磁性薄膜材料剩磁分布與彎曲形式的關系探究*

魯太平,師明星

(西南交通大學 力學與航空航天學院,四川 成都 610031)

0 引 言

磁驅動的智能軟材料因其良好的可編程性和易于變形的特性而在軟體機器人、柔性電子、生物醫療等領域都有廣泛的應用[1-3]。磁性軟材料在強磁場中磁化以后,其內部磁偶極子形成特定構型的磁疇,產生剩余磁化強度(即剩磁)。硬磁性軟材料在撤去磁化磁場以后,其內部能夠保留較高的剩余磁化強度,使其在外部磁場作用下能夠實現豐富的變形行為[4-6]。筆者將薄膜狀的硬磁性軟材料在厚度方向上進行彎曲后充磁,研究發現充磁后材料內部的剩磁分布與其充磁時彎曲形狀相關,由此建立了兩者之間的關系式。通過控制薄膜充磁時的彎曲曲線形式,可對薄膜內部剩磁分布進行控制。筆者以幾種典型曲線彎曲的薄膜為例,用確立的關系式推導了其展開后內部的剩磁分布形式,并對這些薄膜在外加恒定磁場及重力場的作用下的變形進行了有限元模擬及實驗驗證。

1 薄膜內部剩磁分布與其充磁彎曲形式之間的關系

1.1 薄膜充磁形式

所取薄膜的尺寸為20 mm×5 mm×0.2 mm。圖1展示了薄膜彎曲充磁及置入外加磁場中產生變形的過程。薄膜內部在任意一點處的剩磁均為有大小和方向的矢量。假想薄膜在厚度方向上(y方向)以一定形狀彎曲后置入磁場中充磁,其在薄膜寬度方向上(z方向)磁場恒定。展開后其厚度方向上的剩磁應為存在一定曲率的弧線,但由于薄膜厚度較薄,認為其厚度方向上剩磁呈直線,即在厚度方向上剩磁方向無變化。充磁完成后,在與xy平面平行的面上,薄膜就會有和彎曲形式相關的磁場分布。因此,通過控制薄膜的彎曲形式,可以實現對薄膜內部剩磁分布的控制。用Brep表示用于充磁的磁場。

圖1 薄膜充磁過程及在外加磁場Ba中的變形

1.2 薄膜彎曲曲線滿足F(y)=f(x)時的剩磁分布

如圖2所示為彎曲曲線滿足F(y)=f(x)的薄膜。圖2(a)展示了形狀曲線滿足曲線表達式F(y)=f(x)的薄膜充磁完成展開后其內部剩磁分布與彎曲形式的關系。如圖2(b),記錄曲線上的起點、終點及每一個導數為零或不可導的點彎曲時及展開后的橫坐標值,函數在任意兩相鄰導數值為零(或不可導)的點C(Xi,xi),D(Xi+1,xi+1)之間即為函數的一個單增或單減區間,設其在該段滿足函數關系式y=f(x),其在任意一點處的斜率k=tanθ=f′(x),所以θ=arctan(f′(x))。充磁完成展開后,剩磁在x,y方向上的分量為:

圖2 彎曲曲線滿足F(y)=f(x)的薄膜

(1)

式中:

(2)

要了解薄膜展開后橫向坐標X上每一點的剩磁分布情況,則需要建立薄膜彎曲時橫向坐標x和展開后橫向坐標X之間的坐標變換,即可由式(1)得到展開后該點的剩磁情況。彎曲時曲線從零點到曲線上任意一點的弧長即為展開后該點在X方向上的坐標,即函數關系式為:

(3)

函數的弧長積分求解困難,可以利用數值計算的方法在曲線上取若干點做X與x的擬合曲線,從而得到X對于x的映射x=Z(X)。令滿足該映射的曲線上的任意一點的坐標表示為P(X,x)。為了方便計算,文中認為在函數的每一段單增或單減區間內,X與x之間都為線性映射。假設函數共有n段單增或單減的區間,則在第i段區間內x和X滿足的函數關系式為:

x=aiX+bi,i∈(0,n)

(4)

如圖2(b),曲線彎曲時起點的橫向坐標為x0,終點橫向坐標為xn,在x=x1,x2,...,xi,xi+1,...xn-1處導數值為零(或不可導),函數在任意兩相鄰導數值為零(或不可導)的點C(Xi,xi),D(Xi+1,xi+1)之間即為函數的一個單增或單減區間。所以在C、D點之間x與X滿足一次函數關系式:

(5)

