考慮媒體影響的一類時滯傳染病模型的分岔周期解

張子振, 張怡雪, 張偉詩, 宋志強

( 1.安徽財經大學 管理科學與工程學院, 安徽 蚌埠 233030;2.呼倫貝爾學院 工學院, 內蒙古 呼倫貝爾 021008 )

0 引言

傳染病是嚴重威脅人類健康和生命的一類疾病.研究顯示,在傳染病暴發期間,網絡、電視等媒體對疾病的暴發情況進行客觀準確的宣傳報道,可以使公眾準確了解疾病的傳播情況和提高對傳染病的防范意識,從而有助于控制疾病的傳播[1-2];因此,近年來考慮媒體影響的傳染病模型受到學者們的關注.例如:李錄蘋等[3]提出了一類考慮媒體報道效應的SEIQR傳染病模型,并通過構造合適的李雅普諾夫函數研究了無疾病平衡點的全局漸近穩定性.張雪妮等[4]研究了一類受媒體報道影響的離散傳染病模型,并分析了無疾病平衡點和有疾病平衡點的穩定性.張鈺倩等[5]和陽麗君等[6]考慮到媒體宣傳的滯后性,分別研究了不同類型的時滯傳染病模型,并針對其模型推導出了模型產生Hopf分岔的充分條件;但是,張鈺倩等和陽麗君等并未對其模型的Hopf分岔的性質進行研究.劉中凱等[7]建立了一類同時考慮媒體影響和疫苗接種影響的傳染病模型:

(1)

其中:Sn(t)、Sa(t)、I(t)和V(t)分別表示無意識易感者、有意識易感者、感染者和接種者在時刻t的數量,M(t)表示媒體在時刻t的報道信息量;A為無意識易感者的常數輸入率;λ為無意識易感者向有意識易感者轉化的比率;β0為無意識易感者的感染率;λ0為有意識易感者向無意識易感者轉化的比率;r為感染者的恢復率;p和q分別為感染者恢復后轉化為無意識易感者的比率和感染者恢復后轉化為有意識易感者的比率,p+q= 1;ω為接種者失去免疫力的比率;f和δ分別為接種者失去免疫力后轉化為無意識易感者的比率和接種者失去免疫力后轉化為有意識易感者的比率,f+δ= 1;θ為有意識易感者的接種率;a為感染者因疾病導致的死亡率;d為所有群體的自然死亡率;μ為媒體對疾病進行宣傳的力度;μ0為媒體在宣傳過程中的信息耗散率.在文獻[7]中,劉中凱等研究了模型(1)的穩定性,并通過數值模擬分析了公眾意識和疫苗接種率對疾病傳播的影響,但其研究未考慮媒體宣傳的滯后性.基于上述研究,本文研究如下時滯傳染病模型:

其中:ζ表示媒體對疾病進行宣傳報道的滯后時間.

1 局部穩定性和Hopf分岔的存在性

(3)

模型(2)在有疾病平衡點D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)處的雅克比矩陣為:

其中:k11=-λM*-β0I*-d,k12=λ0,k13=-β0Sn*+rp,k14=ωf,k15=-λSn*,k21=λM*,k22=-λ0-β1I*-θ-d,k23=-β1Sa*+rp,k24=ωδ,k25=λSn*,k31=β0I*,k32=β1I*,k33=β0Sn*+β1Sa*-r-a-d,k42=θ,k44=-ω-d,k55=-μ0.

模型(2)在有疾病平衡點處D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)的特征方程為:

ρ5+Θ4ρ4+Θ3ρ3+Θ2ρ2+Θ1ρ+Θ0+(Ξ2ρ2+Ξ1ρ+Ξ0)e-ρζ= 0.

(4)

其中:

