線性長波越過水下環礁引起的Bragg共振分析

傅丹娟，劉必勁，毛豪東，張振偉

（1. 廈門理工學院土木工程與建筑學院 ，福建 廈門 361024；2. 浙江大學海南研究院，海南 三亞 572025）

波浪Bragg 共振指在特定頻率波的傳播方向上與某些特殊地形（如正弦沙紋、系列人工沙壩）相互作用，而使波產生最強反射的現象。波浪Bragg 共振最早由Davies［1］提出，他在研究波浪作用于水下有限正弦沙壩地形時發現，當入射波波長為沙壩波長2倍時，共振產生且反射系數最大。之后學者們也進行相關實驗驗證此結論［2-4］。受此啟發，科學家們提出建設系列周期性人工沙壩或潛堤來抵抗波浪侵襲的設想，以達到生態建設及海岸防護協調發展。近年來，關于海底周期起伏地形激發的波浪Bragg 共振的物理機制及應用研究已成為水波研究的一個熱點［5-12］。且隨著越來越多的工程項目在島礁上開發和建設，波浪在島礁上的傳播變形也越來越受到學者們的關注。然而，島礁與常見的緩變岸灘 （沙壩、潛堤、陸架等）相比，島焦波浪的傳播變形規律有較大的不同。珊瑚環礁是島礁極具代表性的形式之一，發育成熟的珊瑚環礁中心一般有寬廣的深淺不一的瀉湖。如環礁這般高低起伏的地形，是否具備激發波浪Bragg 共振的特性，還未見系統研究。為此，本文基于線性長波方程給出波浪越過水下環礁傳播變形的解析解，并定義波浪散射系數，探討環礁地形周圍Bragg 共振的存在性及存在條件。

1 模型及解決技術

1.1 理論推導

環礁地形剖面如圖1 所示。假設地形是軸對稱的，采用極坐標系，坐標原點為環礁瀉湖中心。整個區域的水深函數h（r）表示為

圖1 環礁地形截面圖：s= 2Fig.1 Section sketch of atoll: s= 2

式（1）中：r1為中心到脊頂處的橫向距離；r2為中心到環礁邊界的橫向距離；h0為中心處水深；h1為脊頂處的水深；h2為外海水深；s 為任意正有理數。地形參數a和b由r1、h0、h1和m 決定：a = （h0-h1）/，b =。另外，r2與h2滿足關系式

基于長波假設，對于軸對稱地形，采用如下方程來描述波浪的運動：

式（3）中：η（r， θ） 為自由水面函數；h（r）為靜水水深；ω為角頻率；g 為重力加速度。

對于水深如式 （1） 所示的地形，方程（3）的解可表示為

式（4）中：

式（4）、（5）中：k2為入射波波數；Jn是第一類的n階Bessel函數；Hn是第一類的n階Hankel函數；εn是Jacobi符號；m、p、q為整數且滿足m ≥ 1、 p ≥ 1、 q ≥ 2。

1）當m =1時，有

式（8）中：u=w/g。

2）當m = 2時，有

3）當m > 2時，有

4）當p＜q時，有

5）當q ＜p＜2q時，有

6）當p > 2q時，有

式（14）、（15）中：

基于連續性條件，在相鄰區間交界處（即r=r1和r=r2）波高相等，流量相等，可得待定系數An、β1，n、β2n及Dn的值。

1.2 散射系數

定義散射系數為

由式（18）可知，KS是關于方向角θ和徑向r的函數。

2 環礁激發的Bragg共振

2.1 Bragg共振存在性

為研究環礁地形上Bragg 共振的存在性，考慮如下的地形參數：h1=10 m，h0=20 m， h2= 21.5 m，r1= 1 000 m， r2= 1 200 m，S = 2r1=2 000 m， s = 4；考慮波長計算范圍：0＜ 2S/L ≤ 3， 則無因次水深計算范圍為：0＜ k2h2＜ 0.1，滿足淺水方程適用范圍。其中，S是島礁脊頂間距。

