模塊化多電平換流器數學建模方法綜述

徐梓高,楊桂森,劉瑜超,李彬彬

(1.華北電力大學電氣與電子工程學院,北京 100096;2.哈爾濱工程大學智能科學與工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001;3.哈爾濱工業大學電氣工程及自動化學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

我國的大規模新能源外送戰略推動遠距離、大容量的電力輸送技術快速發展。我國的陸上風光能源主要位于西北地區,與東部地區的電力負荷中心呈逆向分布。傳統高壓交流輸電方案在輸電距離過長時存在電壓降落大、線路成本高等問題,不適用于新能源的遠距離外送。面對遠距離、大容量的輸電需求,高壓直流輸電技術成為我國陸上西電東送和海上風電西送的首選方案。歷經半個多世紀,HVDC系統在新型開關器件與換流器拓撲的推動下不斷演化,形成以模塊化多電平換流器為核心拓撲的柔性HVDC輸電技術,具有電壓/功率等級易擴展、潮流控制能力強、輸出諧波小、易于組網等一系列優勢,并被廣泛用于國內外的新能源外送工程中。

近年來,MMC-HVDC系統從點對點結構逐步拓展至多端直流、直流電網、高壓交流電網異步互聯等復雜場景中。例如我國在廣東南澳和浙江舟山投運的MMC-HVDC工程均采用風電場群的多端互聯結構。在多端系統中,不同風場互為支撐,可一定程度上緩解新能源的出力波動。2020年6月落戶張北的世界首個柔性直流電網示范項目通過四端環網實現了風電、光伏、儲能的聯合發電,其環網結構有效提升了直流輸電的可靠性與靈活性。此外,在2016年與2018年分別建成的云南-魯西HVDC工程和渝鄂HVDC工程中,通過MMC的背靠背連接實現了兩個高壓交流電網的異步互聯,提升供電可靠性?？梢钥吹?MMC-HVDC正逐步向多端化、網孔化轉變,并與傳統高壓交流輸電網、中壓交流配電網相互融合,交直流混聯與電力電子化將成為未來電力系統的必然趨勢。

得益于MMC等電力電子換流裝置的全控特征,電網調控的靈活性與響應速度均有了跨越性提升。但與此同時,電力電子化電力系統的穩定性隱患也逐步顯露[1-2]。在傳統電網中,同步發電機通常具有較大的時間常數和較低的控制帶寬,中高頻擾動信號在控制系統內被快速衰減,因此一般不會與小時間常數的電網線路引發諧振。與同步機相比,半導體器件的高速開關動作大幅拓寬了電力電子換流器的可控頻帶,控制作用呈現多時間尺度特征,如圖1所示。高帶寬的電力電子換流器極易與線路阻抗以及其他換流器相互作用并引發失穩振蕩,產生的振蕩諧波不僅惡化了電網的供電質量,甚至可能不斷傳播、放大并觸發故障保護,導致系統閉鎖停運。值得注意的是,不同于開關動作所引入的固定頻率諧波,上述振蕩諧波從數赫茲到數千赫茲皆有分布,亦被稱為“寬頻振蕩”,其與換流器的控制策略、控制參數、拓撲結構、元件參數等多方面因素均有關聯[3-4]。隨著MMC-HVDC工程容量和數量的不斷增加,供電穩定性受到嚴重威脅。

圖1 電力系統中的控制帶寬分布

近年來,國內外許多學者對MMC的精確建模理論和穩定性分析方法展開了一系列探索,本文旨在對這些方法和研究現狀進行歸納梳理。

1 基于非線性時變模型的大信號分析

穩定性分析方法按照所采用的數學模型可劃分為非線性時變與線性定常兩大類,其中對線性定常系統的研究又可細化為基于狀態空間模型的特征值分析和基于傳遞函數的奈奎斯特判據分析。

