VAR模型中的異常值處理及應用

位雪麗

(河南財經政法大學經濟學院,鄭州 450046)

0 引 言

新冠疫情暴發導致各國經濟增長均經歷了斷崖式下跌,隨著經濟逐漸恢復,各國經濟指標又出現跳躍式上漲,最終導致疫情發生以來各種經濟指標均出現大幅波動,加劇了時間序列數據的不平穩,給模型估計帶來挑戰。直接去掉極端觀測值會導致數據不連續和低估經濟波動,而直接將其當作正常值使用又可能會扭曲參數估計結果,因此研究經濟變量之間關系時必須選擇適當方法處理極端觀測值。另外,使用貝葉斯方法估計VAR模型時主觀設定模型參數的先驗分布可能會影響參數的后驗估計值。本文基于分層建模思想對模型參數先驗分布中的參數設定分布范圍,對極端觀測值對應的方差進行建模,以區分不同程度的沖擊,一定程度上降低了主觀選擇對先驗分布的影響,使研究結論更有參考價值。

1 文獻綜述

新冠疫情發生以來,大量學者使用VAR模型研究疫情沖擊下經濟變量之間的關系[1],部分學者直接將疫情防控期間的樣本觀測值當作正常值對待。例如,劉達禹等通過構建TVP-VAR模型來研究疫情暴發背景下政策不確定性沖擊對我國三次產業的非均衡影響[2]。李能麗和王林使用VAR模型研究了新冠疫情發生以來美國、歐元區、日本的不限量資產購買、零利率等極度寬松的貨幣政策對我國工業經濟的影響[3]。也有部分學者在采樣時直接舍棄疫情防控期間的數據。例如王振中等使用2002年1月至2019年12月的數據研究中國居民消費價格指數的動態結構[4]。肖強和汪盧俊使用2004年1月到2018年12月的數據構造中國的FCI指數[5]。梁永玉和田茂再使用2009—2018年的面板數據研究我國東、中、西部以及各省份經濟高質量發展的時空特征[6]。為了提高研究結論的現實借鑒價值,需要將疫情防控期間的樣本數據納入研究范圍,并對其進行特殊處理。

在模型參數的估計方面,鑒于貝葉斯估計可以同時利用參數的先驗信息和變量的樣本數據信息,在使用VAR模型進行實證研究過程中應用貝葉斯方法估計模型者較多。使用貝葉斯方法涉及模型參數的先驗選擇,參數的先驗分布總體上有兩類:第一類是無信息先驗,比如均勻分布,對于一定區間內的參數可能值沒有傾向性;第二類是信息先驗,是一種帶有先驗信念的主觀先驗,常用的有Gamma分布、Wishart分布和Beta分布等。而先驗分布中依然有相應參數需要設定,為了降低主觀信念對參數估計值的影響,很多研究對先驗分布中的參數進一步設定先驗分布,即分層建模。這種分層建模方式可以減少先驗設置中主觀選擇的參數數量,弱化對參數估計結果的影響,并且模型包含的變量越多,分層模型的預測性能越好。

新冠疫情發生以來經濟指標大幅波動對VAR模型的估計構成了挑戰。當進行模型統計推斷時,這些極端觀測值是否會扭曲模型的參數估計值?另外,由于疫情防控期間的數據將“污染”疫情之后的時間序列觀測值,因此本研究對于未來使用完整觀測數據做研究也很重要。本文基于分層建模思想對先驗分布中的參數進一步設定先驗分布,同時對疫情防控期間的沖擊波動率進行單獨設定,通過模擬疫情發生以來沖擊波動率的變化來解釋疫情帶來的巨大宏觀經濟沖擊。結合超參數估計、脈沖響應和密度預測可以看出,本文的處理方法更具合理性。

2 模型構建

本文主要論述在估計VAR模型時如何處理極端觀測值,并重點關注受新冠疫情沖擊后模型的估計。這里主要思考3個問題:第一,是否應該將疫情防控期間的極端沖擊視為常規沖擊;第二,極端沖擊是否會扭曲模型的參數估計;第三,是否應該舍棄疫情防控期間的極端數據。由于疫情防控期間的數據會影響未來的時間序列觀測值,而直接舍棄這種極端觀測值低估了不確定性,因此舍棄后可能不利于對未來經濟的預測。本文試圖通過模擬沖擊波動率的變化,刻畫疫情防控期間異常大的經濟不確定沖擊。由于知道疫情導致經濟不確定沖擊增加的確切時間,因此可以對這些波動性變化進行建模,并通過貝葉斯方法來估計,以達到調整經濟不確定性沖擊規模的目的。Carriero等將沖擊波動性設定為獨立同分布過程[7],本文分階段設定沖擊規模,并將極端沖擊后的波動設定為自相關過程,以刻畫極端沖擊后的波動衰退過程,這種設定也適用于波動性影響具有不對稱性的情況。VAR模型設定如式(1)所示。

yt=C+B1yt-1+…+Bpyt-p+stεt,εt～N(0,∑)

