不同線性擬合方法對直剪試驗結果影響的分析

羅 杰，賈 靜

（河北省水利水電勘測設計研究院集團有限公司，天津 300220）

目前，在巖土工程項目檢測試驗中，盡管現行規程規范條文大力提倡通過三軸壓縮試驗獲得土的抗剪強度指標，但由于直接剪切試驗（以下簡稱為直剪試驗）的方法簡單、高效和大量經驗積累，其仍是目前巖土工程中獲得抗剪強度指標的重要手段。

在直剪試驗數據處理方法上，土工試驗規程［1-2］或土工試驗方法標準［3］中均未指定試驗數據線性關系式的擬合方法， 只在數據處理部分的條文中規定采用圖解法［1-3］確定試樣的抗剪強度指標。但隨著計算機的廣泛應用，越來越多的數據處理通過計算機來完成。 本文通過實際工程項目的直剪試驗數據為例， 分別采用最小二乘法、梯度降減法擬合試驗數據的線性關系式，根據各自關系式確定抗剪強度指標C，φ 值。同時,以實際試驗數據為標準, 分析采用不同方法擬合的線性關系式可靠性； 以最小二乘法確定的抗剪強度指標為參照值， 比較其他方法確定抗剪強度指標與其之間的差異。

1 試樣基本物理性質指標

試樣的基本物理性質指標如表1。

表1 試樣基本物理性質指標

從表1 試樣的基本物理性質指標可看出：3 個試樣均屬黏性土。

2 直剪試驗數據

為更好地比較分析不同線性擬合方法對直剪試驗數據擬合結果的影響， 在實際工程工程項目的土工試驗中，選取離散性差別較大的3 組試驗數據，如表2。

表2 直剪切試驗數據

從表2 可知：在3 組數據中，第1 組數據的離散性最大，第2 組數據的離散性次之，第3 組數據的離散性最小。

3 最小二乘法［4-5］

為確定試樣的抗剪強度指標（C，φ），需根據不同垂直壓力下的抗剪強度繪制關系曲線或擬合關系式，一般情況下關系曲線為直線，關系式為線性表達式。 通過線性關系式中的參數達到確定試樣抗剪強度指標（C，φ）的目的。目前，為提高工作效率和保證成果質量， 基本采用辦公軟件或專業軟件進行數據處理。

由于最小二乘法簡便， 是實際工作中較常用的線性關系式擬合方法。最小二乘法基本原理：采用偏差平方和最小的原則擬合線性關系式。如設：線性表達式的型式為y=a+bx，針對表2 數據，其矩陣方程組為：

解方程組得：

依據上述兩式和表2 數據,分別計算各試樣試驗數據擬合的現行表達式參數a，b 值。計算過程及計算結果如表3。各試樣的抗剪強度與垂直壓力關系曲線如圖1。

圖1 抗剪強度與垂直壓力的關系曲線

表3 各試樣試驗數據擬合的現行表達式參數計算結果

從圖1 可看到：所顯示公式中的a，b 值與表3 中的計算值完全一致，因此，借助Excel 選取散點圖，其數據的線性趨勢線擬合方法采用的是最小二乘法。

4 梯度降減法［4,6］

梯度降減法需進行迭代計算，有時還需進行優化后才能確定最后結果，因此在電算化沒有廣泛普及的年代，其使用受到一定限制。但今天，廣泛普及的計算機應用已完全化解此問題。

本文應用梯度降減法的基本思路：在坐標圖中，沿著代價函數在某點處切線的降低方向， 通過各待求變量變化的適當步長，確定代價函數的下一點，并對應1 個預測函數。 然后以此點處代價函數切線的降低方向，通過相同的變量變化步長，確定代價函數的另一個下降點，同樣對應1 個預測函數。如此不斷地找下去，直至找到滿足要求的代價函數最小值或約定的變化值所對應的點，此時對應的預測函數是所需的最終結果。