在開關器件動作和非線性控制環節的影響下,任何電力電子裝置本質上都屬于非線性時變系統。從MMC的物理機理出發,聯立實際電路的全部電壓、電流方程,即可獲得MMC的非線性時變詳細模型。然而包含MMC全部動態特性的模型異常復雜,實際中需要通過適當的近似處理來降低模型階次。文獻[5]提出的詳細模型忽略了開關動作在寄生電容、電感上產生的暫態響應,但保留了MMC橋臂中的模塊化結構,可用于子模塊內部電壓、電流特性的研究,例如模塊故障保護、模塊電壓平衡控制等?？紤]到MMC同一橋臂內的子模塊電容電壓在正常運行時相差無幾,文獻[6]提出MMC的橋臂平均模型,直接采用一個平均子模塊代替了整個橋臂,避免了模塊數目過多帶來的復雜性,且能準確反映橋臂間的環流特性與電容電壓的平均波動,可用于環流控制、相間及臂間電容電壓平衡控制等絕大部分拓撲層面研究,是應用最為廣泛的MMC非線性時變模型。從系統層面來看,MMC的研究重點集中于交、直流端口的電壓和電流外特性,此時電容電壓波動和內部環流成為次要因素,故可以進一步忽略電容電壓諧波與橋臂結構,對MMC整體進行平均化處理,得到MMC的換流器平均模型[7]。

對于上述非線性時變模型,所能采用的穩定性分析方法為Lyapunov在1892年提出的Lyapunov直接法。該方法以“穩定系統動態變化過程中的能量始終單調減少”為依據,通過建立系統的能量函數來判斷非線性系統的穩定性,具有理論嚴謹、判斷準確、物理意義直觀等優點。然而該方法中最為關鍵的能量函數選取則依賴經驗和試錯,尚無通用方法,因此對于MMC這樣電路結構復雜、控制策略繁多的高階系統很難采用。特別是在研究多個MMC構成的交直流混聯系統時,這一問題更加突出。此外,在高階系統研究中,Lyapunov直接法一般僅定性地判斷一個系統是否穩定,而難以指導MMC電路參數及控制策略的設計[8]。鑒于上述局限性,MMC的非線性時變模型很少用于寬頻振蕩的理論分析,而多見于數值仿真驗證中。

2 基于線性定常模型的小信號分析

研究穩定性的另一類思路是Lyapunov間接法,即先將系統的非線性時變模型轉化為線性定常模型后,再通過成熟的線性系統理論進行分析。該方法雖僅能判斷系統在某一平衡點(穩態工作點)鄰域內的小信號穩定性,但卻是整個系統穩定的必要條件。諸多研究表明,實際工程中的寬頻振蕩多屬于小信號穩定性問題,即系統在某個穩態工作點處由于輸出功率、硬件或控制器參數設置不當而逐漸振蕩失穩。因此,基于線性定常模型的小信號分析法在寬頻振蕩問題中獲得大量關注。

將換流器的線性定常模型整理為狀態空間表達式,即可通過特征值來研究換流器的穩定性。除穩定性外,狀態空間還能提供可控性、可觀性、主導模態、穩定裕度、振蕩頻率以及參與因子等豐富信息[9],如圖2所示。然而,基于特征值的分析方法在MMC-HVDC系統中仍有較大局限性。一方面,建立狀態方程需要首先獲知整個系統的所有軟、硬件參數和網架結構,屬于白箱模型[10]。對于傳統交流電力系統,發電機、變壓器均可根據銘牌提供的參數直接近似為簡單的阻感元件,獲取狀態方程并不困難。但MMC的電路結構與控制策略遠比同步機復雜,再加上設備供應商的技術保密措施,僅憑簡單的硬件參數難以準確構建模型。此外,單臺MMC的狀態方程已經十分復雜,當應用至系統層面的穩定性研究時將面臨“維數災”,限制了該方法的工程應用。從分析過程來看,復雜系統的特征值主要依賴數值計算和作圖觀察等方式開展研究,所得到的分析規律往往只針對某一特定工況有效,難以給出MMC參數設計的通用性結論。

圖2 基于狀態空間的分析方法

傳遞函數是研究線性系統穩定性的另一種常用手段,可反映系統指定輸入、輸出信號之間的動態關系,不僅能通過線性定常模型進行理論推導,在工程中還可以直接掃頻檢測。借助傳遞函數的頻率響應曲線,能夠對穩定裕度、控制帶寬、諧振峰值、穩態誤差等多項性能指標進行分析,應用十分廣泛。根據輸入、輸出信號的選擇方式,可進一步將傳遞函數分為控制回路傳函與端口阻抗兩種類型。

