三維激光點云下的不規則三角網法土方計算及精度分析

高金彬,劉建嶺,花向紅,水浩奇

(1.武漢大學測繪學院,湖北 武漢 430079; 2.東營市勘察測繪院,山東 東營 257091)

1 計算土方量

在工程建設過程中,土方量計算是一項不可或缺的基礎性工作。其計算精確與否不僅影響到施工方和建設方的經濟利益分配,也關系著工程施工的質量和工期。常用的土方量計算方法有不規則三角網法、方格網法、斷面法、等高線法、DTM法等,在測繪新技術不斷發展的今天,不規則三角網法越來越受到廣大測量人員的推崇。

在利用不規則三角網法計算土方量時,其精度受多種因素影響,國內外研究也取得了不錯的進展。陶繼峰等[1]就針對點位誤差和高程誤差對土方量精度的影響深入分析,得出了高程精度對土方計算結果影響比坐標精度影響要大很多的結論。朱劍飛等[2]就三角網法計算土方量的“破網”問題進行研究,提出創建一個虛擬的投影組合面并利用該平面進行土方量計算的新方法。王斌等[3]則提出了利用二次曲面進行數字高程模型(digital elevation model,DEM)內插,提高DEM模型精度和土方計算精度。Kerry等[4]在利用三維激光掃描技術(terrestrial laser scanning,TLS)的基礎上基于有限元方法開發了一種算法來創建曲面通過最低的掃描點,以此構建原始地形的不規則三角網模型(triangulated irregular network,TIN)和完成項目的TIN,然后將兩者進行對比計算。Hao等[5]則討論了地形數據精度與土方計算精度之間的關系,并進一步研究了不同地形數據來源的計算方法。

為研究三角網平均邊長和高程中誤差對土方量計算精度的影響,更好地服務于實際工程中場地土方測算。本文將從不規則三角網法計算土方量原理出發,利用三維激光點云數據模擬真實地形,根據誤差傳播定律進行公式推導,構建土方量計算數學模型,并結合具體實驗數據進行土方量精度影響因素詳細分析。

2 不規則三角網法計算土方量精度模型

2.1 土方量計算的數學模型

計算土方的地形表面是復雜多變的,用來擬合地形表面的DEM表面既有連續的,也有不連續的;既有光滑的,也有不光滑的。在由許多個獨立的小三角形組成的不規則格網中,當每一個獨立三角網均可看作上表面為傾斜平面ABC(如圖1所示),下表面為水平面或參考平面的三棱柱時,總土方量即可由有限個獨立三棱柱體積累加而得到。獨立三棱柱體土方量體積計算公式如式(1):

圖1 傾斜平面三角形ABC

V=S(H均-H0)

(1)

式(1)中,S是三角形ABC面積,均為傾斜表面ABC上點的高程平均值,0即場地設計高程。并分別定義A、B、C三點高程為A、B、C。

當00,式(1)計算得到挖方量,填方量為0;

當均>max{A,B,C},全填,則均<0,式(1)計算得到填方量,挖方量為0;

當A<0

V=S1×(H0-H1)+S2×(H2-H0)+S3×(H3-H0)+S4×(H4-H0)

(2)

式(2)中,i為對應三角形高程均值(i=1,2,3,4),Si為對應三角形面積?？紤]到A<0

當A

V=S1×(H0-H1)+S2×(H0-H2)+S3×(H0-H3)+S4×(H4-H0)

(3)

式(3)中,i為對應三角形高程均值(i=1,2,3,4),Si為對應三角形面積?？紤]到A

填方量與挖方量絕對值之和就是總的填挖土方量。

2.2 土方量評價的精度模型

上文介紹了三種情況下土方量計算公式,式(2)和式(3)其本質上是一樣的,而式(1)則是兩者的特殊情況,因此只需對式(2)進行誤差傳播分析即可。

對(2)式進行微分,得到:

