具有飽和恢復率的SEIR時滯模型的行波解

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.01.005

收稿日期：20221229;修改稿收到日期：20230320

作者簡介：衛珍妮（1998—），女，陜西西安人，碩士研究生.主要研究方向為微分動力系統及其應用.

Email：2829088212@qq.com

摘要：研究一類具有飽和恢復率的SEIR時滯模型的行波解.首先，考慮一類二維系統初值問題的適定性；然后，通過構造一對有界的向量值上、下解得到一個閉凸集；最后，利用Schauder不動點定理證明：當基本再生數R0>1，波速c>c*時模型存在非平凡行波解.

關鍵詞：SEIR模型；飽和恢復率；時滯；行波解；Schauder 不動點定理

中圖分類號：O 175.1??? 文獻標志碼：A??? 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）01-0020-10

Traveling wave solutions for a delayed SEIR model with

saturated recovery rate

WEI Zhen-ni

（School of Mathematics and Statistics，Xidian University，Xian 710071，Shaanxi，China）

Abstract：The traveling wave solutions are discussed for a delayed SEIR epidemic model with saturated recovery rate.Firstly，the well-posedness of the initial value problem for a class of two-dimensional system is considered.Then by constructing the bounded vector-value upper-lower solutions，a closed convex set is obtained.Finally，the existence of nontrivial traveling wave solutions is proved for basic reproduction number R0>1，wave velocity c>c* by applying the Schauders fixed point theorem.

Key words：SEIR model;saturated recovery rate;time delay;traveling wave solution;Schauders fixed point theorem

0? 引言

為研究瘟疫的傳播，1927年，Kermack等［1］提出了經典的SIR模型

ddtS（t）=-βS（t）I（t），

ddtI（t）=βS（t）I（t）-γI（t），

ddtR（t）=γI（t），（1）

其中S（t），I（t），R（t）分別代表易感者、感染者和康復者的人口密度；β，γ分別代表感染率和恢復率.令S（0）=S0表示疫情之初易感者的人口密度，則R0=βS0/γ在模型（1）中定義了閾值行為：R0>1，感染者數量增至最大值而后降低為零，意味著疾病暴發；R0<1，則疾病消亡.稱R0為模型（1）的基本再生數.

考慮易感者和感染者個體隨機游走等因素，Hosono等［2］提出了具有局部擴散的SIR模型

tS（x，t）=d1ΔS（x，t）-

βS（x，t）I（x，t），

tI（x，t）=d2ΔI（x，t）+

βS（x，t）I（x，t）-γI（x，t），（2）

并證明了：當βS0>γ，c≥c*=2d2（βS0-γ）時，系統（2）存在連接（S0，0）和（S∞，0）的行波解

（φ（x+ct），ψ（x+ct））；當βS0≤γ時，系統不存在行波解.

近年來，反應擴散方程的行波解問題得到了越來越多的關注，原因在于行波現象廣泛存在于化學、物理、生態學等諸多學科中.行波解是一類形式不變的特殊解，一方面，在理論研究中，它可以作為系統的穩態解揭示方程的一些固有性質；另一方面，在實際建模應用中，它可以較好地刻畫自然界的某種傳播現象，例如傳染源以特定速度在空間中的傳播.關于行波解的存在性問題讀者可參見文獻［3-11］.

2009年，Ducrot等［3］研究了一類具有感染年齡結構的擴散SIR 模型行波解的存在性.基于文獻［3］的方法，一些學者研究了非局部擴散 SIR 模型和動物流感模型的行波解.Wang等［5］通過構造一個不變錐并借助 Schauder 不動點定理，證明了具有非局部時滯的擴散 SIR 模型行波解的存在性；Zhang 等［6］研究了配合治療的流感模型行波解的存在性.根據多數情況下疾病發生的兩個特點：一是疾病早期具有潛伏期，二是感染者痊愈后具有一定的免疫力；Schwartz等［12］提出了易感者-暴露者-感染者-移出者（SEIR）模型并對此做了深入研究.Tian等［10］研究了具有標準發生率的擴散 SEIR 模型行波解的存在性，得到了更精確的最小波速的估計.考慮人口分布的非齊次性等實際情況，Xu［11］建立了具有飽和發生率的擴散 SEIR 模型，討論了模型非平凡行波解的存在性，并給出基本再生數的顯式表達式.結合屬地醫院醫療條件，Zhou等［13］分析了具有飽和恢復率的 SEIR 模型的全局動力學行為.