(1)

其中,C是截距項向量,B1,…,Bp是系數矩陣,yt是n×1維的內生變量向量,εt是n×1維的簡化沖擊向量,st是用于調整極端沖擊規模的殘差協方差矩陣,stεt為模型的結構性沖擊。假定極端沖擊發生在t*時刻,在極端沖擊開始之前st=1,在極端沖擊開始后,根據實際觀測數據設定相應預測誤差的方差,st*=s(-)0,st*+1=s(-)1,st*+2=s(-)2,在此之后極端沖擊以固定速度ρ衰減,st*+j=1+(s(-)2-1)ρj-2,其中θ≡[s(-)0,s(-)1,s(-)2,ρ]均是未知參數。在模型估計時常將上述VAR模型寫成其一階伴隨形式,見式(2)。

Yt=Xtβ+stεt

(2)

(3)

3 模型參數與超參數的先驗設定

對于上述簡化模型,首先設定參數的先驗分布?？紤]到方差的非負性,這里將簡化沖擊的方差協方差矩陣設定為逆威沙特分布,并將模型系數向量的條件分布設為正態分布。

∑～IW(Ψ,d)

(4)

β∣∑～N(b,∑?Ω)

(5)

本文將參數ψ、d、b、Ω均設定為超參數λ的函數,通過設定λ的取值即可確定參數ψ、d、b、Ω的分布,進而確定模型參數β和∑的先驗分布,即分層建模。Giannone等提出了一種沒有st的簡化模型的估計方法[8],但在實際研究中,st通常未知,決定st演化過程的超參數γ和θ的聯合后驗分布見式(6)。

p(λ,θ∣y)∝p(y∣λ,θ)×p(λ,θ)

(6)

其中,y≡[yp+1,…,yt]′是樣本觀測數據,p(λ,θ|y)和p(y|λ,θ)×p(λ,θ)成比例關系。p(λ,θ)是超參數的聯合先驗分布,p(y|λ,θ)是模型的邊際似然函數,則有:

(7)

其中,p(β,∑|γ)是超參數λ已知的條件下模型參數的聯合分布。最后參考Giannone等的做法,將疫情沖擊s(-)0、s(-)1、s(-)2的先驗分布設為尺度參數和形狀參數均為1的Pareto分布,將ρ的先驗分布設為參數為0.8和0.2的beta分布。

4 數據來源及說明

本文共選擇7個宏觀經濟變量:規模以上工業增加值累計同比增速(indus),從供給面反映經濟增長狀況;固定資產投資(不含農戶)累計同比增速(inves),從需求面的投資上反映經濟增長狀況;社會消費品零售總額當期同比增速(retail),從需求面的消費上反映經濟增長狀況;進出口總額(美元)當期同比增速(trade),從需求面的進出口上反映經濟增長狀況;居民消費價格指數(上年同月=100)(cpi),用于反映通貨膨脹狀況;貨幣和準貨幣(m2)期末同比增速,從貨幣供應量上反映整體流動性;銀行間隔夜同業拆借加權平均利率(shibor),通過短期拆借利率反映整體流動性。樣本區間為2000年1月至2021年12月,共計264個樣本點,數據來源于中經網統計數據庫。對于上述指標中存在的個別缺失值,本文使用線性擬合法進行補充。

5 后疫情時期VAR模型的實證分析

結合超參數的后驗分布來驗證舍棄疫情防控期間的樣本數據和直接將其當作正常值對待時,決定模型先驗分布的超參數γ的分布情況,以此來證明Covid波動率設定的合理性,并進一步結合Covid波動率分布展示疫情暴發后沖擊波動率的變動趨勢。同時結合脈沖響應和密度預測,在實際應用中驗證Covid波動率設定的現實意義。