Ξ0=-μ[(k15(k22k31k44-k24k31k42-k21k32k44)+k25(k11k32k44-k12k31k44+k14k31k42)],

Ξ1=-μ(k15k21k32-k15k22k31-k15k31k44-k25k32k44-k11k25k32+k12k25k31),

Ξ2=-μ(k15k31+k2k32),

Θ0=k44k55(k11k23k32+k12k21k33+k13k22k31-k11k22k33-k13k21k32-k12k23k31)+

k42k55(k11k24k33+k14k23k31-k14k21k33-k13k24k31),

Θ1=k44(k11k22k33+k13k21k32+k12k23k31-k11k23k32-k12k21k33-k13k22k31)-

k55[k11k23k32+k12k21k33+k13k22k31-k11k22k33-k13k21k32-k12k23k31-

k44(k11k22+k11k33+k22k33-k23k32-k12k21-k13k31)]-

k42[k11k24k33-k14k21k33-k13k24k31+k14k23k31-k55(k14k21-k11k24-k33k24)],

Θ2=k11k23k32+k12k21k33+k13k22k31-k11k22k33-k13k21k32-k12k23k31+

k44(k12k21+k13k31+k23k32-k11k22-k11k33-k22k33)-k55[k11k22+k11k33+k22k33-

k23k32-k12k21-k13k31+k44(k11+k22+k33)]-k14k21k42+k24k42(k11+k33+k55),

Θ3=k11(k22+k33)+k44(k11+k22+k33)+k55(k11+k22+k33+k44)+k22k33-

k12k21-k13k31-k23k32-k24k42,

Θ4=-(k11+k22+k33+k44+k55).

由上述特征方程可知,當ζ= 0時,方程(4)變為:

ρ5+Δ4ρ4+Δ3ρ3+Δ2ρ2+Δ1ρ+Δ0= 0.

(5)

(6)

由式(6)可得:

χ10+α4χ8+α3χ6+α2χ4+α1χ2+α0= 0.

(7)

ε5+α4ε4+α3ε3+α2ε2+α1ε+α0= 0.

(8)

2 分岔周期解的穩定性

令ζ=ζ0+l,l∈R,v1(t)=Sn(t)-Sn*,v2(t)=Sa(t)-Sa*,v3(t)=I(t)-I*,v4(t)=V(t)-V*,v5(t)=M(t)-M*,并對t作變換t→(t/ζ),由此模型(2)可以轉換為:

(9)

其中:

Yl(φ)=(ζ0+l)K1φ(0)+(ζ0+l)K2φ(-1),

(10)

(11)

根據上述計算,再利用文獻[8]中的方法即可求得中心流形系數v20、v11、v02和v21的表達式,由此再進一步計算即可得模型(2)在ζ=ζ0處的分岔周期解的穩定性系數:

定理2當Q1>0(Q1<0)時,模型(2)在ζ=ζ0處產生的Hopf分岔是超臨界(次臨界)的;當Q2>0(Q2<0)時,模型(2)在有疾病平衡點D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)處產生的分岔周期解是不穩定的(穩定的).

3 數值模擬

模擬參數選取A=2,λ= 0.9,β0= 0.06,λ0= 0.05,r= 0.08,p= 0.8,q= 0.2,ω= 0.15,f= 0.8,δ= 0.2,d= 0.128,β1= 0.03,θ= 0.9,a= 0.001,μ= 0.3,μ0= 0.1.在上述參數下模型(2)變為:

(12)

對式(12)進行計算可知,基本再生數R0=4.4856>1,由此得模型(12)存在唯一有疾病平衡點D*(1.9368,3.0930,0.5878,10.0133,1.7634),且χ0= 0.9057,ζ0= 13.0471.為了驗證模型(12)Hopf分岔的存在性,本文首先選取ζ=12.0675∈[0,ζ0).此時,模型(12)的狀態圖和相圖分別如圖1和圖2所示.由圖1和圖2可以看出,模型(12)是局部漸近穩定的.其次,選取ζ=15.2625>ζ0.此時,模型(12)的狀態圖和相圖分別如圖3和圖4所示.由圖3和圖4可以看出,此時模型(12)失去穩定性,并在有疾病平衡點D*(1.9368,3.0930,0.5878,10.0133,1.7634)附近產生了Hopf分岔.

圖1 ζ=12.0675∈[0,ζ0)時模型(12)的狀態圖

圖2 ζ=12.0675∈[0,ζ0)時模型(12)的相圖

圖3 ζ=15.2625>ζ0時模型(12)的狀態圖

圖4 ζ=15.2625>ζ0時模型(12)的相圖

4 結論

本文研究表明:當媒體對疾病進行宣傳報道的滯后時間足夠短時,模型(2)中的無意識易感者、有意識易感者、感染者和接種者的數量將趨于穩定;而當媒體對疾病進行宣傳報道的滯后時間超過時滯臨界點ζ0時,模型(2)中的無意識易感者、有意識易感者、感染者和接種者的數量將在有疾病平衡點處產生周期震蕩.由此表明,媒體對疾病進行宣傳報道的滯后時間對模型(2)穩定性具有非常重要的影響.同時也說明,在疾病暴發前,若媒體在客觀條件允許的前提下能及時地對疾病進行宣傳報道,則有助于控制疾病的傳播.本文在研究模型(2)的Hopf分岔時,僅研究了其局部Hopf分岔行為;因此,在今后的研究中我們將研究模型(2)是否存在全局Hopf分岔行為.