基于以上文獻，本文考慮具有飽和恢復率的 SEIR 模型

tS（x，t）=d1ΔS（x，t）-

βS（x，t）g（I（x，t）），

tE（x，t）=d2ΔE（x，t）-

βS（x，t）g（I（x，t））-

βS（x，t-τ）g（I（x，t-τ）），

tI（x，t）=d3ΔI（x，t）-

βS（x，t-τ）g（I（x，t-τ））-

γI（x，t）-rhI（x，t）b+I（x，t），

tR（x，t）=d4ΔR（x，t）+γI（x，t）+

rhI（x，t）b+I（x，t），（3）

其中S（x，t），E（x，t），I（x，t），R（x，t）分別表示t時刻在空間位置x處易感人群、暴露人群、感染人群和移出人群的密度，暴露人群是指患病但不具備傳染能力的一類人；di>0（i=1，2，3，4）分別為S，E，I，R的擴散系數，β和γ分別為感染者的有效傳染率和自然恢復率；βSg（I）=βSI/（1+aI）（a>0）刻畫感染人群的“擁擠效應”，即隨著感染者的增多，疾病的感染能力接近飽和，其中a表示飽和度.

考慮到疫情嚴重時期，待治療的患者數量可能超過屬地醫院的最大容納量，從而醫護人員、床位、設備等醫療資源趨于飽和，故引入感染者的飽和恢復率h（I）=rhI/（b+I），其中rh表示單位時間內醫院收治的患者最大恢復率，b是半飽和常數，表示感染者達到50%恢復率時的人口密度（h（b）=rh/2），用于衡量飽和發生的速度.此外，大規模流行病一般存在潛伏期，也就是易感者與感染者有效接觸后，易感者隨即成為不具有染病能力的暴露者，需要經過一段時間才由暴露者轉化為感染者，故引入時滯參數τ.模型考慮區域短時間內疾病的傳播，因而不考慮人群的自然出生和死亡.

本文考慮時滯偏微分系統（3）行波解的存在性，我們證明了：存在c*>0使得當c>c*，βS-∞>γ+rh/b時，系統（3）存在非平凡行波解.模型引入的飽和恢復率使得系統上、下解的構造與以往不同，故研究的困難在于構造合適的不變集.我們嘗試構造一對有界的上、下解，借此得到一個不變集，而后在其上定義非單調算子并應用Schauder不動點定理，最終得到行波解的存在性.

1? 初值問題的適定性

首先討論系統（3）對應的二維初值問題的適定性.由于系統（3）關于變量E，R是解耦的，故考慮二維系統

tS（x，t）=d1ΔS（x，t）-

βS（x，t）g（I（x，t）），

tI（x，t）=d3ΔI（x，t）+

βS（x，t-τ）g（I（x，t-τ））-

γI（x，t）-rhI（x，t）b+I（x，t），（4）

其中g（I）=I/（1+aI），初值條件為

S（x，θ）=φ1（x，θ）≥0，

I（x，θ）=φ2（x，θ）≥0，

θ∈［-τ，0］，x∈R.（5）

令X=BUC（R，R2）表示從R到R2的有界且一致連續函數的集合，則X+=BUC（R，R2+）是X的正錐.（X，·X）表示具有上確界范數的Banach空間.R2中任意向量可以看作是X中的元素.給定u=（u1，u2），=（1，2）∈X，若ui（x）≥i（x），i=1，2，x∈R，則記作u≥.

對任意τ>0，定義空間Y=C（［-τ，0］，X），其范數為上確界范數，則Y是一個Banach空間.定義空間Y+=C（［-τ，0］，X+），則（Y，Y+）為強序空間.給定元素φ：［-τ，δ］X（δ>0），定義φt∈Y為：

φt（θ）=φ（t+θ），θ∈［-τ，0］.

對于任意φ=（φ1，φ2）∈Y+，定義算子f=（f1，f2）：Y+X為：

f1（φ）（x）=-βφ1（x，0）g（φ2（x，0）），

f2（φ）（x）=βφ1（x，-τ）g（φ2（x，-τ））-

γφ2（x，0）-rhφ2（x，0）b+φ2（x，0），

則f在Y+的任意有界子集上是Lipschitz連續的.

定義

CφM={φ∈Y：0≤φ（x，θ）<φM，

x∈R，θ∈［-τ，0］}，

其中

φM=S-∞，1aβS-∞γ-1.

定理1? 對于任意給定初值φ=（φ1，φ2）∈CφM，系統（4）～（5）在［0，∞）上存在唯一的非負解滿足S（x，θ）=φ1（x，θ），I（x，θ）=φ2（x，θ），并且對任意t≥0，有（S，I）t∈CφM.

證明? 對任意初值φ=（φ1，φ2）∈CφM以及充分小的正數h，有

φ（x，0）+hf（φ）（x）≥

1-hβaφ1（x，0）

1-hrhbφ2（x，0）.