5.1 超參數的后驗分布

本文通過估計得到模型中超參數λ及θ≡[s(-)0,s(-)1,s(-)2,ρ]的后驗分布(篇幅所限,結果備索)。其中超參數λ決定了模型參數的收縮程度,當只使用2019年12月及其之前的樣本數據(不考慮疫情沖擊的影響)估計模型得到的λ的后驗分布,類似于Covid波動率(對疫情防控期間的極端沖擊做特殊處理)下使用全樣本數據估計得到的λ的后驗分布,但是與固定波動率(不對極端沖擊做特殊處理)下使用全樣本數據估計得到的λ的后驗分布差異較大,一定程度上說明本文對極端沖擊情況處理方法的合理性。將疫情防控時期的觀測值納入估計樣本,并將其當作常規數據來對待時,λ的分布向右偏移,這意味著模型參數的先驗分布范圍更廣,這也是不考慮極端觀測值所付出的代價。

使用全樣本數據估計模型時使用的Covid波動率考慮了疫情開始時對經濟造成的巨大沖擊,這種影響會隨著人們對該病毒的了解而降低,當人們從心理上不再恐懼時,即便同等程度的沖擊,對經濟造成的影響程度也不一樣。后驗分布中,s(-)0、s(-)1、s(-)2的后驗峰值分別在2.7、1和3.8左右,表明2020年2月疫情剛發生時對經濟的沖擊大約是疫情前的2.7倍。隨著封控政策頒布,疫情逐步趨于穩定,沖擊標準差也逐漸降低,與疫情發生前基本持平。但隨著越來越多的城市實施封控政策,疫情沖擊程度也大幅上升,大約是疫情前的3.8倍。在此之后,疫情沖擊以速度ρ進行衰減,ρ的后驗峰值略低于0.95,表明自2020年5月以來沖擊波動率每月大約下降5%。因此,直接將樣本期間的沖擊波動率設為固定值可能導致低估疫情帶來的沖擊,在分析經濟變量之間的關系時將出現偏差,甚至得出錯誤的結論。

5.2 固定波動率下全樣本數據的脈沖響應

圖1是使用全樣本數據估計模型但不對疫情沖擊做特殊處理,并假定規模以上工業增加值累計同比增速上升1%得到的所有變量的脈沖反應及68%和95%的置信區間。不對疫情沖擊做特殊處理相當于將疫情沖擊期間的異常觀測值看作正常觀測值,理論上會影響模型的參數估計值,并最終影響脈沖響應結果。具體來看,規模以上工業增加值累計同比增速(indus)上升,這對于經濟增長來說是正向沖擊,反映出經濟狀況較好,經濟增長明顯。此時的固定資產投資(不含農戶)累計同比增速(inves)、社會消費品零售總額當期同比增速(retail)、進出口總額(美元)當期同比增速(trade)和居民消費價格指數(cpi)均有上升,但上升幅度較小,反應的波動性也很小。面對經濟的過快發展,貨幣和準貨幣(m2)期末同比增速下降,銀行間隔夜同業拆借加權平均利率(shibor)上升,使得整體流動性下降。整體來看,系統內各個內生變量的反應具有一定合理性,但是由于圖1使用全樣本數據,并且未對疫情防控期間的數據做特殊處理,即假定為固定波動率,未考慮疫情帶來的巨大沖擊,導致整體反應較小,并且波動不明顯。

圖1 基于固定波動率下的全樣本數據得到的脈沖響應圖

5.3 固定波動率下部分樣本數據的脈沖響應

圖2是使用截至2019年12月的樣本數據估計模型但不對疫情沖擊做特殊處理,并假定規模以上工業增加值累計同比增速上升1%得到的所有變量的脈沖反應及68%和95%的置信區間。從中可以看出規模以上工業增加值累計同比增速(indus)上升,反映出經濟狀況較好,這種經濟增長會在一年左右恢復至初始水平。從需求側來看,固定資產投資(不含農戶)累計同比增速(inves)會立即下降,然后逐漸恢復至初始水平,通常經濟狀況較好時固定資產投資也趨于上升,因此,這種不同于工業增加值變動的反向變化具有不合理性;從消費方面來看,社會消費品零售總額當期同比增速(retail)和進出口總額(美元)當期同比增速(trade)快速上升,隨后很快恢復至初始水平,說明工業增加值的上升僅帶來消費端的短期上升,由此帶來的用居民消費價格指數(cpi)表示的通貨膨脹上升也持續較短時間;從貨幣和準貨幣(m2)期末同比增速和銀行間隔夜同業拆借加權平均利率(shibor)來看,工業增加值上升對整體流動性的影響也僅具有短期效應,但是二者反應的方向不盡合理,在經濟狀況較好時m2應該趨于下降而shibor趨于上升,圖2的反應方向則相反。綜上所述,由于圖2直接忽略了疫情防控期間的樣本數據,因此得到了不合理的脈沖響應圖。

