下的相似性度量.對于向上轉移的TPM（P）有

其中，pik和pjk分別表示類型i 和類型j 向上轉移到k的頻率，Uij值越大說明兩種基質類型具有相同上層的概率越大.同理，對于向下轉移的TPM（Q），相似性度量記為Dij.再定義Cij＝Uij·Dij，該值越大說明i 和j 擁有相同類型的上下層.Cij越大，則表明兩種基質相似性水平越高，說明兩者直接發生變化的可能性越大，橫向上越不穩定.若Cij很低，則表明該狀態較為穩定，可以作為標志層.

2.4 熵分析

地表基質類型的影響和依賴性還可以從轉移的熵組值上看出.定義后熵為向上轉移矩陣的熵組

這里qij為Q 的第（i，j）個元素，即第i 種地表基質類型之下出現第j 種地表基質類型的概率.

2.5 差值矩陣與環流分析

為最大限度地消除隨機因素的干擾，有必要進一步利用環流分析法突出地表基質序列的規律性，找出最符合宏觀趨勢的主要地表基質序列類型.環流分析方法可分解為差值矩陣構建和地表基質序列分解模式圖兩步［19-20］.

差值矩陣先由轉移頻數矩陣M＝［Mij］構造一個矩陣E＝［Eij］，其中Eij表示由狀態i 轉移到狀態j 的概率，

然后用矩陣DD 來表示轉移的傾向，即

差值矩陣反映了地表基質序列中各地表基質類型相互形成組合的傾向，其正值意味著實際觀測到的地表基質序列比隨機序列更為常見.

3 計算結果

將研究區內的9 種基質類型選取為轉移概率分析的系統狀態，計算出定興縣全區及4 種地貌類型的表層概率分布A 與向上轉移頻率矩陣TPM（P）.

不同地貌類型內矩陣A、P 的差異反映了地貌對地表基質垂向分布的影響，不同地貌單元內的地表基質類型特征不盡相同.沖積洼地與平坦的沖積平原地貌內9 種地表基質類型均有出現；河漫灘內缺失壤土基質、黏土基質；傾斜的沖積平原缺少黏土基質.表層地表基質類型以中等顆粒為主，砂土基質、壤質黏土基質、黏土基質在地表均未出現.平坦的沖積平原區內的基質類型最為豐富，以砂質壤土基質為主體；傾斜的沖積平原與河漫灘的地表基質類型最少，主要的類型為壤土基質、砂質壤土基質；沖積洼地集中表現為砂質壤土和二級分類的壤土類型.按照地表基質表層顆粒粗細程度，從粗到細，分別為河漫灘、沖積洼地、傾斜的沖積平原、平坦的沖積平原.

3.1 馬爾可夫性檢驗結果

定興縣全區馬爾科夫性檢驗結果-2 ln λ ＝196.6207，自由度為n＝9×（9-1）＝72.依據統計學上約定俗成的習慣，取顯著水平a＝0.05，，遠小于-2 lnλ.結果說明，-2 lnλ 服從自由度為72 的χ2分布的把握僅有5%，表明了認為無效假設（地表基質類型之間的轉移相互獨立）成立的可信度僅有5%，而有95%的把握認為無效假設不成立，反映了定興縣全區地表基質類型馬爾可夫性明顯，滿足可視為一維馬爾可夫鏈的要求.

3.2 馬爾可夫平穩性檢驗結果

沖積洼地、河漫灘、平坦的沖積平原、傾斜的沖積平原4 種地貌類型馬爾可夫平穩性檢驗結果分別為87.6732、47.5472、127.9808、74.9570.劃分4 個子區間時，自由度為（4-1）×9×（9-1）＝216.當顯著水平a＝0.05，為251.286，均大于4 個子區的平穩性檢驗結果，表明了認為無效假設（子區域的TPM 與全區域TPM 的差異不明顯）不成立的可信度僅有5%，而有95%的把握認為無效假設成立，說明4 個子區域的TPM 與定興縣的TPM 對應元素相似.因此，可認為整個定興縣內地表基質類型垂向變化的馬爾可夫鏈是平穩的，在后續分析中將定興縣作為一個整體進行下步分析.