從而令0≤h≤min{a/β，b/rh}，則

φ（x，0）+hf（φ）（x）≥0.

另一方面，因為h

φ（x，0）+hf（φ）（x）≤

φ1（x，0）

1-hrhb+φ2（x，0）φ2（x，0）≤

S-∞

1aβS-∞γ-1.

因此φ（0）+hf（φ）∈CφM，即

limh→0+1hdist（φ（0）+hf（φ），CφM）=0，φ∈CφM.

由文獻［14］推論4可知，系統（4）～（5）在［0，∞）×R上存在唯一的非負適度解（S，I）滿足初值條件，并對任意t≥0，（S，I）t∈CφM.此外，由文獻［15］推論2.5可知，在［τ，∞）上，（S，I）解也為古典解.? 】

2? 上、下解的構造

本節主要討論系統上、下解的構造，進而利用Schauder不動點定理證明行波解的存在性.

顯然，（S-∞，0）是系統（4）的初始無病平衡點，其中S-∞表示疫情之前易感者的人口密度.設系統存在非平凡行波解（S（x+ct），I（x+ct）），令ξ=x+ct，則系統（4）改寫為常微分系統

cS′（ξ）=d1S″（ξ）+βS（ξ）g（I（ξ）），

cI′（ξ）=d3I″（ξ）+βS（ξ-cτ）×

g（I（ξ-cτ））-γI（ξ）-

rhI（ξ）b+I（ξ）.（6）

對任意ξ∈R，S（ξ），I（ξ）應當滿足邊界條件

S（-∞）=S-∞， S（∞）

I（±∞）=0.（7）

系統（6）關于變量I在無病平衡點（S-∞，0）處線性化可得

d3I″（ξ）-cI′（ξ）-γ+rhbI（ξ）+

βS-∞I（ξ-cτ）=0.

令I（ξ）=eλξ，則系統相應的特征方程為

Δ（λ，c）=d3λ2-cλ-λ+rhb+βS-∞e-λcτ=0.

根據文獻［16］可得如下引理.

引理1? 假設βS-∞>γ+rh/b，則存在λ*>0，c*>0使得

Δ（λ*，c*）=0，

Δλ（λ，c）（λ*，c*）=0.

此外，

（i）若00有Δ（λ，c）>0.

（ii）若c>c*，則特征方程Δ（λ，c）=0有兩個正根λ1（c）=λ1，λ2（c）=λ2滿足0<λ1<λ*<λ2，且當λ∈（λ1，λ2）時，Δ（λ，c）<0；當λ∈［0，λ1）∪（λ2，∞）時，Δ（λ，c）>0.

為了利用Schauder不動點定理證明系統（4）行波解的存在性，首先考慮構造一個凸不變集.為此，根據文獻［5］，構造了一對上、下解，不同于文獻［5］的是：上、下解在t∈R上有界.本節假定βS-∞>γ+rh/b，c>c*.

對于ξ∈R，定義連續函數

S+（ξ）=S-∞，

I+（ξ）=mineλ1ξ（1-M1eη1ξ），

1aβS-∞γ-1，

S-（ξ）=maxS-∞-1σeσξ，0，

I-（ξ）=max{eλ1ξ（1-M2eη2ξ），0}，

其中σ，M1，M2，η1，η2是正常數.

引理2? S+（ξ）滿足

d1S″+（S）-cS′+（ξ）-βS+（ξ）g（I-（ξ））≤0，

ξ∈R.

引理3? 令η1>0，M1充分小，則I+（ξ）滿足

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）+

βS+（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））-

γI+（ξ）-rhI+（ξ）b+I+（ξ）≤0，

ξ≠ξ1，（8）

其中ξ1滿足

eλ1ξ（1-M1eη1ξ）=1aβS-∞γ-1.

證明? 當ξ>ξ1時，I+（ξ）=eλ1ξ（1-M1eη1ξ）.對所有ξ∈R有I+（ξ）≤eλ1ξ（1-M1eη1ξ），且對所有x>0有g（x）≤x，所以

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）+

βS+（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））-

γI+（ξ）-rhI+（ξ）b+I+（ξ）≤

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）-γI+（ξ）+

βS+（ξ-cτ）I+（ξ-cτ）=

eλ1ξΔ（λ1，c）+rhb-

M1e（λ1+η1）ξ

Δ（λ1+η1，c）+rhb≤0.

當ξ<ξ1時，

I+（ξ）=1aβS-∞γ-1.

