具有Holling IV功能性反應和非線性收獲的隨機捕食-食餌模型

葉 蔥，魏春金，張樹文

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

長期以來，在種群動力系統中，捕食與食餌模型是許多學者一個重要的研究方向，在此方面也取得了大量豐富的成果[1-5]。文獻[6]提出了模型

(1)

其中：x(t)、y(t)分別表示食餌和捕食者在t時刻的種群密度；a1>0、a2>0分別表示食餌和捕食者的內稟增長率；b>0表示食餌種群的密度制約系數；f1y(t)/(c1+nx(t)+x2(t))為Holling IV功能反應函數；f2y(t)/(c2+x(t))表示具有Leslies形式的捕食者數量反應。近年來，學者們開始關注收獲對捕食-食餌系統動力學的影響，并完成了大量的工作。在捕食-食餌系統的動力學中，收獲函數起到了非常關鍵的作用。文獻[7]提出了常數收獲、比例收獲、非線性收獲3種類型的收獲功能，其中非線性收獲比常數收獲和比例收獲更具有現實性。然而，在現實世界中，隨機干擾是處處存在的，種群在環境中會受到各種隨機干擾的影響[8-10]。因此，與確定性模型相比，隨機模型更具有真實性。受文獻[11]的啟發，本文在模型(1)的基礎上獲得隨機模型

(2)

另一方面，周期現象在實際的生態系統中是普遍存在的，因為種群中的個體受生命周期、季節變化以及晝夜更替等影響，該物種的出生率、死亡率和其他參數都呈現出周期變化[12]。因此，考慮周期因素對相應的動力學系統行為的影響顯得尤為重要。所以，相應系統(2)的非自治系統為

(3)

其中：a1(t)、b(t)、f1(t)、c1(t)、n(t)、p1(t)、m1(t)、σ1(t)、a2(t)、f2(t)、c2(t)、p2(t)、m2(t)、σ2(t)均為正的、有界的、連續的正w周期函數。

1 預備知識

隨機微積分方程

dx(t)=f(x(t)，t)dt+g(x(t)，t)dB(t)

(4)

的解記作x(t)=(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))(t≥0)，其中f∈L1(Rn×R+，Rn)，g∈L2(Rn×R+，Rn×m)，B(t)是n維布朗運動。

定理1[13](存在唯一性定理) 假設f(x(t)，t)和g(x(t)，t)關于x(t)滿足下列條件：1)局部Lipschitz條件，存在ck>0(k=1，2，…)，使得?x，y∈Rn且|x|∨|y|≤k，有不等式|f(x，t)-f(y，t)|∨|g(x，t)-g(y，t)|≤ck|x-y|成立；2)線性增長條件，存在c>0，使得|f(x，t)|∨|g(x，t)|≤c|1+|x||，?(x，t)∈Rn×R+，則初始條件為x(0)=x0∈Rn的系統(4)存在唯一連續的局部解x(t)(t∈[0，τe))，τe是爆破時間。

定理2[13](It公式) 設x(t)(t≥0)是It過程，其隨機微分為dx(t)=f(t)dt+g(t)dB(t)，其中，f∈L1(R+，Rn)，g∈L2(R+，Rn×m)。若V(x(t)，t)∈C2，1(Rn×R+；R)，則V(x(t)，t)仍然是It過程，具有隨機微分dV(x(t)，t)=Vt(x(t)，t)dt+Vx(x(t)，t)dx(t)+dxT(t)Vxx(x(t)，t)dx(t)/2。

為了驗證性質2成立，只要證明存在非負的C2-函數及鄰域U，使得對于任意的X∈ElU，LV(X)是負的。

下面考慮方程

(5)

假設方程(5)的系數b(s，X(s))、σr(s，X(s))(r=1，2，…，k)滿足條件

(6)

(7)

其中：B是一個常數。

2 主要結果及其證明

證明首先考慮方程

(8)

令k0>0足夠大，使得(x(t)，y(t))∈[1/k0，k0]×[1/k0，k0]，對于任意的正數k≥k0，定義一個停時序列τk=inf{t∈[0，τe)：x(t)(1/k，k)或y(t)(1/k，k)}。