3.3 置換分析結果

針對全區，計算地表基質向上垂向轉移的相似性度量U、向下垂向轉移的相似性度量D、總垂向轉移的相似性度量C，并可根據U、D、C 矩陣數值做出各地表基質類型的譜系圖.譜系圖（圖2）中，越靠上，相鄰兩種地表基質類型越能相互替換，越具有較高的相似水平.

圖2 地表基質類型垂向譜系圖Fig.2 Vertical spectrum of ground substrate types

3.4 熵分析結果

定興縣全區地表基質類型間的影響大小關系可以從熵值計算結果（表1）中看出.

表1 熵分析結果Table 1 Results of entropy analysis

砂質壤土的前后熵均較大，表明該地表基質類型的變化最大，在地表基質序列中是最隨機或最不確定的事件.壤質砂土、壤土的前熵明顯小于其后熵，其余各地表基質類型的前后熵非常接近.整體來說，H（down）≈H（up），表明地表基質序列具有一定的對稱性，可認為是水流多次將細顆粒垂向加積的結果.

3.5 差值矩陣與環流分析結果

為便于找出宏觀規律，取差值矩陣元素0.024 作為閾值，舍掉小于閾值實際觀測到的地表基質組合.

從研究區實際出發，由于黏土可認為是代表弱水動力條件下的產物，黏土作為一個完整地表基質序列的起點和終點，進而結合向上轉移概率矩陣P 和差值矩陣DD 做出基質優先轉移路線圖（圖3）.根據環流量a 的大小分解所有可能的序列類型，并選擇環流量較大的地表基質序列作為主要序列類型.

圖3 轉移矩陣視角下的地表基質轉換關系圖解Fig.3 Diagram for ground substrate transformation relation from the perspective of transition matrix

4 討論

馬爾可夫穩定性檢驗的結果表明，將定興縣作為一個整體進行分析是合理的，但比對各地貌單元內地表基質組合的異同仍有一定意義，因此基于轉移概率矩陣初步梳理的結果，對此進行初步討論.各地貌類型內地表基質間垂向結構疊置關系上，傾斜的沖積平原內P73＝0.8，表明主要的類型組合為砂質黏土基質-黏質砂土基質；P43與P34數值接近，表明黏質砂土基質與壤質砂土基質多以互層形式出現.河漫灘地貌內，轉移概率矩陣第一行內元素較分散，轉移頻數矩陣內第一行元素總和與矩陣元素總和的比值為9/26，體現了砂土基質為底，上部沉積中細顆?；|且上部基質類型變化較為劇烈的特征，河漫灘內以砂土基質-其他基質垂向組合為主.平坦的沖積平原地貌區域內，P92、P26數值相對較大，體現了黏土基質-壤質砂土基質-黏質壤土基質的組合規律；P43與P34數值接近，表明黏質砂土基質與壤質砂土基質多以互層形式出現，這一互層特征與傾斜的沖積平原地貌類似.沖積洼地地貌單元內，P34、P46數值相對較大，體現了黏質砂土基質-砂質壤土基質-黏質壤土基質的組合規律.沖積洼地、河漫灘內表現為正粒序特征，即地表基質質地隨著沉積過程，由深至淺粒度逐漸變細.河漫灘內表現為以顆粒最粗的砂土為底，其上地表基質類型為細顆粒的垂向組合特征，垂向變化劇烈；沖積洼地內的地表基質類型與河漫灘的相比質地更細，向上質地變化較為連續.平坦的沖積平原及傾斜的沖積平原內，黏質砂土基質與壤質砂土基質均以互層形式出現.平坦的沖積平原地貌占定興縣絕大多數面積，從轉移概率矩陣整體上看該地貌與全區轉移概率矩陣同位置元素變化趨勢較為一致.分析4 個地貌分區的地表基質轉移概率矩陣，與實際編錄結果對比驗證，表明本研究具有較好的可信度.各地貌單元內的地表基質組合典型類型的代表鉆孔如圖4 所示.

