具有恐懼效應的隨機捕食-食餌模型動力學

李 江，魏春金

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

長期以來，在種群動力系統中，捕食與食餌模型是許多學者的一個重要研究方向，這方面的研究也取得了大量豐富的成果[1-7]。生態學研究主要關注的是捕食者與食餌之間的相互作用，這種相互作用主要是由捕食者對食餌的直接消耗控制的。文獻[8]提出了模型

(1)

其中：x(t)、y(t)分別表示食餌和捕食者在t時刻的種群密度；c為轉化率；f1(x(t))、f2(y(t))分別表示食餌和捕食者的增長率；p(x(t)、y(t))為功能反應函數。然而，最新的理論研究和實驗結果表明，除了直接捕食之外，捕食者的間接效應也會顯著改變整個生態系統的動力學[9-11]。僅僅是捕食威脅就足以迫使食餌改變自身的生活習慣并表現出各種反捕食的行為，如選擇新的棲息地、改變覓食時間和尋找更安全的覓食地點等，這也會使得食餌生長、生存和繁殖的能力下降[12-15]?；诖?，文獻[16]考慮捕食者引起的恐懼并建立了模型

(2)

其中：f(k,y)為恐懼函數；k為迫使食餌做出反捕食行為的恐懼程度；r0為食餌的內稟增長率；a為食餌種內競爭；c為轉化率；g(x)為功能反應函數；di(i=1，2)為自然死亡率。

事實上，除了出生率，食餌的反捕食行為還會影響捕食者的捕獲率。此外，現實世界中的隨機干擾是處處存在的，種群在環境中不可避免會受到各種隨機干擾的影響[17-19]。因此，與確定性模型相比，隨機模型更具有真實性。受到文獻[20-21]的啟發，本文在模型(2)的基礎上對隨機模型

(3)

1 預備知識

隨機微分方程

dx(t)=f(x(t)，t)dt+g(x(t)，t)dB(t)

(4)

的解記作x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))(t≥0)。其中：f∈L1(Rn×R+，Rn)；g∈L2(Rn×R+，Rn×m)；B(t)是n維布朗運動。

定理1[22](存在唯一性定理) 假設f(x(t)，t)和g(x(t)，t)關于x(t)滿足下列條件：1)局部Lipschitz條件，存在ck>0(k=1，2，…)，使得?x，y∈Rn且|x|∨|y|≤k，有|f(x，t)-f(y，t)|∨|g(x，t)-g(y，t)|≤ck|x-y|；2)線性增長條件，存在c>0，使得|f(x，t)|∨|g(x，t)|≤c|1+|x||，?(x，t)∈Rn×R+，則初始條件為x(0)=x0∈Rn的系統(4)存在唯一連續的局部解x(t)(t∈[0，τe))，τe是爆破時間。

引理1[23-24]對Markov過程X(t)，若具有正則邊界的有界區域U∈Rd有如下性質：1)對任意的x∈U，擴散矩陣A(X)的最小特征值是非零的；2)存在非負C2-函數V，使得LV在RdU上為負數，則Markov過程X(t)存在唯一的遍歷平穩分布μ(·)。

2 全局正解的存在性

證明首先考慮方程

(5)

令k0>0足夠大，使得(x(t)，y(t))∈[1/k0，k0]×[1/k0，k0]，對于任意的正數k≥k0，定義一個停時序列：τk=inf{t∈[0，τe)：x(t)(1/k，k)或y(t)(1/k，k)}。

假設τ∞→/∞，則存在常數T1≥0、∈(0，1)和一個正整數k1≥k0，使得P{τk≤T1}≥ε，?k≥k1。

dV(x，y)=LV(x，y)dt+(x-1)σ1dB1+(y-1)σ2dB2，

后續證明與文獻[26]類似，在此省略。

3 隨機持久與滅絕

4 遍歷平穩分布的存在性

5 數值模擬結果

為了驗證上述理論，本文采用Milstein高階方法[27]對給定初始值和參數的隨機模型(3)進行數值模擬。

下面討論白噪聲強度σ1和恐懼導致的出生率變化強度c2對系統的影響。

6 結論

本文研究了具有恐懼效應的隨機捕食-食餌模型，證明了對于任意給定的正初始值，系統(3)存在唯一的全局正解；得到了系統(3)的平均持續生存與滅絕的充分條件；應用Has’minskii的平穩分布理論，得到了系統(3)存在唯一遍歷平穩分布的充分條件。此外，數值模擬結果表明，恐懼效應的存在極大地豐富了捕食食餌模型的動力學。出于對被捕食的恐懼，食餌會表現出一系列反捕食行為，這有利于食餌的生存，并有可能導致捕食者最終滅絕。然而，反捕食行為尤其是更換棲息地對食餌出生率有較大的影響，這不利于食餌新生代的繁殖，并將最終影響整個種群的生存，因此，在捕食食餌模型中考慮恐懼效應是有實際意義的。