同理

I+（ξ）≤1aβS-∞γ-1

且g（x）關于x遞增，所以

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）+

βS+（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））-

γI+（ξ）-rhI+（ξ）b+I+（ξ）≤

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）-

γI+（ξ）+βS-∞g（I+（ξ-cτ））=

γaβS-∞γ-1-

γaβS-∞γ-1=0.

因此不等式（8）成立.? 】

引理4? 令

σ

則S-（ξ）滿足

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥0，

ξ≠ξ2：=1σln（σS-∞）.

證明? 當ξ≥ξ2時S-（ξ）=0，不等式顯然成立.當ξ<ξ2時S-（ξ）=S-∞-

eσξ/σ>0.對任意ξ∈R，I+（ξ）≤eλ1ξ（1-M1eη1ξ）≤eλ1ξ，且對任意x>0有g（x）≤x，所以

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）I+（ξ）=

-d1σeσξ+ceσξ-βS-∞-1σeσξeλ1ξ≥

eσξ（-d1σ+c-βS-∞e（λ1-σ）ξ）.

由eσξ<σS-∞，2σ<λ1可得e（λ1-σ）ξ<（σS-∞）（λ1-σ）/σ，于是

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥

eσξ（-d1σ+c-βS-∞（σS-∞）（λ1-σ）/σ）.

由（9）式可知，（σS-∞）（λ1-σ）/σ<σS-∞<1，所以

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥

eσξ（-d1σ+c-βσ（S-∞）2）≥0.? 】

引理5? 令η1<η2

M2>max1，M1，-βe-λ1cτ（1+aσS-∞e-λ1cτ）σΔ（λ1+η2，c），

則I-（ξ）滿足

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）+

βS-（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））-

γI-（ξ）-rhI-（ξ）b+I-（ξ）≥0，（10）

其中ξ≠ξ3=-lnM2/η2.

證明? 當ξ≥ξ3時I-（ξ）=0，不等式恒成立.當ξ<ξ3<0時I-（ξ）=eλ1ξ（1-M2eη2ξ）.對所有x≥0有g（x）≥x（1-ax），且

S-∞-1σeσξ≤S-（ξ）≤S-∞，

eλ1ξ（1-M2eη2ξ）≤I-（ξ）≤

eλ1ξ（1-M1eη1ξ）， ξ∈R.

所以

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）+

βS-（ξ-cτ）g（I-（ξ-cτ））-

γI-（ξ）-rhI-（ξ）b+I-（ξ）≥

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）-γ+rhbI-（ξ）+

βS-（ξ-cτ）I-（ξ-cτ）（1-aI-（ξ-cτ））≥

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）-γ+rhbI-（ξ）+

βS-∞-1σeσξ

（eλ1（ξ-cτ）-M2e（λ1+η2）（ξ-cτ）-

aβS-∞e2λ1（ξ-cτ）≥

-M2Δ（λ1+η2，c）e（λ1+η2）ξ-

βσeσξ（eλ1（ξ-cτ）-M2e（λ1+η2）（ξ-cτ））-

aβS-∞e2λ1（ξ-cτ）≥

e（λ1+η2）ξ-M2Δ（λ1+η2，c）-

βσe-λ1cτe（σ-η2）ξ-aβS-∞e-2λ1cτe（λ1-η2）ξ.

由于η2

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）+βS-（ξ-cτ）×

g（I-（ξ-cτ））-γI-（ξ）-rhI-（ξ）b+I-（ξ）≥

e（λ1+η2）ξ-M2Δ（λ1+η2，c）-

βσe-λ1cτ-aβS-∞e-2λ1cτ>0.

因此不等式（10）成立.? 】

下面利用構造的上、下解（S+（ξ），I+（ξ））和（S-（ξ），I-（ξ））驗證Schauder不動點定理成立的條件.為閱讀方便和計算，記擴散系數d3=Δd2.

當c>c*時，定義CφM上的非空閉凸集

Γ={（S，I）∈CφM：S-（ξ）≤S（ξ）≤

S+（ξ），I-（ξ）≤I（ξ）≤I+（ξ）}.

