有載二端口網絡幾何分析法及其應用

陳希有 齊 琛 李冠林 牟憲民 陳建輝

(大連理工大學 電氣工程學院,大連 116023)

在電氣、電子工程中,很多問題可以抽象成二端口網絡模型加以研究,例如濾波器、阻抗變換電路、PID調節電路、非接觸電能傳輸系統、選頻網絡,等等。因此,二端口網絡的任何分析方法,都具有廣泛的應用對象。解析分析法和數值分析法,是目前普遍采用的兩種方法。二者共同弊端是,當某參量發生改變時,難以直觀地看出二端口網絡的主要電氣量是如何聯動變化的,這給預測變化趨勢和優化設計帶來不便。解析幾何是一種借助于解析式進行圖形研究的幾何學分支。它采用數值的方法來定義幾何形狀,并從中提取數值的信息。人類對事物的認知特點是,習慣接受用圖形表達的信息,而費解于用復雜公式和數據串表達的信息。據此,本文參照文獻[1],結合我國習慣,向讀者引介一種用復平面解析幾何原理,分析有載二端口網絡的方法。文中以等效負載阻抗模即|ZL|為自變量,通過一張平面圖形,便可獲得包括輸入電流、輸出電流與電壓、輸入功率、輸出功率,以及傳輸效率在內的當前信息和變化趨勢。該原理擴展了二端口網絡的分析方法,并能促進復變函數和解析幾何在電路分析中的應用。

1 輸入電流及其映射軌跡

有載二端口網絡如圖1所示,其中負載復阻抗ZL=|ZL|ejφL。根據教科書,二端口網絡傳輸參數方程用T矩陣表示為[2]

圖1 有載二端口網絡

(1)

圖1的輸入阻抗為

(2)

(3)

(4)

為了獲得上述系數的物理意義,再依次計算以下各量。

令式(4)中|ZL|→∞,得到輸出端口開路時,輸入端口電流為

(5)

再令式(4)中|ZL|=0,得到輸出端口短路時,輸入端口電流為

(6)

上述電流之差為

(7)

在輸入電壓和網絡參數一定的條件下,上述電流在復平面上有固定的長度和方向。

根據方程(1),輸入端口處于短路狀態時,從輸出端口看進去的等效阻抗為

(8)

(9)

式中,

(10)

圖2 電流的映射軌跡及I2和U2的幾何讀取

(11)

利用弦長和圓周角可以求出這個圓弧的半徑,結果是

(12)

2 I2與U2的幾何讀取

由傳輸參數方程求得輸出電流為

(13)

(14)

可見,I2的大小正比如圖2中的線段l1。

由于U2=|ZL|I2,所以,為了能夠從線段長度上得到U2的大小,需要尋找ZL與已知相量的關系。為此,由式(9)得

(15)

(16)

3 阻抗|ZL|和輸入功率P1的幾何讀取

如果已知I1,可以通過圖中線段的長度,確定所需要的|ZL|,數學上相當于求逆映射。根據式(12)和(16),將|ZL|寫成

(17)

圖3 |ZL|和P1的幾何圖

(18)

再根據式(17)、(18),|ZL|可以用線段長度表達如下:

(19)

(20)

4 輸出功率P2和傳輸效率η的幾何讀取

根據式(14)和式(16),輸出平均功率可以寫成

(21)

由于圖4中ΔI1oI1I1s和ΔI1oa2I1有一個公共角即∠I1sI1oI1,并且∠I1oI1I1s與∠I1oa2I1相等(都等于弦切角∠I1sI1oI1),所以ΔI1oI1I1s∽ΔI1oa2I1,故

圖4 P2和η的幾何讀取

(22)

將式(8)、式(22)代入式(21)得,

(23)

根據輸出和輸入功率的讀取公式,即式(23)和式(20),得效率表達式為

(24)

(25)

(26)

將式(25)、式(26)代入式(24)得

(27)

(28)

圖4中存在相似直角三角形,即Δefh∽Δekc,因此

(29)

將式(29)代入式(28),結果再代入式(27)得

(30)

5 在非接觸電能傳輸系統分析中的應用

非接觸電能傳輸(Contactless Power Transmission,CPT),是指不通過導線或導體連接,利用某種場或波,在一定距離內實現電能的有效傳輸。

圖5 感應耦合CPT系統簡化電路模型

從電路模型上看,CPT系統可以抽象成有載二端口網絡,如圖5所示。利用電路理論,可以很容易求出二端口網絡的某種參數方程。這樣,對CPT系統電氣性能的分析,就變成了對該有載二端口網絡的分析。

基于本文第2至4節的解析幾何分析原理,本文設計了“非接觸式電能傳輸系統的幾何分析法”軟件[4]?？梢赃x擇四種阻抗補償結構,針對每種結構,都能用幾何圖形描繪出等效負載阻抗及其他元件參數變化時,主要電氣量的聯動變化趨勢。軟件設計了許多交互內容,可以通過交互窗口設置元件參數,幾何分析法軟件交互操作主窗口如圖6所示。

圖6 幾何分析法軟件交互操作主窗口

當ZL設置為電阻(在CPT系統中總是希望得到電阻性負載),從初始的10 Ω,按照30 Ω的步進量變到250 Ω,可以得到如圖7所示的圖像。由圖7可見,隨著負載阻抗模的增大,輸入電流沿著圓弧逐漸上移,輸入電流值逐漸減小,輸出電流也逐漸減小,輸出電壓則逐漸增大;輸入有功功率先增大到一個最大值后,又很快下降;輸入無功功率逐漸減小,開始減小得很快,之后較慢;輸入側功率因數角先減小后增大。

圖7 |ZL|步進變化時CPT系統電氣量的聯動變化

圖8 φL步進變化時CPT系統電氣量的聯動變化

6 結語

在電路分析中,除了使用各種解析法和數值法外,還可以有條件地使用包括解析幾何在內的各種圖解法,這是因為按正弦規律變化的電壓和電流,可以變換為復數的電壓相量和電流相量,這些相量都對應著復平面的有向線段。當電路某參量發生變化時,這些相量就會隨之變化,即數學意義上的映射。根據映射的幾何圖形進行分析,可以很直觀地看出各電氣量之間牽一發而動全身的聯動關系。這樣可以促進教學內容的創新,并促進復變函數在電路分析中的應用。