圖4 各地貌單元內地表基質組合典型類型Fig.4 Typical types of ground substrate assemblage in various geomorphic unitsBZK040—傾斜的沖積平原（sloping alluvial plain）；BZK019—河漫灘（flood plain）；BZK028—平坦的沖積平原（flat alluvial plain）；BZK034—沖積洼地（alluvial depression）；1—黏土基質（clay substrate）；2—壤質黏土基質（loamy clay substrate）；3—壤土基質（soil substrate）；4—砂質黏土基質（sandy clay substrate）；5—黏質砂土基質（clay sand substrate）；6—砂質壤土基質（sandy loam substrate）；7—壤質砂土基質（loamy sand substrate）；8—砂土基質（sand substrate）

從全區范圍看，地表基質類型按照二級分類以壤土類為主體，砂土類次之，黏土類最少；砂土類中主要表現為黏質砂土.區域內中層地表基質層以砂質壤土、黏質砂土、黏質壤土等中顆粒類型為主，反映了區域內大部分地區地表基質形成于水動力條件中等的環境下.

垂向組合上，某些特定地表基質類型會以組合形式出現，利用熵分析、置換分析和向上轉移概率矩陣提供的綜合信息，刻畫地表基質組合特征.由地表基質向上垂向轉移的相似性度量U 可知，U13＝0.27 為最小值，表明砂土、黏質砂土為最穩定層位；熵分析結果中，砂土的前驅狀態明顯大于后繼狀態，表明其向上沉積形成的狀態要更為穩定；在向上轉移矩陣P 中，砂土向上轉移到黏質砂土概率最高，因而判斷黏質砂土上覆于砂土上部.U34＝0.333，黏質砂土、砂質壤土為穩定層位，黏質砂土向砂質壤土向上轉移概率為0.333，因而砂質壤土狀態應出現于黏質砂土之后，表現為砂質壤土上覆于黏質砂土上部.此外，注意到C3l 的前熵明顯小于其后熵，表明其下伏與上覆地層相比具有更為明顯的確定性；Q54＝0.3，為該行最大值，表明壤土基質下伏基質更多表現為砂質壤土，最后形成砂土-黏質砂土-砂質壤土-壤土基質典型代表組合.U26＝0.426，表明壤質砂土、黏質壤土為較穩定層位.壤質砂土向上轉移到黏質壤土概率為0.346，壤質砂土前驅狀態明顯小于后繼狀態，表明其下伏基質相比上覆基質，類型更為確定.壤質砂土向下轉移至黏質壤土概率最大，為0.286，說明壤質砂土與黏質壤土表現為互層，壤土-黏土基質組合形成了一個閉旋回.

橫向變化特征上，在代換譜系圖上，壤土與黏土基質、砂土與砂質黏土基質均可互換，表明兩者有共同的居前和既后狀態，二者能夠相互替代說明了地表基質層位變化的不穩定性；互置換矩陣中，C17最大，表明砂土與砂質黏土常常緊密共生，有著共同的上覆和下伏基質.這種可替代性也反映在互代換譜系圖上，地表基質類型相差較大的砂土、砂質黏土、砂質壤土基質反映出橫向地表基質類型變化上的不穩定性，同一、二級分類下的地表基質類型較為相似，壤質黏土與黏土、壤土與黏質壤土、黏質砂土與壤土的可互換性反映了地表基質類型變異性較小，穩定性和均一性都較好.宏觀上看，質地由細變粗，橫向上穩定性變強.