定義算子G=（G1，G2）：ΓCφM為

G1（S，I）（ξ）：=α1S（ξ）-βS（ξ）g（I（ξ）），

G2（S，I）（ξ）：=（α2-γ）I（ξ）+

βS（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））-rhI（ξ）b+I（ξ），

其中αi（i=1，2）是常數，且α1>β/a，α3>（γb+rh）/b.則系統（6）改寫為

d1S″（ξ）-cS′（ξ）-α1S（ξ）+

G1（S，I）（ξ）=0，

d2I″（ξ）-cI′（ξ）-α2I（ξ）+

G2（S，I）（ξ）=0.（11）

令Λ-i<0<Λ+i（i=1，2）為方程diΛ2-cΛ-αi=0的根，根據韋達定理可得Λ-iΛ+i=-αi/di.定義算子F=（F1，F2）：ΓC（R，R2）為

F1（S，I）（ξ）：=1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+

∫∞ξeΛ+1（ξ-x）G1（S，I）（x）dx，

F2（S，I）（ξ）：=1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+

∫∞ξeΛ+2（ξ-x）G2（S，I）（x）dx，

其中ρi=di（Λ+i-Λ-i）（i=1，2）.容易驗證F的任何不動點都是系統（11）的解，亦是系統（4）的行波解.因此證明系統（6）解的存在性轉化為驗證算子F滿足Schauder不動點定理的條件.這里將證明分成兩個引理.

引理6? 算子F是Γ上的映射.

證明? 給定（S，I）∈Γ，只需證Fi（S，I）∈Γ（i=1，2）.基于常數αi（i=1，2）的選取，需證明對任意ξ∈R，有

S-（ξ）≤F1（S-，I+）（ξ）≤F1（S，I）（ξ）≤

F1（S+，I-）（ξ）≤S+（ξ），（12）

I-（ξ）≤F2（S-，I-）（ξ）≤F2（S，I）（ξ）≤

F2（S+，I-）（ξ）≤I+（ξ）.（13）

首先證明（12）式成立.當ξ>ξ2時，由（11）式可得

F1（S-，I+）（ξ）=

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

G1（S-，I+）（x）dx=

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

（α1S-（x）+cS′-（x）-d1S″-（x））dx≥

S-（ξ）+d1ρ1eΛ-1（ξ-ξ2）（S′-（ξ2+0）-

S′-（ξ2-0））≥S-（ξ）.

由F1（S-，I+）（ξ）和S-（ξ）的連續性可知，當ξ<ξ2時，有

F1（S-，I+）（ξ）≥S-（ξ）.

對任意ξ∈R有G1（S，I）（ξ）≤α1S（ξ），從而

F1（S+，I-）（ξ）=

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

G1（S+，I-）（x）dx≤

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）α1S+（x）dx≤

α1S-∞ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）dx+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）dx=

α1S-∞ρ11Λ+1-1Λ-1=S-∞.

因此（12）式成立.

下證（13）式成立.當ξ>ξ3時，由（10）式可得

F2（S-，I-）（ξ）=

1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+2（ξ-x）×

G2（S-，I-）（x）dx≥

1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

（α2I-（x）+cI′-（x）-d2I″-（x））dx≥

I-（ξ）+d2ρ2eΛ-2（ξ-ξ3）（I′-（ξ3+0）-

I′-（ξ3-0））≥I-（ξ）.

當ξ<ξ1時，由（8）式可得

F2（S+，I+）（ξ）=

1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+2（ξ-x）×

G2（S+，I+）（x）dx≤

1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+2（ξ-x）×

（α2I+（x）+cI′+（x）-d2I″+（x））dx=

α2ρ2I+（ξ）∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）dx+

∫∞ξeΛ+2（ξ-x）dx=I+（ξ）.

進一步應用F2（S，I）（ξ），I-（ξ），I+（ξ）的連續性，可得（13）式成立.? 】

設存在常數λ>0，使得λ<-min{Λ-1，Λ+1}.定義空間

Bλ（R，R2）=（S，I）∈CφM：

supξ∈RS（ξ）e-λ｜ξ｜<+∞，

supξ∈RI（ξ）e-λ｜ξ｜<+∞

及范數

（S，I）λ=maxsupξ∈RS（ξ）e-λ｜ξ｜，

supξ∈RI（ξ）e-λ｜ξ｜，

則Bλ（R，R2）是從R到R2且具有衰減范數·λ的Banach空間.

引理7? 算子F=（F1，F2）：ΓΓ關于范數·λ在Bλ（R，R2）上是全連續的.

證明? 對任意（S，I），（，）∈Γ，由微分中值定理可知：存在常數L>0，對任意ξ∈R，有

G1（S，I）（ξ）-G1（，）（ξ）≤

L（S（ξ）-（ξ）+I（ξ）-（ξ）），

G2（S，I）（ξ）-G2（，）（ξ）≤

L（S（ξ-cτ）-（ξ-cτ）+

I（ξ-cτ）-（ξ-cτ）+

I（ξ）-（ξ））.

因而對任意（S，I），（，）∈Γ，有

F1（S，I）（ξ）-F1（，）（ξ）≤

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

G1（S，I）（x）-G1（，）（x）dx≤

Lρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

（S（x）-（x）+I（x）-（x））dx.

