保持等價關系的變換半群的一些結果

王守峰 陳輝

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.01.002

收稿日期：20230205;修改稿收到日期：20230510

基金項目：國家自然科學基金資助項目（12271442）

作者簡介：王守峰（1979—），男，山東濟南人，教授，博士.主要研究方向為半群理論及其應用.

Email：wsf1004@163.com

摘要：給出了保持等價關系的變換半群上的格林關系L，R，H和格林*-關系L*，R*，H*相容的充要條件，刻畫了這類半群的左（右， 完全）正則性，得到了這類半群的全體冪等元（正則元， 富足元）構成子半群的等價描述.

關鍵詞：變換半群；格林*-關系；正則性；富足元;冪等元

中圖分類號：O 152.7??? 文獻標志碼：A??? 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）01-0005-06

Some results on transformation semigroups

that preserve an equivalence

WANG Shou-feng，CHEN Hui

（School of Mathematics，Yunnan Normal University，Kunming? 650500，Yunnan，China）

Abstract：For transformation semigroups that preserve an equivalence，sufficient and necessary conditions are given，

in which the Green relations L，R，H and Green *-relations L*，R*，H* are compatible.The left（right， completely） regularity are characterized，and equivalent descriptions are obtained that idempotent（regular， abundant） elements form a subsemigroup.

Key words：transformation semigroup;Green *-relation;regularity;abundant element;idempotent

0? 引言

設X是非空集，T（X）是X上的全體變換半群，E是X上的等價關系，則對x，y∈X，

TE（X）={α∈T（X）：（x，y）∈E（xα，yα）∈E}

形成T（X）的子半群.該半群是裴惠生教授［1］首次引入的，自此，這類半群成為變換半群研究的熱點，得到了國內外學者的廣泛關注.文獻［2，3］討論了TE（X）上的格林關系，文獻［4］討論了TE（X）上的格林*-關系，文獻［5，6］討論了TE（X）上的單位正則元，文獻［7，8］討論了TE（X）上的自然偏序.

本文在上述研究的基礎上刻畫半群TE（X）上格林關系和格林*-關系的相容性、 相等性，以及半群TE（X）的左正則性、右正則性和完全正則性，同時給出其冪等元、正則元和富足元構成子半群的充要條件.

1? 預備知識

對任意α∈T（X）及YX，記

Xα={xα：x∈X}，

Kerα={（x，y）∈X×X：xα=yα}，

Yα-1={x∈X：xα∈Y}.

設S是一個半群，S1表示在S上添加一個單位元后得到的半群.當S中有單位元時，S1表示S本身.根據文獻［9］，半群S上的格林關系L和R定義如下：

L={（a，b）∈S×S：x，y∈S1，使得a=xb，b=ya}，

R={（a，b）∈S×S：x，y∈S1，使得a=bx，b=ay}.

記H=L∩R，則H也是S上的格林關系.

引理1［9］? 設α，β∈T（X），則

（1）（α，β）∈L當且僅當Xα=Xβ；

（2）（α，β）∈R當且僅當Kerα=Kerβ；

（3）（α，β）∈H當且僅當Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.

設X/E是X的E-類構成的集合.對任意的α∈TE（X），記

E（α）={Aα-1：A∈X/E，Aα-1≠}.

引理2［2］? 設α，β∈TE（X），則

（1）（α，β）∈L當且僅當Xα=Xβ，且對任意A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得AαBβ；

（2）（α，β）∈R當且僅當Kerα=Kerβ，E（α）=E（β）；

（3）（α，β）∈H當且僅當Xα=Xβ，Kerα=Kerβ，E（α）=E（β），且對任意A∈X/E，都存在B，C∈X/E，使得AαBβ，AβCα.

引理3［2］? 設α∈TE（X），則α正則當且僅當對任意A∈X/E，存在B∈X/E，使得A∩XαBα.

記

εX={（x，x）：x∈X}，

ωX={（x，y）：x，y∈X}.

引理4［2］? 半群TE（X）正則當且僅當E=εX或E=ωX.此時，TE（X）=T（X）.

設S是半群，則S上的格林*-關系L*和R*定義如下：

L*={（a，b）∈S×S：x，y∈S1，

ax=aybx=by}，

R*={（a，b）∈S×S：x，y∈S1，

xa=yaxb=yb}.

顯然，L*和R*是半群S上的等價關系，L*右相容，R*左相容.記H*=L*∩R*.稱S中的元素a是右（左）富足元，若包含a的L*-類（R*-類）具有冪等元.既是左富足元又是右富足元的元素稱為富足元.進一步，若S的每個元素都是左富足元（右富足元， 富足元），則稱S左富足（右富足，富足）.容易驗證，正則元是富足元，且在正則半群S上，有

L=L*， R=R*， H=H*.