沉積相與地表基質類型間的關系上，區內存在多條現代河流，劉智榮等［21］利用巖性和粒度分析結果表明區內為曲流河沖積沉積，曲流河在平原區的擺動塑造了地表基質層以河流沉積體系為主的沉積體系，區內沉積相以河流相為主.洪水猛烈暴漲淹沒河床范圍大，河流沉積物顆粒粗；河流緩慢上漲滯留于洼地，靜水沉積產生的顆粒物質地較細，養分豐富［22］.河道亞相表現為厚層砂土基質、壤質砂土基質.河道邊緣的堤壩亞相以中細顆粒為主，其中天然堤微相表現為壤質砂土基質、砂質壤土基質互層的特征.決口扇微相表現為以壤質黏土-壤質砂土基質、砂質黏土-黏質砂土基質、壤土-砂質壤土基質組合為代表的上粗下細的垂向結構；泛濫平原亞相顆粒類型偏細，形成區內分布較廣的中厚層的黏質砂土、砂質壤土、壤土基質，氧化環境下沉積形成的地表基質富集了大量的有機質，適宜農業耕作.

區內最完整的地表基質序列，通過環流分析可知為砂土-黏質砂土-砂質黏土-砂質壤土-壤土-黏質壤土-壤質砂土-壤質黏土-黏土，其環流量為a＝0.024.由于其環流值較小，同時受研究范圍實際厚度制約，在實際編錄結果中未有完整體現，但這對宏觀認識區內的沉積趨勢仍然具有理論意義.砂質黏土屬于水動力條件較弱環境中的產物，砂土、壤質砂土及黏質砂土屬于水動力條件很強環境中的產物，這個理論上的完整地表基質序列可以表征區內0～5 m 范圍內水動力條件變化強—弱—強—中等—強—弱的沉積過程.

取樣鉆孔編錄可視作地表基質序列的局部片段，經過環流分析法，得到可能的2 類6 種地表基質序列.不滿足上述地表基質序列的可認為是隨機性的類型轉移，不反映地表基質整體的轉移趨勢.同時，注意到隨機性的轉移通常分布在取樣鉆編錄的上層.區內的地表基質序列以4～7 個巖性組合的中等序列為主.序列1—序列4 可認為是區內主要的地表基質序列，可概括為砂土-黏質砂土-砂質壤土-壤土型，合計有19 個鉆孔，環流量相對較大.序列1 為基本的地表基質序列，序列2—序列4 實質與序列1 相似，只是在序列1 基本地表基質序列中嵌入了砂土（砂質黏土）-黏質砂土次級序列，序列4 則是兩種次級序列進一步相互嵌套的結果.序列5 和序列6 可概括為壤質砂土-黏質壤土型.

5 結論

1）轉移概率分析結果表明，地表基質垂向組合特征與地貌關系密切.砂土-黏質砂土-砂質壤土-壤土為區內典型代表組合，壤質砂土-黏質壤土為次級組合類型.環流分析獲得的區內理想的最完整的地表基質序列表征了區內0～5 m 范圍內水動力條件變化強—弱—強—中等—強—弱的沉積過程.環流分析環流量總體相對較小，說明地表基質受多種復雜成因因素的影響，其類型劇烈變化.

2）不同地貌單元內的地表基質類型特征不盡相同.地貌控制了地表基質類型.河漫灘內表現為以顆粒最粗的砂土為底，其上地表基質類型為細顆粒的垂向組合特征，垂向變化劇烈；沖積洼地內的地表基質類型與河漫灘的相比質地更細，向上質地變化較為連續.平坦的沖積平原及傾斜的沖積平原內，黏質砂土基質與壤質砂土基質均多以互層形式出現.

3）基于轉移概率的數學方法，建立了區內的地表基質類型垂向轉換方向，定量刻畫了地表基質的組合類型特征，反映中層地表基質層的沉積動力環境.轉移概率方法能夠從大量繁雜的編錄中獲取區域內的宏觀規律.