所以

F1（S，I）（ξ）-F1（，）（ξ）e-λ｜ξ｜≤

2Lρ1

∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

eλ｜x｜-λ｜ξ｜dxS-Iλ≤

2Lρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）eλ（｜ξ｜-｜x｜）dx+

∫∞ξeΛ+1（ξ-x）e-λ（｜x｜-｜ξ｜）dxS-Iλ=

2Lρ11Λ+1-λ-1Λ-1+λS-Iλ，

因此算子F1關于范數·λ是連續的. 類似可得算子F2也是連續的.

下證算子F關于范數·λ是緊的. 對任意（S，I）∈Γ，ξ∈R，有

ddξF1（S，I）（ξ）=

1ρ1∫ξ-∞Λ-1eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξΛ+1eΛ+1（ξ-x）×

G1（S，I）（x）dx≤

S-∞ρ1α1+βa×

∫ξ-∞Λ-1eΛ-1（ξ-x）dx+∫∞ξΛ+1eΛ+1（ξ-x）dx=

2S-∞ρ1α1+βa.（14）

同理可得，對任意ξ∈R，有

ddξF2（S，I）（ξ）≤

1ρ2α2I（ξ）+rhbI（ξ）×

∫ξ-∞Λ-2eΛ-2（ξ-x）dx+

∫∞ξΛ+2eΛ+2（ξ-x）dx=

2aρ2α2+rhbβS-∞γ-1.（15）

因此Fi（S，I）（i=1，2）關于ξ連續.

另一方面，對任意（S，I）∈Γ，算子F：ΓΓ滿足

F1（S，I）（ξ）

F2（S，I）（ξ）≤1aβS-∞γ-1， ξ∈R.

因此對任意ε>0，存在N>0（N∈N），使得對任意ξ>N，都有

（F1（S，I）（ξ）+F2（S，I）（ξ））e-λ｜ξ｜≤

S-∞+1aβS-∞γ-1e-λN<ε.（16）

由（14）～（15）式及Arzel-Ascoli定理，可以選取F（Γ）中有限個元素使得當ξ

3? 行波解的存在性

定理2? 假定R0>1.對任意c>c*，系統（4）存在非平凡行波解（S（x+ct），I（x+ct）），滿足

0

0

及邊界條件

S（-∞）=S-∞， S（∞）=S∞， I（±∞）=0.

此外，S（ξ）關于ξ∈R單調遞減，且

∫∞-∞S（x）g（I（x））dx=cβ（S-∞-S∞），

∫∞-∞I（ξ）dξ=cbγb+rh（S-∞-S∞）.

0

證明? 當c>c*時，根據引理6和引理7，由Schauder不動點定理可得，（S，I）∈Γ是算子F的不動點，因此（S（x+ct），I（x+ct））是系統（4）的行波解，且

0≤S（ξ）≤S-∞，

0≤I（ξ）≤1aβS-∞γ-1， ξ∈R.

下證（17）式成立.設（S，I）∈Γ是算子F的不動點，則S（ξ）=F1（S，I）（ξ）.由于S-（ξ）是連續函數且不恒為零，從而

G1（S-，I+）（ξ）=

α1S-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥

α1-βaS-（ξ）， ξ∈R.

因此

S（ξ）=F1（S，I）（ξ）≥F1（S-，I+）（ξ）=

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

G1（S-，I+）（x）dx≥

α1-βa

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）S-（x）dx+

α1-βa1ρ1∫∞ξeΛ+1（ξ-x）

S-（x）dx>0.

類似可證其余不等式也成立，因此（17）式成立.

以下我們將證明分為四個步驟.

（Ⅰ）分析當ξ→-∞時，S（ξ），I（ξ）的漸近邊界條件.

由上下解的定義可知，對任意ξ∈R，有

S-∞-1σeσξ≤S（ξ）≤S-∞，

eλ1ξ（1-M2eη2ξ）≤I（ξ）≤eλ1ξ（1-M1eη1ξ），

所以由極限性質可得

limξ→-∞S（ξ）=S-∞，

limξ→-∞I（ξ）=0.

由于（S，I）∈Γ是算子F的不動點，對映射F1，F2應用LHspital法則可得

limξ→-∞（S′（ξ），I′（ξ））=（0，0）.

（Ⅱ）S（ξ）關于ξ的單調性.

對系統（6）的第一個方程兩邊從-∞到ξ積分可得

d1S′（ξ）=c（S（ξ）-S-∞）+

β∫ξ-∞S（x）g（I（x））dx.（18）

假設積分

∫∞-∞S（x）g（I（x））dx<∞.（19）

若假設不成立，則根據上下解的定義，對所有ξ∈R，00，使得對所有充分大的ξ，有S′（ξ）>δ，那么當ξ→∞時S（ξ）→∞，這與S（ξ）的有界性相矛盾.因此假設成立，從而S′（ξ）對所有ξ∈R一致有界.