一般情況下，有

LL*， RR*， HH*.

引理5［4］? 設α，β∈TE（X），則

（1）（α，β）∈L*當且僅當Xα=Xβ；

（2）（α，β）∈R*當且僅當Kerα=Kerβ；

（3）（α，β）∈H*當且僅當Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.

對任意α∈TE（X），記X上包含E和Kerα的最小的等價關系為Eα.

引理6［4］? 對半群TE（X）及α∈TE（X），下列結論成立：

（1）TE（X）的每個L*-類都包含冪等元，從而TE（X）是右富足半群；

（2）α是富足元當且僅當：對于每一個Eα-類F，都存在A∈X/E，使得對任意包含在F中的Kerα-類K都有A∩K≠；

（3）TE（X）富足當且僅當每個E-類至多含2個元素或至多有一個非單點集E-類.

2? 主要結果

本節首先給出半群TE（X）上格林關系和格林*-關系相容的充要條件，然后刻畫半群TE（X）的左正則性、右正則性和完全正則性，最后給出冪等元、正則元和富足元構成子半群的等價刻畫.

命題1? 對半群TE（X），下列結論等價：

（1）L左相容；

（2）H左相容；

（3）X=1；

（4）L*左相容；

（5）H*左相容.

證明? （1）（2）.由H=L∩R且R總是左相容關系知此時H左相容.

（2）（3）和（5）（3）.假設（3）不成立，則X≥2.若E=εX，則由引理4知TE（X）=T（X）.取a，b∈X并定義α，β，γ∈T（X）如下：

xα=a， x=a，b， x≠a;

xβ=b， x=a，a， x≠a;

xγ=a， x∈X.

則Xα=Xβ且Kerα=Kerβ，于是由引理1知：在T（X）中有（α，β）∈HH*.然而Xγα={a}≠=Xγβ，從而由引理1知，在T（X）中有（γα，γβ）H.由于T（X）正則，故H=H*.這說明H和H*兩者都不左相容.

若E≠εX，則存在A∈X/E使得A≥2.取a，b∈A，并且定義α，β，γ∈T（X） 如下：

xα=a， x=a，b， x≠a;

xβ=b， x=a，a， x≠a;

xγ=a， x∈X.

則α，β，γ∈TE（X），Xα=Xβ，Kerα=Kerβ，E（α）={X}=E（β），且對任意B∈X/E，有BαAβ，BβAα.

由引理2知（α，β）∈HH*.然而Xγα={a}≠=Xγβ，因此由引理5知（γα，γβ）H*，這說明H和H*兩者都不左相容.

（4）（5）.由H*=L*∩R*且R*總是左相容關系知此時H*左相容.

（3）（4）和（3）（1）.顯然.? 】

命題2? 對半群TE（X），下列結論等價：

（1）R右相容；

（2）H右相容；

（3）X≤2；

（4）R*右相容；

（5）H*右相容.

證明? （1）（2）.由H=L∩R且L總是右相容關系知，此時H右相容.

（2）（3）和（5）（3）.假設（3）不成立，則X≥3.若E=εX或E=ωX，則據引理4可知TE（X）=T（X）.取a，b，c∈X并定義α，β，γ∈T（X）如下：

xα=b， x=a，c， x=b，a， x=c，x， x≠a，b，c;

xβ=a， x=a，c， x=bb， x=c，x， x≠a，b，c;

xγ=c， x=b，a， x≠b.

則Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.由引理1知，在T（X）中（α，β）∈HH*.然而

xαγ=c， x=a，a， x≠a;

xβγ=c， x=c，a， x≠c.

注意到

（b，c）∈Ker（αγ）， （b，c）Ker（βγ），

所以Kerαγ≠Kerβγ.由引理1知在T（X）中有（αγ，βγ）H.由于T（X）正則，故H=H*.這說明H和H*都不右相容.

若E≠εX且E≠ωX，則存在兩個不同的E-類A，B使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，定義α，β，γ∈T（X）如下：

xα=a2， x=a1，a1， x∈A＼{a1}，b， xA;

xβ=a1， x=a1，a2， x∈A＼{a1}，b， xA;

xγ=x， x∈A，a2， xA.

則α，β，γ∈TE（X）.易證

Xα=Xβ， Kerα=Kerβ，

E（α）={A，X＼A}=E（β），

且對任意C∈X/E，有CαCβ，CβCα.由引理2知（α，β）∈HH* ，然而

a2αγ=a1γ=a1≠a2=bγ=bαγ，

a2βγ=a2γ=a2=bγ=bβγ，

這表明Kerαγ≠Kerβγ.由引理5知（αγ，βγ）H*.這說明H和H*不右相容.

