單元起始課教學要注意“虛實結合”

徐國紅

摘? 要：數學教學要重視單元起始課教學，給學生宏觀的指引和整體的印象，將學生帶進單元學習的大門。以《對稱圖形——圓》一章為例，說明單元起始課教學要注意“虛實結合”：幫助學生構建學習路徑，窺探學習內容，了解“學什么”的順序；引導學生明確核心概念，初探根本性質，體會“怎么學”的方法。

關鍵詞：初中數學；單元起始課；《對稱圖形——圓》

《義務教育數學課程標準（2022年版）》確立了核心素養導向的課程目標，為此，強調教學內容的結構化。［1］因此，教師需要重視單元（包括教材編排的章節和教師根據內在的關聯跨越教材章節整合的“知識塊”）整體教學。對此，尤其要關注單元起始課教學，給學生宏觀的指引和整體的印象，將學生帶進單元學習的大門。在教學中，筆者體會到單元起始課教學要注意“虛實結合”。下面，以蘇科版初中數學九年級上冊第2章《對稱圖形——圓》為例來說明。

一、“虛”：構建學習路徑，窺探學習內容，了解“學什么”的順序

為了給學生宏觀的指引和整體的印象，單元起始課教學要幫助學生構建單元學習路徑（包括起源背景），窺探單元學習內容（包括相互關聯），讓學生了解“學什么”的順序。這就是單元起始課教學的“虛”：不具體研究某個“知識點”。它可以讓學生在后續的單元學習中有目標、有動力，也有助于學生初步體會單元學習的一般觀念。

相比于小學數學課程，初中數學課程的安排進一步體現了近代數學發展基礎的抽象結構思想：不僅要知道研究對象是什么，更重要的是知道研究對象的性質是什么、關系是什么、運算是如何開展的。［2］聚焦到“圖形與幾何”領域，研究對象除了主要作為圖形要素存在的點、線、面、角之外，主要是幾個基本的平面封閉圖形，包括直邊圖形三角形（包括特殊的等腰三角形、直角三角形等）、四邊形（包括特殊的平行四邊形、梯形以及更特殊的矩形、菱形、正方形）和曲邊圖形圓。具體到“圓”這部分內容，小學階段，學生從生活事物中抽象出圓這種圖形，進而學會用圓規畫圓，同時知道了圓心、半徑、直徑、扇形、弧、圓心角等相關概念，但是沒有給圓下定義；然后，通過測量、歸納的方法認識了圓周率，知道了圓的周長公式；通過剪拼將圓轉化為近似的平行四邊形，借助極限思想，探索出圓的面積公式。

因此，《對稱圖形——圓》一章的起始課教學可以基于抽象結構思想，類比初中學習的三角形、四邊形有關內容，順承小學學習的圓的有關內容，引導學生構建學習路徑，窺探學習內容。初中學習“圓”，首先要發現圓的本質特征，給圓下一個定義。其次要進一步研究圓的“性質”（包括“判定”，常表現為“關系”）?？紤]到圓既是更為復雜的曲邊圖形，也和較為簡單的直邊圖形有著豐富的聯系。于是，既要研究圓和點的位置關系、圓之間的位置關系和大小關系、圓中弧的位置關系和大小關系，也要研究圓和直線的位置關系、圓中線段的大小關系、圓和角的位置關系、圓中角的大小關系，可能還要研究圓中弧、線段和角的關系，以及圓與三角形、四邊形乃至多邊形的關系，特別是研究其中的一些特殊情況（比如位置關系、大小關系的特殊情況以及與特殊的三角形、四邊形乃至多邊形的關系）。由此，學生不僅能初步了解本章“學什么”的順序，而且能初步體會“先研究概念，再研究性質等，最后開展應用”和“從點、線、角等要素以及與其他圖形關系的角度研究平面圖形”等作為學習路徑的一般觀念。

二、“實”：明確核心概念，初探根本性質，體會“怎么學”的方法

單元起始課教學出于目標定位的考慮，受到課堂時間的限制，不太需要關注微觀的學習方法和局部的學習內容。但是，如果只關注宏觀的學習路徑和整體的學習內容，則容易使課堂教學流于虛空。因此，還應重點關注單元基礎的學習內容和貫穿的學習方法，引導學生在明確核心概念、初探根本性質的過程中體會“怎么學”的方法，從而更好地將學生帶進單元學習的大門。這樣，可以讓學生在后續的單元學習中有抓手、有策略，同樣有助于學生初步體會單元學習的一般觀念。