由系統（6）的第一個方程得到其等價方程

e（-c/d1）ξS′（ξ）′=

βd1d（-c/d1）ξS（ξ）g（I（ξ））.

等式兩邊從ξ到∞積分得

S′（ξ）=-βd1e（c/d1）ξ∫∞ξe（-c/d1）x×

S（x）g（I（x））dx.

由于S（ξ），I（ξ）>0關于ξ∈R連續，從而對ξ∈R， S′（ξ）<0，因此S（ξ）關于ξ∈R是單調遞減的.

（Ⅲ）分析當ξ→∞時，S（ξ），I（ξ）的漸近邊界條件.

已知S（ξ）關于ξ∈R單調遞減，因此0

I（ξ）=F2（S，I）（ξ）=

12

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+∫∞ξe+2（ξ-x）βS（x-cτ）×

g（I（x-cτ））-rhI（x）b+I（x）dx，（20）

其中-2<0<+2為方程d22-c-γ=0的兩個根，系數2=d2（+2--2）.根據（19）式，令

∫∞-∞S（x）g（I（x））dx=A，

且根據I（ξ）的有界性，令

∫∞-∞rhI（ξ）b+I（ξ）dξ=B，

則由Fubini定理可得

∫∞-∞I（ξ）dξ=12∫∞-∞∫ξ-∞e-2（ξ-x）+

∫∞ξe+2（ξ-x）βS（x-cτ）×

g（I（x-cτ））-rhI（x）b+I（x）dxdξ=

β2∫∞-∞S（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））dξ×

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+∫∞ξe+2（ξ-x）dx-

12∫∞-∞rhI（ξ）b+I（ξ）dξ×

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+∫∞ξe+2（ξ-x）dx=

β21+2-1-2A-

121+2-1-2B=

1γ（Aβ-B）.

對于（S，I）∈Γ，有

0

S（ξ-cτ）I（ξ-cτ）1+aI（ξ-cτ）≤S-∞a， ξ∈R.

所以對任意ξ∈R，有

I′（ξ）≤

β2Λ′-2

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+Λ′+2∫∞ξe+2（ξ-x）×

S（x-cτ）g（I（x-cτ））-rhI（x）b+I（x）dx≤

β2Λ′-2

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+Λ′+2∫∞ξe+2（ξ-x）×

S（x-cτ）g（I（x-cτ））dx≤2βS-∞a2.

因此I′（ξ）是一致有界的，且I（ξ）在R上是可積的，這意味著limξ→∞I（ξ）=0.若不然，則存在ε>0，δ>0以及序列{ξn}，使得對所有ξ-ξn<δ有I（ξ）≥ε，這與I（ξ）的可積性相矛盾.此外，

limξ→∞S（ξ）=S∞，在（18）式中令ξ→∞，則根據（19）

式可得limξ→∞S′（ξ）存在.由于對所有ξ∈R，S′（ξ）<0，從而limξ→∞S′（ξ）≤0，因此limξ→∞S′（ξ）=0.若不然，則limξ→∞S′（ξ）<0，這意味著limξ→∞S（ξ）=-∞，這與S（ξ）的正性相矛盾.

由于limξ→∞S′（ξ）=0，limξ→∞S（ξ）=S∞，于是在（18）式中令ξ→∞，則

A=∫∞-∞S（ξ）g（I（ξ））dξ=

limξ→∞d1S′（ξ）+c（S-∞-S∞）β=

cβ（S-∞-S∞）.（21）

同理可得

∫∞-∞I（ξ）dξ=1γ（Aβ-B）=

cbγb+rh（S-∞-S∞）.（22）

對系統（6）的第二個方程兩邊從-∞到ξ積分得到

d2I′（ξ）=cI（ξ）-

β∫ξ-∞S（x-cτ）g（I（x-cτ））dx+

γ∫ξ-∞I（x）dx+∫ξ-∞rhI（x）b+I（x）dx.

令ξ→∞，則由（21）和（22）式可知，

limξ→∞I′（ξ）=0.

（Ⅳ）證明對任意ξ∈R，有

0

由文獻［8］定理2.9可知，令

Nc（ξ）：=I（ξ）+γb+rhcb∫ξ-∞I（x）dx+

γb+rhcb∫∞ξecd2（ξ-x）I（x）dx， ξ∈R.

