矩形中厚板屈曲問題Hamilton算子本征函數系的完備性*

張萌萌,額布日力吐,阿拉坦倉

(1.內蒙古大學數學科學學院,呼和浩特 010021;2.內蒙古師范大學數學科學學院,呼和浩特 010022)

矩形中厚板是廣泛應用于各種工程領域的一種基礎的承重構件[1],對其屈曲、彎曲和振動等問題的研究一直受到應用數學和工程領域學者們的關注。關于其屈曲問題,采用數值方法進行研究的結果有很多。例如,離散奇異卷積法[2]、Rayleigh-Ritz法[3]和微分求積法[4]等,這些數值方法都可以得到工程上可接受的數值近似解。另一方面,對于此類問題解析方法也是必不可少的研究方法,它可以準確地揭示各個變量之間的關系,也可以通過解析式求出每個自變量所對應的精確值以及它所給出的解析解可以作為檢驗其他方法精度的基準解。目前研究矩形中厚板問題的較有效的解析方法有三角級數法[5]、有限積分變換法[6]和辛彈性力學方法[7]等。2010年,在辛彈性力學方法的基礎上出現了一種推廣形式,即辛疊加方法[8]。與辛彈性力學方法相比,辛疊加方法可以求解更多邊界條件下矩形中厚板的屈曲、彎曲和振動等問題[9-10]。例如,文獻[11]應用辛疊加方法對各向同性矩形中厚板的屈曲問題進行了解析求解。然而對于該問題所對應的Hamilton算子本征函數系完備性的研究到目前還未見相關報道。因此,本文研究了各向同性矩形中厚板屈曲問題在對邊簡支條件下導出的Hamilton算子,通過符號計算得到了該Hamilton算子的本征值以及本征函數系,并且證明了該本征函數系的辛正交性以及Cauchy主值意義下的完備性,進而給出了對應Hamilton系統的通解以及對邊簡支各向同性矩形中厚板屈曲問題的振型函數的通解。最后,通過一個具體算例給出了各向同性四邊簡支矩形中厚板屈曲問題對應的屈曲荷載因子,并與已有文獻的結果進行比較,驗證了其正確性及有效性。

1 Hamilton系統

各向同性矩形中厚板屈曲的控制方程組為

由式(1)、(2)和(3)可得如下六組關系式:

進而由方程組(4)可得如下Hamilton系統:

2 本征值和本征函數

應用Hamilton體系的分離變量法求解Hamilton系統(5),令

將式(6)代入式(5)可得:

其中μ為本征值,X(x)=(X1(x),X2(x),X3(x),X4(x),X5(x),X6(x))T為相應的本征函數。式(7)可以改寫為:

在x方向上對邊簡支的邊界條件為:

由式(9)以及邊界條件(10)可得如下兩組本征值及其本征函數系:

當n=0時,計算可得本征值

結合式(11)、(9)和邊界條件(10)可以得到本征值μ1 和μ2 對應的本征函數:

當n≠0時,計算可得本征值

結合式(13)、(9)和邊界條件(10)可以得到本征值μni(i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…)對應的本征函數:

3 本征函數系的辛正交性和完備性

定義1設X=L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a]×L2[0,a],則在Hilbert空間X中定義辛內積

定理1在Hilbert空間X中,無窮維Hamilton算子H的本征函數系{X k0(x),X in(x)|k=0,1;i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…}是辛正交的。

證明由辛正交性的定義,通過符號計算,可驗證本征函數系{X k0(x),X in(x)|k=0,1;i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…}滿足

定理2在Hilbert空間X中,Hamilton算子H的本征函數系k=0,1;i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…}在Cauchy主值意義下是完備的。

證明?F(x)=(f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x),f6(x))T∈X,在Cauchy主值意義下,利用本征函數系{|k=0,1;i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…},F(x)有如下辛-Fourier展開式

由定理1,可知:

通過計算可得:

因此定理2得證。

4 計算通解

根據定理2,我們可以假設Hamilton系統(6)的通解為:

將關系式(16)代入(5)式中可得:

其中C1,C2,Cni(i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…)為待定常數,這些待定常數可由y方向上的邊界條件確定。

由U=(ψy,—M xy,Sy,M y,ψx,w)T可知,通解(16)中的第6個分量為各向同性對邊簡支矩形中厚板屈曲問題的振型函數形式的通解,即:

5 算例

考慮四邊簡支各向同性矩形中厚板的屈曲問題,由邊界條件知,該矩形中厚板在x方向上滿足簡支邊界條件(10),在y方向上滿足簡支邊界條件:

彎矩M y和轉角ψx分別為通解(16)中的第4個和第5個分量,即:

由通解(18)和(20)以及邊界條件(19)可得一組關于C1,C2,Cni(i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…)的聯立方程組,為使其有非零解,令方程組的第n項系數矩陣的行列式為零,計算可得對應的屈曲荷載因子為:

當k=0.866667,v=0.3,R=1時,用式(21)計算了a/b=0.5,1,1.5,2;h/a=0.001,0.01,0.1,0.2的情況下四邊簡支各向同性矩形中厚板的第1個(即n=m=1)屈曲荷載因子(精度取到10—8),并與文獻[12]中的已有結果進行了對比,計算結果如表1所示。

表1 四邊簡支各向同性矩形中厚板的屈曲荷載因子ΩTable 1 The buckling load factors,Ω,of isotropic rectangular plate with four sides simply supported

此外,將屈曲荷載因子(21)代入關于C1,C2,Cni(i=1,2,3,4,5,6;n=1,2,3,…)的聯立方程組即可求解C1,C2,Cn1～Cn6,再由式(18)就可以得到對應的振型函數。

6 結論

本文研究了各向同性矩形中厚板的屈曲問題。首先將原方程轉化為Hamilton系統,并證明了對邊簡支邊界條件下矩形中厚板方程導出的Hamilton算子本征函數系的辛正交性和完備性。根據本征函數系的完備性,得到對應Hamilton系統的通解,再結合y方向上對邊簡支的邊界條件就可以計算出四邊簡支各向同性矩形中厚板屈曲問題的屈曲荷載因子。類似地,當y方向上的邊界條件為固支、簡支或自由等其他邊界條件的組合時也可以求解。同時,本文所證本征函數系的完備性結論可為相關辛疊加方法提供理論依據。