圖2給出了環礁迎浪面不同方向散射系數隨波長的變化趨勢。由圖2可以看出，迎浪面正面（θ =π） 有Bragg 共振產生，顯示在2S/L=1、2、3 附近（即：環礁脊頂距離與半波長比值的整數倍附近），散射系數達到最大值和極大值，說明在這些頻率下環礁對波浪的散射最強。但是，共振頻率并不落在整數上。如圖2 所示，主共振在2S/L = 1.16 時產生，次共振位于2S/L=1.92 處。之前，眾多學者［13-15］對水下周期性起伏地形 （如正弦沙紋、人工沙壩、系列溝槽等）激發的Bragg共振反射問題進行研究時，也發現共振發生的頻率不會出現在2S/L=1 處，而是會有所偏移，如系列溝槽等地形主頻出現在2S/L>1 處，而對于正弦沙紋及人工沙壩等地形，主頻出現在2S/L＜1 的位置?？梢?，三維的環礁地形跟沙壩、溝槽等二維地形所激發的Bragg共振在頻偏移上還是有差異，需進一步加以更深入的研究。

圖2 不同方向散射系數隨波長2S/L的變化趨勢（h1 =10 m, h0 =20 m, h2 = 21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m, s = 4）Fig.2 Relation between scattering rate and 2S/L at different directions（h1 =10 m, h0 =20 m, h2 = 21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m, s = 4）

由圖2可見，隨著方向的的偏轉，共振頻率的偏移程度越大。在θ =3π/4，θ =π/2方向上，已不滿足Bragg 共振的規律，主振頻率大大地偏離了2S/L=1 位置。還可以觀察到，當2S/L=2.24 時，θ =3π/4方向共振產生，而此時 θ = π 方向上的散射系數剛好接近極小值。

圖3 給出了頻率2S/L = 1.16、1.56 和2.24 時的環礁周圍的整體波振幅分布。從圖3 可見，當2S/L = 1.16迎浪面的散射效應非常強，觀察到明顯的駐波存在；當2S/L = 1.56時，迎浪面散射很小，波振幅沒有明顯的變化，波能量主要集中在山脊處和背浪面；當2S/L = 2.24 時，可以觀察到θ =3π/4 方向上有駐波存在，而迎浪面正向（θ =π）的波幅反而更小。

圖3 不同頻率下的波振幅分布圖Fig.3 Amplitude distribution of wave with different frequencies

2.2 環礁瀉湖深度對Bragg共振的影響

由上文可知，環礁可以激發其在迎浪面正面的Bragg 共振。本節主要討論環礁所環抱的中心瀉湖深度對Bragg共振的影響。取地形參數h1=10 m，h2=21.5 m，r1=1 000 m，r2=1 200 m，瀉湖深度h0分別取h0=20 m、h0=15.2 m、h0=10.038 m，對應的參數s 為4、5、16，即深度由深到淺。不同深度下，散射系數隨波長2S/L的變化趨勢如圖4所示。

圖4 不同瀉湖深度，散射系數隨波長2S/L的變化趨勢（h1 =3.2 m, h2 =21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m）Fig.4 Relation between scattering rate and 2S/L at different lagoon depth（h1 =10 m, h0 =20 m, h2 = 21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m）

由圖4可以看出，隨著深度的變淺，即使是正向處的散射也越來越不滿足Bragg共振規律，如h0=15.2 m，h0=10.038 m情況所示，但是在 2S/L=1附近還是可以取到散射系數的極大值。

3 結論

本文基于線性長波理論研究長波越過水下環礁激發的Bragg 共振問題。研究發現，有深瀉湖的水下環礁具備產生Bragg共振的特性，當其頂部瀉湖的直徑約為1/2入射波長的整數倍（即2S/L=1，2S/L=2，2S/L=3）時，將激發迎浪面正面（θ =π）的水波共振，將很大的一部分波浪散射于外海。共振規律隨著方位的偏移及瀉湖深度的變淺而逐漸消失；在θ =3π/4，θ =π/2 方向上，已不滿足Bragg 共振的規律，主振頻率大大地偏離了2S/L=1 位置，且隨著深度的變淺，即使是正向處的散射也越來越不滿足Bragg 共振規律；在另一些特定的入射波頻率下，環礁還可激發其他方位上的共振，如當入射波頻率為2S/L=2.24時，可激發θ =3π/4方位上共振。

環礁激發的Bragg 共振現象的發現，將補充現有的水波Bragg 共振理論，為島礁周圍的工程建設及船舶航行提供一定的理論指導。