當換流器接入電網后,電網將作為控制回路的一部分包含在模型中,因此控制回路傳函能夠反映換流器的并網穩定性[11]。然而,控制傳函的掃頻檢測需深入換流器內部,且僅以單臺設備為研究對象,不利于系統層面的穩定性分析。另一方面,并網端口的電壓與電流能夠反映換流器與電網間的全部交互信息。阻抗作為端口電流、電壓之間的傳遞函數,無需深入換流器內部即可完成掃頻檢測,降低了對換流器參數的依賴[12]。憑借檢測的獨立性,可以分別對換流器與電網阻抗提出相應的穩定性指標、研究獨立的穩控措施。在獲取系統各節點的阻抗模型并聚合簡化之后,并網點兩側的阻抗之比可等效為開環傳函,繼而通過奈奎斯特判據進行分析,如圖3所示。除此之外,阻抗模型具有清晰的物理意義,其頻率特性曲線能夠直觀反映控制策略的作用頻段及控制效果,為振蕩風險頻段定位和抑制提供設計依據?；谏鲜鰞瀯?阻抗模型被廣泛用于系統層面的換流器并網穩定性研究中。

圖3 阻抗分析法

3 阻抗建模及其穩定性分析方法

獲取線性定常模型是開展阻抗分析的第一步,為此需要對MMC的非線性時變模型進行線性化和定?；?。事實上,電力電子換流器的數學建模無一不是圍繞其定?；归_。根據換流器所含諧波成分的不同,可分為直流斬波拓撲、單諧波拓撲和多諧波拓撲,分別衍生出不同的定?；悸?。

阻抗判據最早由Middlebrook教授于1976年提出[11],用于研究直流斬波器與輸入濾波器相連時的穩定性問題,并在開關電源領域得到大量應用。開關諧波是Buck、Boost等直流斬波類換流器的主要時變成分?？紤]到開關諧波頻率通常遠高于換流器的控制帶寬,對換流器的動態性能影響甚微,因此直接忽略開關諧波即可實現模型的定?；?。

新能源發電中常見的兩、三電平換流器屬于單諧波拓撲。此類拓撲的輸出電壓中除了開關諧波外還包括基頻成分,僅忽略開關諧波仍無法實現整個模型的定?；?。針對換流器中的基頻成分,目前普遍采用dq同步坐標系與靜止坐標系兩種建模方法。將基頻信號轉化至dq坐標系后表示為直流量,是單諧波拓撲實現定?；钪苯拥姆椒?。然而在dq坐標系下,系統變量之間存在耦合,導致模型需采用二維矩陣形式[15-16],成為多輸入-多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)系統,原本針對單輸入-單輸出(Single Input Single Output,SISO)系統的奈奎斯特判據不再適用。面向MIMO系統的穩定性判據最早由英國曼徹斯特理工大學的MacFarlane教授提出[17],稱為廣義奈奎斯特判據(Generalized Nyquist Criterion,GNC),并在文獻[18]中得到嚴格數學證明?；贕NC,Belkhayat將阻抗分析法拓展至交流并網換流器,利用dq阻抗模型初步開展了電力系統的穩定性分析[15]。隨后,Harnefors[19]與Wen[20]分別將PLL和dq電流解耦項、功率外環等控制策略考慮到模型中,進一步完善了兩電平換流器的dq阻抗建模方法。

另一方面,Harnefors在兩電平換流器建模過程中引入無線通信中廣泛使用的復信號概念[22],通過對稱分量法將正、負序信號表示為一對反向旋轉的復空間向量,獲得換流器的復阻抗模型[23]。在該模型中,時間變量以復指數形式顯現并能方便地從信號中分離,繼而實現定?；?。倫斯勒理工的孫建教授則直接從頻域出發,基于描述函數思想分析了換流器在正、負序擾動下的頻率響應,獲得序阻抗模型[24-25]。實際上,復阻抗中成對出現的旋轉向量恰好對應著序阻抗中的正、負序分量,因此復阻抗與序阻抗本質是同一種模型。早期的序阻抗模型忽略了正、負序擾動間的耦合作用,其模型呈現為SISO形式,不同相序擾動之間的獨立性一度被視為序阻抗的獨特優勢[12,21]。然而這一優勢僅限于平衡對稱系統[22-23],當采用dq增益非對稱的控制策略時,正、負序之間不再獨立。Bakhshizadeh在文獻[24]的基礎上揭示了這一耦合現象,并將序阻抗改進為二維矩陣形式[26]。與dq阻抗類似,序阻抗矩陣亦需采用GNC進行穩定性分析。為了避免使用GNC,張琛等人[27]對序阻抗矩陣進行等效變換,再次轉化到一維形式,提出一種融合全部阻抗矩陣元素的SISO序阻抗,可直接使用傳統的奈奎斯特判據。孫建在文獻[28]與文獻[29]中進一步分析了這種SISO序阻抗與電網阻抗間的耦合效應。除此之外,為了研究交直流混聯系統的穩定性,Shah針對兩電平換流器提出一種能夠反映交、直流系統耦合的三維序阻抗矩陣模型[30-31],與二維序阻抗矩陣和SISO序阻抗模型具有相同的穩定性[32]。