△V=S1△H1+S2△H2+S3△H3+S4△H4+△S1(H1-H0)+△S2(H2-H0)+△S3(H3-H0)+△S4(H4-H0)

(4)

對式(4)應用誤差傳播定律可得到:

(5)

當圖2中的D、E兩點沿直線逐漸向A點移動,并最終與A點重合甚至不在三角形內時,就變成了第一種情況。相應地,式(5)就變成為:

(6)

式(6)中mH為均中誤差,ms為面積S中誤差。

下面分別對mH和mS進行求解:

對傾斜平面三角形ABC內任意一點P,由重心插值計算其高程有:

Hp=uHA+vHB+wHC

(7)

式(6)中,u、v、w均為0到1的常數,且u+v+w=1。

則有:

(8)

(9)

將(5)式對u、v、w進行積分,即可得到三角形ABC內所有點的平均方差:

(10)

用平均方差來代替三角形ABC內任一點高程方差,可得:

(11)

為簡化計算,將三角形ABC看作等邊三角形,即AB=AC=BC=l,則有:

(12)

對(12)式應用誤差傳播定律,可得:

(13)

將式(8)、(11)、(13)代入式(6),得到土方量計算精度模型:

(14)

3 實驗精度分析

為研究影響三維激光點云下的不規則三角網法土方計算精度因素,利用地面三維激光掃描儀掃描某場地的三維點云數據,通過構建DTM模擬真實地表得到該場地土方量真值。然后使用不規則三角網法計算土方量,利用控制變量法將三角網平均邊長和高程中誤差作為變量進行誤差精度分析,分析土方量計算精度及其變化規律。

3.1 實驗數據

本次實驗場地位于武漢大學信息學部西門處,該場地原為武漢大學國家網絡安全學院運動場,后因廢棄變成了荒地,地表裸露,植被稀少。整個場地區域周長約 250 m,區域面積約 3 500 m2。最小高程為 -3.226 m,最大高程為 3.566 m。在該場地均勻設置20個站點采集場地點云數據,使用的設備為徠卡RTC360,具體場地采集情況如圖4(a)、(b)所示。

圖4 三維激光掃描采集現場

將采集到的初始點云數據進行點云拼接、分割、去噪、降采樣等處理,得到合適的點云數據。圖5為含有噪聲的點云數據,圖5左側存在著樹木、建筑等非地面點云,將非地面點云剔除并過濾噪聲后得到圖6。圖6點云數據質量較高,可用于下一步三角網構網計算。在CASS9.0軟件中利用圖6中點云數據構建三角網,并構建DTM擬為真實地形計算土方量,將該值作為場地土方量真值。

圖5 處理前點云

圖6 處理后點云

3.2 精度影響分析

為研究高程中誤差和三角網平均邊長對土方計算精度的具體影響,首先將高程中誤差設置為常量,三角網平均邊長作為變量,逐個計算邊長為 1 m、1.5 m、2 m、2.5 m、3 m、3.5 m、4 m、4.5 m、5 m、5.5 m、6.0 m、6.5 m、7.0 m、7.5 m、8 m、8.5 m、9.0 m、9.5 m、10 m時土方計算相對誤差;接著將三角網平均邊長設置為常量,將高程中誤差依次設置為 1 cm、2 cm、3 cm、4 cm、5 cm、7 cm、10 cm、15 cm、20 cm,計算相應土方相對誤差。具體變化情況如表1所示。