綜合式(1)、(5)即可得薄膜展開后在任意一點的剩磁分布情況。

1.3 幾種典型彎曲曲線充磁后的剩磁分布

由1.2節中推出的關系式可知,在已知薄膜彎曲曲線的情況下可以較為容易地得出其內部剩磁分布。文中對長度為20 mm的薄膜充磁時彎曲形狀為未變形、四等分折線(每段與水平線夾角為45°)、余弦函數曲線(y=4cos(0.58x))、圓形(半徑為3.18 mm)、橢圓(長軸為4 mm,短軸為1.75 mm)、方形(邊長為5 mm)等幾種情況進行了討論,并對這幾種薄膜的彎曲形式及充磁展開后內部剩磁分布情況進行了研究,結果如圖3所示。

圖3 薄膜的彎曲形式及充磁展開后內部剩磁分布情況

對以上6種剩磁分布不同的薄膜在外加磁場下的變形行為進行有限元模擬及實驗驗證,將兩者結果進行比對來驗證1.2節中推導式的正確性。有限元計算的理論框架、模型、參數設置、實驗操作的具體細節及最終結果等在下文給出。

2 薄膜變形行為的有限元計算

2.1 磁性微柱在磁場中受到的力矩

圖4給出了一個含有磁性粒子的ecoflex硅橡膠微柱的受力圖。假設每個磁性粒子都是尺寸相同的球形粒子。從磁柱中截取一個尺寸極小的單元,并認為在這一個單元內磁性粒子的分布是均勻的。

圖4 磁柱中單個單元受力示意圖

(6)

式中:μ0=4π×10-7N·A-2,為真空磁導率;l、t、h分別為單元的長、寬、高。

2.2 有限元計算本構模型

考慮磁場的影響,在傳統的胡肯本構模型中加入磁力項力-磁耦合本構模型[5],寫為張量形式,即:

(7)

式中:F為變形梯度張量;J=detF>0,為形變雅可比;G為材料剪切模量;K為體積模量;I1=tr(FTF)。

則第一piola-kirchoff應力張量為:

(8)

式中:運算符?表示張量積。

2.3 有限元模型及參數

如圖5所示為有限元計算模型及網格劃分結果。

圖5 有限元計算模型及網格劃分

3 實驗驗證及結果對比

3.1 實驗部分

將NdfeB磁粉與ecoflex按質量分數1∶1的比例混合制備得到軟聚合物的預聚物,預聚物抽真空后倒在光滑的硅片上以600 r/min旋涂并烘干,對烘干后的磁膜進行切割即可得到與仿真所用尺寸相同的磁膜。實驗過程如圖6所示。圖6(a)為用于驗證仿真結果的磁膜成品圖,其置入磁場后,固定的一端需預留出用于夾持的部分。圖中虛線以上區域為夾持區,虛線以下區域為變形區,變形區尺寸為20 mm×5 mm×0.2 mm根據磁膜需要彎曲的形狀,利用3D打印技術打印出相應形狀的夾具,將切割好的磁膜用夾具夾持可以得到相應的彎曲形狀,如圖6(b)所示。之后將用夾具夾持好的磁膜進行充磁,待磁膜充磁完成后,將其置入外部恒定磁場環境中,如圖6(c)所示。將磁場從0 mT增大到10 mT后觀察變形情況并與仿真結果進行對比。

圖6 磁膜的制備、充磁及變形試驗

3.2 仿真結果及實驗結果對比

1.3節中給出的幾種典型曲線充磁后的薄膜在外部磁場中變形行為的仿真及實驗結果如圖7所示。圖7中的有限元變形結果為外加磁場在2.5、5、7.5、10 mT時薄膜的變形。實驗變形圖為外加磁場從0 mT增大到10 mT的過程中薄膜的幾個變形階段。從圖中可以看出,對于這些充磁方式不同的薄膜,隨著外加磁場的增大,有限元模擬結果和實驗得到的結果變形趨勢基本一致。這很好地說明了模擬結果的可靠性。證明文中所給的薄膜充磁彎曲形式和其內部磁場分布之間的關系式是合理的。

圖7 薄膜經不同形式彎曲后的有限元(左)及實驗結果對比(右)

4 結 語

文中通過對薄膜軟材料彎曲形狀的合理簡化,建立了薄膜彎曲形式與其內部剩磁分布之間的關系式。實現了通過控制薄膜充磁時的彎曲形式,從而對薄膜內部剩磁分布進行控制。同時通過數值模擬和實驗驗證的方法證明了所給關系式的合理性。這對于實現磁性軟材料內部剩磁分布及其變形行為的精確編程控制具有極大的研究價值。