（23）

根據已有結論

limξ→-∞Nc（ξ）=0， limξ→∞Nc（ξ）=S-∞-S∞.（24）

對（23）式關于ξ求導可得

N′c（ξ）：=I′（ξ）+

γb+rhbd2∫∞ξecd2（ξ-x）I（x）dx，（25）

從而limξ→-∞N′c（ξ）=limξ→∞N′c（ξ）=0.

對（25）式關于ξ求導，由于I（ξ）滿足系統（6）的第二個等式，且I（±∞）=0，因而

d2N″c（ξ）=

cI′（ξ）+γb+rhbd2∫∞ξecd2（ξ-x）I（x）dx-

βS（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））=

cN′c（ξ）-βS（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））， ξ∈R，

N′c（±∞）=0，

由常數變易法易得

N′c（ξ）=βd2ecξd2∫∞ξe-cξd2S（x-cτ）×

g（I（x-cτ））dx>0， ξ∈R.

因此Nc（ξ）關于ξ是非減的，由（24）式得

0

limξ→∞Nc（ξ）=S-∞-S∞， ξ∈R.

綜上所述，結論成立.? 】

4? 結論

本文討論了一類具有飽和恢復率的SEIR 時滯模型行波解的存在性.首先，討論系統對應的二維初值問題的適定性；其次，構造一對有界的向量值上、下解，利用Schauder不動點定理證明當c>c*時行波解的存在性；最后，得到系統行波解的存在性.這些結論能較好地刻畫從初始無病平衡點到最終無病平衡點這一過程的疾病傳播，并且考慮疾病潛伏期以及屬地醫院的醫療條件也更加貼合實際.與行波解的存在性密切相關的一個問題是其不存在性，猜測當01或R0≤1時，行波解不存在.此外，疾病的長距離傳播或潛伏期的動態變化也是值得考慮的實際問題，這些將是筆者進一步研究的問題.

參考文獻：

［1］? KERMACK W O，MCKENDRICK A G.A Contribution to the mathematical theory of epidemics［J］.Proceedings of the Royal Society of London：Series B，1927，115（772）：700.

［2］? HOSONO Y，ILYAS B.Traveling waves for a simple diffusive epidemic model［J］.Mathematical Models and Methods in Applied Sciences，1995，5（7）：935.

［3］? DUCROT A，MAGAL P.Travelling wave solutions for an infection-age structured model with diffusion［J］.Proceedings of the Royal Society of Edinburgh，2009，139（3）：459.

［4］? WANG Zhi-cheng，WU Jian-hong，LIU Rong-song.Traveling waves of the spread of avian influenza［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，2012，140（11）：3931.

［5］? WANG Zhi-cheng，WU Jian-hong.Travelling waves of a diffusive Kermack-Mckendrick epidemic model with non-local delayed transmission［J］.Proceedings of the Royal Society A，2010，466（2113）：237.

［6］? ZHANG Tian-ran，WANG Wen-di.Existence of traveling wave solutions for influenza model with treatment［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2014，419（1）：469.

［7］? BAI Zhen-guo，WU Shi-liang.Traveling waves in a delayed SIR epidemic model with nonlinear incidence［J］.Applied Mathematics and Computation，2015，263：221.

［8］? ZHAO Lin，ZHANG Liang，HUO Hai-feng. Traveling wave solutions of a diffusive SEIR epidemic model with nonlinear incidence rate［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2019，23（4）：951.

［9］? XU Zhi-ting.Traveling waves in a Kermack-Mckendrick epidemic model with diffusion and latent period［J］.Nonlinear Analysis，2014，111：66.

［10］? TIAN Bao-chuan，YUAN Rong.Traveling waves for a diffusive SEIR epidemic model with standard incidences［J］.Science China Mathematics，2017，60（5）：813.

［11］? XU Zhi-ting.Traveling waves for a diffusive SEIR epidemic model［J］.Communications on Pure and Applied Analysis，2016，15（3）：871.

［12］? SCHWARTZ I B，SMITH H L.Infinite subharmonic bifurcation in an SEIR epidemic model［J］.Journal of Mathematical Biology，1983，18（3）：233.

［13］? ZHOU Xue-yong，CUI Jing-an.Analysis of stability and bifurcation for an SEIR epidemic model with saturated recovery rate［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2011，16（11）：4438.

［14］? MARTIN R H，SMITH H L.Abstract functional-differential equations and reaction-diffusion systems［J］.Transactions of the American Mathematical Society，1990，321（1）：1.

［15］? WU Jian-hong.Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations［M］.New York：Springer，1996：50.

［16］? WENG Pen-xuan，XU Zhi-ting.Wavefronts for a global reaction-diffusion population model with infinite distributed delay［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2008，345（1）：522.

（責任編輯? 馬宇鴻）