設擬合的線性表達式（預測函數）為：y=a+bx

為評判獲得的預測函數是否滿足要求，引入均方差代價函數。

設均方差代價函數（或稱平方差代價函數、損失函數）為：

式中 m 為數據組數（樣本數），本文實例中m=4；1/2 為常量， 為在求梯度時能把二次方乘數加以抵消，這樣方便計算且不會影響計算結果；yi為試驗實測數據值；ya，b為預測函數。根據a，b 值得到預測的y值。即：ya,b(xi)=a+bxiaj，bj值的迭代計算公式如式（8）～式（9）：

根據表2 中試樣編號為003004 的試驗數據，采用梯度降減法進行迭代計算的過程及計算結果如表4。 通過優化， 在計算過程中aj，bj的初始值選取為：a0=20，b0=0.4；步長值選取為：αa=0.3，αb=0.00002。

表4 直剪試驗數據線性擬合表達式參數a，b 值迭代計算

從表4 中aj，bj的迭代計算過程和計算結果可看出： 當以均方差代價函數的最小值或約定的變化值為判斷標準時，a=76.717404，b=0.368912，修約后，a=76.72，b=0.3689。 預 測 函 數 的 最 終 關 系 式 為：y=0.3689x+76.72。 與上述采用最小二乘法獲得的關系式非常接近。同時，從表4 還可看出：如果持續增加計算步驟， 那么最終的a，b 值與采用最小二乘法獲得的值完全相同。

同理，根據表2 中試樣編號為003012 的試驗數據， 通過優化， 在計算過程中aj，bj的初始值a0=20，b0=0.4。步長αa=0.3，αb=0.00002。當以均方差代價函數的最小值為判斷標準時，a=42.9775，b=0.341277，修約后，a=42.98，b=0.3413。 預測函數的最終關系式為：y=0.3413x+42.98。

同理，根據表2 中試樣編號為003032 的試驗數據， 通過優化， 在計算過程中aj，bj的初始值a0=20，b0=0.4。步長αa=0.3，αbt=0.00002。當以均方差代價函數的最小值為判斷標準時，a =27.447728，b =0.399208，修約后，a=27.44，b=0.3992。預測函數的最終關系式為：y=0.3992x+27.44。

5 關系式可靠性分析

為驗證上述關系式的可靠性， 以試驗實測數據為基準值， 比較采用各方法擬合關系式的計算值與基準值的偏差情況，如表5、表6。從表5、表6 可看出： 采用不同方法擬合的線性關系式并分別計算在不同垂直壓力下的抗剪強度，計算結果略有不同，相差不大，但與實測數據均存在一定偏差，其偏差絕對值隨各組試驗數據離散性增大而增大。

表5 各垂直壓力下抗剪強度的實測值和關系式計算值

表6 采用不同計算方法線性擬合關系式計算的抗剪強度與實測值偏差情況

6 不同方法確定抗剪強度指標的差異

最小二乘法：為方便求解，需關心誤差函數在迭代值處的局部性質， 而不用考慮在迭代值處的全局性質，這種方法機器學習領域使用的非常廣泛。

梯度降減法： 是用于找到可微函數的局部最小值的一階迭代優化算法。 為了使用梯度下降找到函數的局部最小值，采取與該數在當前點的梯度（或近似梯度）的負值成比例的步驟。梯度下降法每次都以梯度的反方向下降，所以，有可能會走出鋸齒路線，從而增加迭代次數。

不論什么方法，只要選好初始參數，就可減少迭代次數，從而減少計算量。在實際使用中，可根據具體情況決定用哪種方法優化求解。

不同線性擬合方法確定的試樣抗剪強度指標如表7。

表7 不同線性方法確定的抗剪強度指標

從表7 可看出： 兩種方法確定的抗剪強度指標幾乎沒有差別。

7 結語

（1） 對直剪試驗數據線性的擬合方法不是單一的。 擬合方法不同， 其結果也可能不同。為了保證數據的連續性，盡可能采用同一種線性擬合方法。

（2） 在兩種線性擬合方法中，最小二乘法最簡單、最方便。一組試驗數據采用某種方法擬合線性關系式后，要驗證關系式的可靠性，當發現綜合誤差較大且不滿足實際要求時，應考慮采用其他線性擬合方法。