具變系數和弱阻尼的非局部高階波方程的長時間動力學行為

呂鵬輝，余莎莎，林國廣

(1.蘇州大學應用技術學院，江蘇 蘇州 215325；2.蘇州工業園區星洋學校，江蘇 蘇州 215127；3.云南大學數學與統計學院，云南 昆明 650500)

0 引言

設Ω?RN是具有光滑邊界的有界區域，本文主要研究Ω上具有變系數和弱阻尼非局部高階波方程的漸近行為，即

(1)

波動方程通常描述弦的振動規律或者波的運動規律，弦的振動和波的運動通常伴隨著阻尼和外力，阻尼通常來自于物體內摩擦或者介質摩擦。梁方程作為一類特殊的波動方程，主要描述梁的偏轉和實用負載關系，該方程與基礎建設如房屋、橋梁、公路、鐵路等息息相關。Woinowsky-Krieger[1]于1950年研究了一維問題下梁的振動問題，建立了模型

(2)

式(2)中的非線性部分表示梁的延伸效應。在Ω?RN下，式(2)的一般形式為

(3)

近年來，人們致力于式(3)的可展梁或板方程的研究，也得到了該類問題的許多重要結果。Lin等[2]研究了具阻尼項的廣義非線性Kirchhoff-Boussinesq方程的整體動力學，得到了該類方程的整體吸引子和指數吸引子；Feng等[3]研究了一類具強阻尼非線性非自治可延伸板方程解的長時間動力學，在初始條件、非線性項和外力項的適當條件下，證明了問題整體解的存在性，并且得到了一致吸引子的存在。更多有關梁板方程的研究可見文獻[4-6]。

變系數a(x)表示空間坐標x處的波速，它出現在海洋聲學、數學物理等許多領域的波動現象中，因此，研究具變系數的波方程的相關性質具有重要的現實意義。許多學者也研究了具變系數的波動方程的長時間動力學行為，如：Limaco等[7]研究了具有變系數Kirchhoff方程在非線性內阻尼作用下初邊值問題強解的整體唯一性及總能量的指數衰減性；Karachalios等[8]研究了半線性雙曲方程utt+δut-φ(x)Δu+λf(u)=η(x)的柯西問題，它克服了無界域中算子非緊性帶來的困難，并且得到了解的局部存在性和整體吸引子的存在性。更多有關具變系數的波方程研究可見文獻[9-11]。

隨著研究的深入，學者開始研究高階波動方程的長時間動力學行為。Messaoudia等[12]研究了具有Dirichlet邊界條件的多維高階Kirchhoff方程，估計了正初始能量下解爆破。林國廣等[13]研究了一類非線性非局部且具強阻尼項的高階Kirchhoff方程的初邊值問題，得到了該類高階方程的整體解的存在唯一性。更多關于高階Kirchhoff方程的相關研究可見文獻[14-16]。

目前，對于具變系數的高階波方程的漸近行為研究較少，主要遇到的困難是在求解問題時，變系數的處理方式不同。當a(x)是正常數時，作為ut的阻尼系數，此時在做內積過程時，可直接提到內積外面；當a(x)是變系數函數時，a(x)ut與(-Δ)kv(k=1，2，…，2m)做內積，將不能直接把a(x)提出，此時如何處理變系數將成為得到漸近緊的關鍵。本文運用合理的假設和萊布尼茲公式，靈活處理了變系數帶來的耗散估計問題，克服了變系數帶來的困難，進而得到有界吸收集和漸近緊性，最后得到問題的整體吸引子族。

1 預備知識

本節主要給出動力系統和整體吸引子(族)的相關理論。

定義1[13]設X是完備度量空間，S(t)：X→X(t∈R+)是連續算子族，若對任意s，t∈R+，S(t)滿足S(0)=I、S(t+s)=S(t)S(s)，則稱{S(t)}t≥0是X上的算子半群，(S(t)，X)構成連續動力系統，X稱為該動力系統的相空間。

2 整體解的存在性

(4)

ug(x，u)-β2G(x，u)≥Φ2(x)，Φ2∈L1(Ω)，

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

設ε>0足夠小，且滿足

(10)

引理3 設條件(H)成立，M滿足條件(M)，f∈H，式(4)～式(8)成立，(u，u1)∈X0，由問題(1)確定的(u，v)滿足

證明將v與方程組(1)在L2(Ω)中作內積，得

(11)

分別處理式(11)中各項得

ε(a(x)u，v)=ε(a(x)u，ut+εu)=(ε/2)d(a(x)u，u)/dt+ε2(a(x)u，u)，

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

將式(12)～式(17)代入式(11)中，得到

(18)

根據假設(H)、(M)和式(5)，得

(19)

(20)

(21)

由式(10)及式(19)～式(21)，取σ1=min{7a00/4-2ε，ε，2εβ2}，則式(18)化為

(22)

證明將(-Δ)kv(k=1，2，…，2m)與方程組(1)在L2(Ω)中做內積，得

(23)

分別處理式(23)各項得

(24)

(25)

(26)

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(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

結合式(23)～式(32)得到

(33)

引理5(整體解的存在唯一性) 在引理3、引理4假設條件下，(u，u1)∈Xk，k=0，1，…，2m，則初邊值問題(1)存在唯一的整體解(u，v)∈L∞([0，+∞)；Xk)。

證明1)解的存在性。利用Galerkin方法證明整體解的存在性。

(34)

確定，滿足初始條件un(0)=un0，unt(0)=un1。當n→+∞時，在Xk中(un0，un1)→(u0，u1)，由常微分方程的基本理論可知，近似解un(t)在(0，tn)存在。

第三步，極限過程。在Xk(k=0，1，…，2m)空間中，從序列un中選取子列，任用un表示，則

(un，vn)→(u，v)

(35)

(36)

類似于引理3、引理4處理方法，得

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

其中，ξ2=θu1+(1-θ)u2，θ∈(0，1)。

(42)

(43)

3 整體吸引子族的存在性