圖2 基于固定波動率下的部分樣本數據得到的脈沖響應圖

5.4 Covid波動率下全樣本數據脈沖響應

圖3使用全樣本數據估計模型,同時對疫情沖擊的數據做特殊處理,并假定規模以上工業增加值累計同比增速上升1%得到的所有變量的脈沖反應及68%和95%的置信區間。在Covid波動率下,當工業增加值累計同比增速上漲一個百分點,反映出在經濟狀況較好的條件下,固定資產投資(不含農戶)累計同比增速(inves)也上升,同時,社會消費品零售總額當期同比增速(retail)和進出口總額(美元)當期同比增速(trade)均上升。無論是供給側還是需求側均發展良好,反映在居民消費價格指數(cpi)上是有一定程度的通脹上升。在經濟過熱情況下,國家調控的結果就是整體流動性下降,因此貨幣和準貨幣(m2)期末同比增速下降,銀行間隔夜同業拆借加權平均利率(shibor)上升,符合經濟邏輯。通過圖1、圖2與圖3的比較可以看出,本文對疫情防控期間異常沖擊的處理,可以得到更加合理的脈沖響應圖,也證明了本文方法的適用性。

圖3 基于Covid波動率下的全樣本數據得到的脈沖響應圖

5.5 預測效果比較

使用截至2021年12月的數據分別估計Covid波動率模型和固定波動率模型。借助情景分析法,在工業增加值累計同比增速遵循頂部既定變化路徑的條件下,分別基于兩種模型對其余變量的變化趨勢進行預測,得到2022年以來的后驗中位數預測值及其68%和95%的置信區間(限于篇幅,結果備索)。通過對比分析發現,Covid波動率下的密度預測包含了更高的沖擊方差,意味著疫情對我國經濟未來前景的影響有更大程度的不確定性;而固定波動率下的密度預測區間相對更窄,究其原因是在模型估計過程中設置固定波動率而壓低了波動程度。因此,在新冠疫情帶來的不確定性增大背景下,Covid波動率下的密度預測是合理的。

基于上述研究發現,新冠疫情暴發導致變量出現異常觀測值,在進行建模分析時直接刪除這些異常觀測值可能導致模型參數估計值偏誤增加;而將疫情防控期間的異常觀測值當作正常數據來對待同樣不合適。本文通過分層建模方法擬合疫情防控期間的異常沖擊變動趨勢具有現實可行性,也為未來進一步開展經濟問題研究提供了可供借鑒的方法。

6 研究結論與政策啟示

本文基于宏觀經濟分析經常使用的VAR模型分析了異常觀測值處理的必要性和具體方法,結合模型超參數λ及θ≡[s(-)0,s(-)1,s(-)2,ρ]的估計結果也可以看出,疫情發生以來各期的沖擊波動率不一樣且差異較大,直接將樣本期間的沖擊波動率設為固定值是不合理的。

本文通過對疫情防控期間的沖擊波動率進行建模,分析了在工業增加值累計同比增速上升1%時其他宏觀經濟變量的脈沖響應,并對比分析了固定波動率下的脈沖響應結果。研究發現,使用全樣本數據估計模型但不對疫情防控期間的數據做特殊處理時,得到的脈沖響應圖波動不明顯,原因在于低估了不確定性,最終導致不合理的經濟變化趨勢。若直接去掉疫情防控期間的數據且設定為固定波動率,固定資產投資(不含農戶)累計同比增速、貨幣和準貨幣期末同比增速和銀行間隔夜同業拆借加權平均利率會出現不合理符號。而使用全樣本數據的Covid波動率設定下各變量的脈沖響應結果則符合經濟學邏輯。

本文研究背景是新冠疫情暴發導致宏觀經濟變量異常波動,基于分層建模思想提出了針對異常沖擊的建模方法和模型先驗分布中參數的設定方法,降低了人為設定的主觀性對模型參數估計的影響。本文方法也可以應用于其他包含極端觀測值的情況,只要能夠判斷某時期的沖擊波動性突然增加,且與正常時期的演變路徑差異較大,并可能有一定的持續性,都可以使用本文方法,尤其是后疫情時期研究宏觀經濟問題時,更能凸顯本文方法的優勢。