通過不等式y≤2(y-1-lny)+ln 4≤2V(x，y)+ln 4，可得LV(x，y)≤N1+(a2+f2/c2+f1/c1)ln 4+2(a2+f2/c2+f1/c1)V(x，y)≤N2(1+V(x，y))，其中，N2=max{N1+(a2+f2/c2+f1/c1)ln 4，2(a2+f2/c2+f1/c1)}，所以有

dV(x，y)≤N2(1+V(x，y))dt+(x-1)σ1x/(1+m1x)dB1+(y-1)σ2x/(1+m2x)dB2。

(9)

對式(9)從0到τk∧T1進行積分可得

通過Gronwall不等式，得EV[x(τk∧T1)，y(τk∧T1)]≤(V[x(0)，y(0)]+N2T)eN2T。

后續證明與文獻[19]類似，在此省略。

證明首先考慮方程

接下來，考慮食餌種群x(t)。應用It公式可得

定義一個Lyapunov函數lnx，通過It公式得，又因為f1y/(c1+nx+x2)=y/(c1/f1+n/f1+x2/f1)。比較c1/f1+n/f1+x2/f1與c2+x的大小，c1/f1+n/f1+x2/f1-(c2+x)=(x2+(n-f1)x+c1-f1c2)/f1，所以Δ=(n-f1)2-4(c1-f1c2)。

(10)

證明i)定義Lyapunov函數lnx，由It公式得，對上述不等式兩邊從0到t進行積分，并同時除以t，得即因此，對于任意小的ε>0，存在t0和一個集合Ωε，使得對t>t0和ω∈Ωε，都有P(Ωε)≥1-ε和x(t)/(c2+x(t))≤ε成立。由等式dy=y[a2-f2y/(c2+x)-p2/(1+m2y)]dt-σ2y/(1+m2y)dB2(t)=y[a2-f2y/c2+f2yx/((c2+x)c2)-p2/(1+m2y)]dt-σ2/(1+m2y)dB2(t)，可得y[a2-f2y/(c2+x)-p2/(1+m2y)]dt-σ2y/(1+m2y)dB2(t)≤dy≤y[a2-f2y/c2+εf2y/c2-p2/(1+m2y)]dt-σ2y/(1+m2y)dB2(t)。

對任意的ε>0，有

dy=y[a2-f2y/(c2+x)-p2/(1+m2y)]dt-σ2y/(1+m2y)dB2(t)。

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

3 數值模擬結果

對于隨機模型(2)，首先取初值x=0.1，y=0.2。選擇適當參數：a1=0.4，b=0.1，m1=1/6，m2=1/6，f1=0.1，a2=0.4，f2=1.1，c2=5，c1=4，n=1，p1=0.6，p2=0.6，σ1=0.2，σ2=0.2。通過計算，顯然滿足定理5的條件ii)。由圖3可以看出，食餌x與捕食者y均滅絕，說明過度捕獲將導致種群減少。

對于隨機模型(3)，首先取初值x=0.1，y=0.2。選擇適當參數：a1=0.4+0.02sin(πt/5)，b=0.1+0.02sin(πt/5)，m1=1+0.02sin(πt/5)，m2=1+0.02sin(πt/5)，f1=0.1+0.02sin(πt/5)，a2=0.4+0.02sin(πt/5)，f2=1.1+0.02sin(πt/5)，c2=5+0.02sin(πt/5)，c1=4+0.02sin(πt/5)，n=1+0.02sin(πt/5)，p1=0.06+0.02sin(πt/5)，p2=0.06+0.02sin(πt/5)，σ1=0.01+0.001sin(πt/5)，σ2=0.01+0.001sin(πt/5)，顯然符合定理7的ξ1>0、ξ2>0條件。由定理7可以看出，系統(3)至少存在一個周期解，這意味著捕食者和食餌種群將長期共存并表現出周期性。由圖4和圖5可以看出，對于任何正的初始值，確定性模型的解將在一段時間后進入周期軌道，而當噪聲強度較小時，隨機模型(3)的解會在周期軌道的小范圍內振動。

模擬結果說明，環境噪聲強度和可捕獲性對隨機捕食-食餌模型有重要的影響。

4 結論

本文研究了具有Holling IV功能性反應和非線性收獲的隨機捕食-食餌系統。證明了對于任意給定的初始值，系統(2)都存在唯一的全局正解；得到了系統(2)的平均持續生存與滅絕的充分條件。此外，在滿足一定條件下，使用Has’minskii的平穩分布理論及周期性理論，得到了系統(2)存在唯一的平穩分布且具有遍歷性，并獲得了系統(3)存在非平凡的正周期解。