由于換流器的控制策略大多直接構建于dq坐標系下,dq阻抗的建模過程更為便捷。然而該模型側重于反映d、q信號之間的耦合,與換流器的實際物理現象難以關聯。與dq阻抗相比,建立在靜止坐標系下的序阻抗能直觀體現換流器的頻率耦合,與實際工程中頻繁出現的鏡像頻率耦合現象一致(即諧波頻率關于基頻鏡像對稱),具有十分清晰的物理含義[28]。長期以來,關于dq阻抗與序阻抗模型的研究各自獨立開展,但兩者實際上都是對相同換流器的數學描述,因此必然具有等價性。挪威科技大學Rygg與奧爾堡大學王雄飛教授先后通過線性代數證明了dq阻抗與序阻抗具有相同的穩定性,并給出了兩種模型的等價轉換矩陣[33-35]。文獻[36]則在此基礎上進一步辨析了dq坐標系、靜止坐標系、實數域、復數域的數學概念,展示了不同阻抗間的完整轉化關系,如圖4所示。

圖4 dq同步坐標系與靜止坐標系模型之間的等價轉換關系

與兩電平換流器相比,MMC具有更復雜的諧波特性,其內部電容電壓、電感電流和調制波中的交流分量反復耦合,導致模型變量中不僅包含直流和基頻成分,還存在二次、三次等諧波,因此MMC屬于一種多諧波拓撲[37]。為實現MMC模型定?；?最簡單的思路是直接忽略內部諧波,將MMC按照傳統兩電平換流器的建模方式進行處理[38-39]。然而內部諧波會顯著影響MMC的動態過程,近似模型的分析結論與實際MMC之間存在較大偏差。為了提升分析精度,勢必要將MMC的主要諧波都包含在模型中。諧波狀態空間(Harmomnic State Space,HSS)理論作為一種多諧波建模方法,在MMC建模領域中備受關注。該理論指出:對于具有周期時變性的系統模型,可通過傅里葉級數將其模型從時域轉化至頻域,使各次諧波成分均能表示為不隨時間變化的傅里葉系數,從而實現定?；?。HSS理論經Wereley[40-42]提出后,很快被Rico[43-44]、Mollerstedt[45]、Love[46]等人推廣至電氣領域,分別用于研究晶閘管投切電抗器、鐵路牽引單相供電系統以及兩電平換流器的開關諧波問題。鑒于HSS在多諧波拓撲建模的優勢,上海交通大學呂敬教授率先將其用于MMC-HVDC風電匯集系統,在忽略序間耦合的假設條件下構建了MMC的SISO序阻抗模型[47-49]。與此同時,孫建教授采用基于描述函數思想的建模方法也獲得了MMC的序阻抗[50-51],其定?；砼cHSS一致,都是通過傅里葉級數將時變諧波轉化至頻域,因此可視為同一種建模方法。文獻[52-53]借鑒兩電平換流器的阻抗研究結論,先后建立了MMC交流側的二維序阻抗模型,利用矩陣的副對角元素刻畫正、負序之間的耦合關系。文獻[54]則進一步提出了MMC阻抗矩陣的三維結構,將交、直流系統間的耦合也納入模型中。另一方面,Jamshidifar[55]、魯曉軍[56]等則是將dq坐標系建模方法拓展為多dq坐標系,完成MMC的定?；?。與兩電平換流器建模方法相似,HSS與多dq坐標系模型僅僅是頻域下的變量形式不同,其數學本質依然等價。其中,HSS方法在頻域中采用傅里葉級數的指數形式(復系數),而dq坐標系則是直接采用了三角函數(實系數),兩類模型可通過歐拉公式相互轉化[57]。目前,基于HSS或多dq坐標系的諧波定?；悸芬驯粡V泛采用。