表1 土方計算相對誤差

選取表1中的高程中誤差為 1 cm、3 cm、5 cm、7 cm、10 cm、15 cm、20 cm的七列數據,繪圖得到圖7。圖7顯示,隨著三角網平均邊長的增大,土方計算相對誤差呈現出明顯的上升趨勢,圖7曲線也表明三角網平均邊長和土方相對誤差兩者之間存在著高度的正相關性。因此,在實際的土方計算過程中,需要嚴格控制三角網的網格邊長大小。但考慮到邊長的大小直接影響到工作量的大小,因此需要結合場地實際情況和精度要求選擇最佳邊長。例如在本次實驗中,如表1所示,當高程中誤差為 5 cm時,為保證土方計算相對誤差在5%以內,應當控制三角網的平均邊長不超過 6 m。同時為減少工作成本,可將三角網平均邊長設置為 5 m。在實際工程測量中利用三維激光掃描儀進行地面點掃描采集數據時,就必須確保點位高程中誤差控制在 5 cm以內,點云降采樣過程中點云分辨率不得低于 5 m。

圖7 土方計算相對誤差隨邊長變化情況

針對高程中誤差對土方計算相對誤差的影響,利用采集得到的數據,以不同邊長下高程中誤差為 0 cm時為基準,計算高程中誤差變化時相應的土方量計算相對誤差,將計算所得結果繪制成圖,得到如下圖8。圖8分別展示了平均邊長為 1 m、3 m、5 m、7 m、9 m、10 m時隨高程中誤差變化土方量相對誤差的相應變化趨勢。如圖8所示,高程中誤差和土方計算相對誤差兩者間存在著一定的正相關關系,即當高程中誤差增大時,土方相對誤差大體上也會相應增大。但結合圖7和圖8,可以得出結論:相較于邊長變化對土方計算相對誤差產生的影響,高程中誤差變化對土方相對誤差的影響較小,效果不太顯著。在本次土方測量中,當三角網平均邊長為 5 m時,為保證土方計算相對誤差在5%以內,從表1可以得知,只需將高程中誤差控制在厘米級精度即可,也即點云數據采集過程中將高程精度控制在厘米級精度。

圖8 土方計算相對誤差隨高程中誤差變化情況

根據上述分析,在使用地面三維激光掃描儀采集點云數據并構建三角網計算土方量時,為確保計算結果的精度,不僅要保證在點云降采樣過程中不能過采樣,同時要確保點位的高程精度要在厘米級。影響點云采集精度因素眾多,包括掃描距離、掃描點間距、地物類別、光斑大小、物體顏色和外界環境等因素。為提高點云采集精度,掃描過程中要做到提前踏勘并調查區域內影響掃描精度的因素、合理設置測站位置保證采集覆蓋面、三維激光掃描儀應盡量靠近目標物以獲取足夠的點云數量、每一站掃描完畢及時檢核并根據檢核結果制定相應措施、根據工作量和外業天氣合理安排外業掃描時間。

同時在實驗過程中,設計高程同樣對土方計算相對誤差產生較大的影響,尤其是在全填全挖的場景下。假設某場地最低高程為h1,當設計高程低于h1時,該區域全為挖方,當挖的深度增加時,土方誤差不會再增加,土方總量仍在增大,導致土方相對誤差就會減小,全為填方的情況與之相同。因此,在討論設計高程對土方量計算誤差的影響時,應確保設計高程在場地最大高程和最小高程之間。

4 結 語

本文對不規則三角網計算土方量的精度模型進行了嚴密的公式推導,在推導過程中使用了重心插值的方法計算三角形平均高程,并利用誤差傳播定律構建精度數學模型。實驗部分利用地面三維激光掃描儀采集的點云數據構建DEM模型模擬真實地表,計算土方量真值。然后分析三角網平均邊長、點位高程中誤差對土方量計算精度的影響。分析得出:三角網平均邊長對土方計算精度影響顯著,又同時關系到實際操作成本,所以應該綜合成本和精度的共同影響,科學合理設置邊長,在保證精度的同時盡可能降低成本。在此次實驗中,為確保土方計算相對誤差在5%以內,三角網邊長不能超過 6 m。而點位高程中誤差對土方量計算精度影響不明顯,在實際工程測量中,可根據工程需求適當調整點位高程精度接受范圍,使其滿足土方量計算要求。一般情況下,將高程中誤差控制在厘米級精度即可。