一類具有飽和發生率的染病食餌-捕食者隨機模型的動力學分析

趙玉鳳

( 山西工商學院 計算機信息工程學院, 太原 030000 )

0 引言

由于HollingⅢ型功能反應函數更適合于描述脊椎動物種群隨時間的變化規律,因此一些學者對HollingⅢ型功能反應函數的捕食模型進行了研究[1-3].在捕食者-食餌模型中,由于捕食者的平均生長率需要考慮食餌豐度與捕食者豐度的比值,因此一些學者進而研究了具有比例依賴的功能反應的食餌-捕食者模型[4-5].為了解不同生態系統的動力學性質,學者們利用It公式、大數定律、鞅理論分析了不同系統的動力學性質,其中包括全局正解的存在唯一性、遍歷平穩分布的存在性、滅絕性和持久性、周期解等[4-8].文獻[9]的研究表明,飽和發生率通常比雙線性發生率(bX1X2)更適合于描述某些流行病的傳播.基于上述研究,本文提出了一類帶有飽和發生率和比率依賴的HollingⅢ型功能反應的染病食餌-捕食者模型:

(1)

考慮到環境噪聲會對生物學系統產生不可忽略的影響,因此本文對系統(1)進行了線性擾動,以此建立了一個如下具有飽和發生率和logistic增長的隨機模型(式(2)),并對其動力學性質進行了研究.

(2)

式中:{Bi}t≥0(i= 1,2,3)是相互獨立的標準布朗運動.

1 全局正解的存在性和唯一性

設X(t)∈Rn,則Lyapunov函數V的It公式為dV(X(t),t)=LV(X(t),t)dt+VX(X(t),t)g(X(t),t)dB(t).

證明由于定理1的證明過程與文獻[4]中定理2.1的證明過程相似,故省略.

2 平穩分布的遍歷性

引理1(Has’miniskii)[10]設有界域D?Rd,且其邊界是正則的,若:

2)存在一個非負C2-函數V,使得對于任意的RdD,LV是負的,

則系統(2)中的馬爾可夫過程X(t)有一個遍歷平穩分布μ(·).

證明由擴散矩陣的計算公式得系統(2)的擴散矩陣為:

(4)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中:

由上述討論和引理1可得,系統(2)存在一個平穩分布,定理2得證.

3 滅絕性和持久性

引理2[11]設X(t)∈C(ΩX[0,∞),R+),則有:

證明對lnX1利用It公式可得:

(11)

對式(11)從0到t進行積分后再除以t可得:

類似地,對lnX2利用It公式可得:

(12)

類似地,對lnY利用It公式可得:

(13)

(14)

證明對lnX2利用It公式可得再由定理3可知,存在任意小的常數ε1(ε1>0)和ε2(ε2>0),使得當t>T時有和X2<ε2.由此可得:對該式從0到t進行積分后再除以t可得:

4 數值模擬

圖1 在噪聲強度為σ1=σ2=σ3= 0.2,初始值為X1(0)= 10、X2(0)= 6、Y(0)= 4時系統(2)的解X1(t)、X2(t)、Y(t)的路徑圖

圖2 在噪聲強度為σ1=σ2=σ3= 0.1,初始值為X1(0)= 10、X2(0)= 6、Y(0)= 4時系統(2)的解X1(t)、X2(t)、Y(t)的路徑圖

圖3 在噪聲強度為σ1= 0.1、σ2=σ3= 0.2,初始值為X1(0)= 10、X2(0)= 6、Y(0)= 4時系統(2)的解X1(t)、X2(t)、Y(t)的路徑圖

5 結論