在阻抗特性分析方面,MMC內部耦合諧波的分布規律與擾動電壓位置、相序均密切相關,且控制系統將對各次諧波呈現出不同的增益,導致MMC阻抗模型的數學形式十分復雜。文獻[51]初步探討了MMC電容電壓中的耦合現象,揭示了不同電容電壓諧波間的耦合規律。文獻[58]在此基礎上,提出一種基于相序選擇矩陣和移頻矩陣的MMC建模方法,統一了閉環控制下MMC交、直流回路的建模過程,涵蓋了柔直工程中常見的定功率、定交流電壓、定直流電壓等控制模式,并能便捷地拓展至其他控制結構,具有較強通用性。該模型不僅能夠直觀反映MMC內部的頻率、相序耦合,亦能體現MMC所接交、直流電網之間的耦合關系。

4 MMC模型簡化

諧波耦合不可避免地加劇了MMC模型的復雜性。MMC內部的無窮次諧波表明其阻抗模型必然呈現為無窮維的矩陣形式,在實際應用前必須進行降階簡化。

常見的模型降階理論主要針對狀態空間模型提出,例如模態截斷法[59]、奇異攝動法[60]、平衡理論[61]等。這些方法的核心思想是通過保穩數學變換移除一部分低時間尺度的非主導特征值來簡化模型。然而經數學變換后的狀態變量與真實系統之間存在差異,失去了變量原本的物理意義。除此之外,狀態空間模型的固有問題也限制了這類簡化方法在MMC-HVDC系統中的推廣。對于MMC的阻抗模型,目前所用的簡化依據主要基于感性經驗或仿真觀察。由于MMC的內部諧波幅值一般都隨著頻率升高而降低,大部分文獻均采取直接忽略高次諧波的方法簡化模型,通常僅保留前兩次或前三次穩態諧波[47-57]。然而,這種近似方法不具有通用性。為解決上述問題,文獻[67]提出一種基于信號流圖前向增益的MMC諧波量化估計方法,為無窮維阻抗矩陣的截斷降階提供了理論依據。

除了截斷高次諧波外,還可以根據阻抗元素的數學特征簡化模型結構。文獻[31]與文獻[62]揭示了兩電平換流器模型的共軛對稱性,有助于簡化二維阻抗矩陣元素的求取過程。文獻[63-66]則通過分析阻抗傳函,相繼給出了阻抗與參考相位之間的對應關系,方便了模型參考系變化后阻抗附加相位的計算。文獻[27]通過將二維阻抗矩陣轉化為SISO阻抗,降低了穩定性的分析難度。文獻[67]將兩電平換流器的阻抗特性推廣至MMC,采用信號流圖揭示了MMC無窮維阻抗元素之間的共軛對稱性,提出元素對稱關系與相位偏移量的直觀判斷方法,簡化了矩陣元素的求取過程,并建立MMC多維阻抗矩陣模型與SISO阻抗模型等價轉換公式,從而避免在穩定性分析中使用廣義奈奎斯特判據。

5 結論與展望

目前,針對MMC的建模方法、穩定機理、內部耦合、模型簡化降階等方面的研究趨近成熟甚至飽和。所建模型的精度已經足以針對1～5 000 Hz頻率范圍內的振蕩現象展開研究。然而現有研究對穩定性分析和振蕩抑制策略的探索還遠不充分,以至于振蕩事故至今仍在HVDC工程中反復出現。如何使用所建立的阻抗模型對振蕩問題進行分析,進而提出普適有效的穩定控制策略是當前寬頻振蕩問題研究的關鍵。一方面,未來的交直流混聯電力系統將向網孔化、多端化逐步發展,亟待發展多節點、多網孔的系統級阻抗網絡穩定性分析和穩定控制方法;另一方面,面對復雜的阻抗網絡,僅依賴單個換流站的參數優化將難以實現整個系統穩定裕度的高效提升,系統的全局穩定性需要多個換流站共同參與?？紤]到系統復雜性,面向數據驅動的多站點協同振蕩抑制技術也可能成為未來的研究方向之一。