顯然，《對稱圖形——圓》一章的核心概念是圓。學生在小學學會了用圓規畫圓。這時，圓的本質特征其實已經呼之欲出，只是考慮到小學生的抽象概括能力還比較弱，也缺乏用準確嚴謹的數學語言來表達的能力，所以暫時不讓學生給圓下定義。到了初中，隨著學生年齡的增長以及更具有抽象性和邏輯性的數學知識的學習和交流，在《對稱圖形——圓》一章的起始課中，教師可以引導學生回憶用圓規畫圓的過程，抽象概括出圓的本質特征——圓上的點到圓心的距離等于半徑，從而用準確嚴謹的數學語言給圓下一個定義。為了幫助學生更好地發現（理解）圓的本質特征，教師可以讓學生同桌合作完成以下數學實驗探究：（1） 一位同學在白紙上畫一個半徑為3 cm的圓，記作“⊙O”；（2） 另一位同學在⊙O所在的白紙上任意畫3個點，記為“點A、點B、點C”；（3）兩位同學共同判斷所取的3個點與⊙O有怎樣的位置關系，并思考判斷的依據。在此基礎上，教師可以引導學生進一步思考如何判斷圓所在平面內任意一點和圓的位置關系——

師? （在黑板上畫一個圓和一個明顯在圓外的點）這個點和圓有什么位置關系？

生? 在圓外面。

師? 你是怎么知道的？

生? 看到的。

師? 很好！借助直觀是研究圖形的一個重要方法。（再畫一個和圓貼得很緊的點）這個點和圓有什么位置關系？

生? 感覺點在圓外。

生? 不那么容易確定。

師? 這說明我們的直觀感知不夠準確嚴謹，那么，我們怎么來判斷點和圓的位置關系呢？或者說，我們怎么給圓下定義呢？

由此，教師便可以引導學生通過“到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的集合”給圓下定義，通過點到圓心的距離與半徑的關系判斷點和圓的位置關系，并聯系之前學習的三角形、四邊形有關內容，進一步體會到“以數助形、定量刻畫”“實驗探索、邏輯推理”是研究平面圖形的重要方法，也是一般觀念。

結合蘇科版教材的編寫，不難發現，圓的根本性質是對稱性，包括中心對稱性（更一般地看，是旋轉不變性）、軸對稱性。在《對稱圖形——圓》一章的起始課中，教師可以給學生發放圓形紙片，讓學生在圓周上任取兩點，通過旋轉使一點移動到另一點原來的位置，通過對折使兩點重合，從而發現圓繞圓心旋轉任意角度后都能和原來的圖形重合，圓關于任意一條直徑對稱，即發現圓的旋轉不變性和軸對稱性。在此基礎上，通過增加點、連成線后旋轉，初步感受“同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等”的結論；通過連成線后的對折，初步感受“垂直于弦的直徑平分弦，也平分弦所對的兩條弧”和“平分不是直徑的弦的直徑垂直于弦，并平分弦所對的兩條弧”的結論（垂徑定理）——對這兩個結論，只需要初步感受、大致表達，不需要嚴格證明、精確闡述。由此，教師便可以引導學生初步體會到“化曲為直”（化弧為弦、角）這種轉化方法可能是研究圓（突破其“曲邊”難點）的重要方法，也是一般觀念。

在此基礎上，教師還可以引導學生思考：我們在小學是通過測量、歸納的方法實驗得到圓的周長公式的，卻通過“化曲為直”（將圓剪拼近似為平行四邊形）的方法推導得到圓的面積公式，那么，也能通過“化曲為直”的方法推導得到圓的周長公式嗎？對此，可能有學生在小學通過拓展閱讀材料（如蘇教版教材中的《你知道嗎》欄目）初步了解我國古代數學家劉徽曾經采用的“割圓術”的求解思路：把圓周等分成若干段，近似看作線段求長度和，具體從六等分開始不斷加倍，逐步逼近準確值?；诖?，教師可以進一步介紹“割圓術”的求解關鍵：如圖1，利用垂徑定理和勾股定理，找到分加倍前后線段長度關系的遞推公式。［3］

由此，學生可以進一步體會到“化曲為直”的轉化方法常常和“無限逼近”的極限方法一起使用，從而不僅為本章后續學習“圓與正多邊形”（理解其必要性）做好鋪墊，而且為高中學習“球的表面積公式和體積公式”做好鋪墊，乃至為高中或大學學習“定積分”做好鋪墊；同時，初步體會到垂徑定理處理圓問題的價值，以及遞推方法（數學歸納法思想）處理無限問題的作用。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：23.

［2］史寧中.數學課程標準修訂與核心素養［J］.教育研究與評論，2022（5）：24.

［3］孫四周.還原祖沖之——我是如何在中學講割圓術的［J］.教育研究與評論，2016（6）：6466.