（4）（5）.由H*=L*∩R*且L*總是右相容關系知此時H*右相容.

（3）（4）和（3）（1）.若X=1，則結論成立.下設X=2，此時有E=εX或E=ωX，因此TE（X）=T（X）.由T（X）正則知R=R*.設X={a，b}，并記

α=abaa， β=abbb，

γ=abab， δ=abba，

則Kerα=Kerβ，Kerγ=Kerδ.由引理1知T（X）的R-類有{α，β}和{γ，δ}.由事實

αα=α， βα=α， αβ=β， ββ=β，

αγ=α， βγ=β， αδ=β， βδ=α，

γα=α， δα=α， γβ=β， δβ=β，

γγ=γ， δγ=δ， γδ=δ， δδ=γ

可知R和R*都相容.? 】

命題3? 在TX（X）中，L=L*當且僅當E=εX或E=ωX.

證明? 若L=L*，則由引理6（1）知，每個L*-類都包含冪等元，從而每個L-類都包含冪等元，故TE（X）正則.由引理4知E=εX或E=ωX.反之，若E=εX或E=ωX，則由引理4知TE（X）正則，從而L=L*.? 】

命題4? 在TE（X）中，R=R*當且僅當E=εX或E=ωX.

證明? 若E=εX或E=ωX，則由引理4知TE（X）正則，從而R=R*.反之，若R=R*，E≠εX且E≠ωX，則存在兩個不同的E-類A，B，使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，定義α，β∈T（X）如下：

xα=a1， x∈A，b， x∈X＼A;

xβ=a2， x∈A，a1， x∈X＼A.

易證α，β∈TE（X）且Kerα=Kerβ，由引理5（2）知（α，β）∈R*.但由

E（α）={A，X＼A}和E（β）={X）知E（α）≠E（β）.由引理2得（α，β）R.這是一個矛盾.? 】

命題5? 在TE（X）中，H=H*當且僅當下列條件之一成立：

（1）E=εX；

（2）E=ωX；

（3）X恰含有2個E-類且每個E-類中至多含有兩個元素.

證明? 先證必要性.設H=H*，若條件（1）～（3）不成立，則有以下兩種情況：

（i）X/E=2且存在某個E-類A使得A≥3.設X/E={A，B}并取a1，a2，a3∈A，b∈B，定義α，β∈T（X）如下：

xα=a2， x=a1，a3， x∈A＼{a1}，a1， x∈B;

xβ=a3， x=a1，a1， x∈A＼{a1}，a2， x∈B.

則α，β∈TE（X）且Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.由引理5（3）知（α，β）∈H*.又因為

Aα={a2，a3}， Aβ={a3，a1}， Bβ={a2}，

故不存在C∈X/E使得AαCβ.從而由引理2知（α，β）H.這說明H≠H*.矛盾.

（ii）X/E≥3且存在某個E-類A，使得A≥2.取B，C∈X/E，a1，a2∈A，b∈B，c∈C，定義α，β∈T（X）如下：

xα=a1， x∈A，a2， x∈B，b， x∈X＼（A∪B）;

xβ=b， x∈A，a1， x∈B，a2， x∈X＼（A∪B）.

則α，β∈TE（X）且Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.由引理5知（α，β）∈H*.但

E（α）={A∪B，X＼（A∪B）}≠

{A，X＼A}=E（β）.

由引理2知（α，β）H.矛盾.

再證充分性.若條件（1）或（2）成立，則由引理4知TE（X）正則，從而H=H*.若條件（3）成立，則可設X/E={A，B}，其中A，B≤2.由于HH*，故只需證明H*H.任取α，β∈TE（X）.設（α，β）∈H*，則由引理5知Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.由于X/E={A，B}，故E（α）={X}或E（α）={A，B）.

（i）E（α）={X}.此時，存在C∈X/E使得Cα-1=X.故Xβ=XαC，于是X=Cβ-1，從而E（β）={X}=E（α）.設D∈X/E.若Dα=1，不妨記Dα={u}，則u∈Xα=Xβ，從而存在x∈X使得xβ=u.設x∈M，M∈X/E，則Dα={u}Mβ.若Dα=2，則由D≤2知D=2.記D={a1，a2}和a1α=u1，a2α=u2，其中u1≠u2.又Kerα=Kerβ，故a1β≠a2β.注意到

Dβ={a1β，a2β}Xβ=Xα

CXαDα={u1，u2}

及C至多有兩個元素這一事實可知Dα=Dβ.

（ii）E{α）={A，B}.設

A=Pα-1，B=Qα-1，P，Q∈X/E，P≠Q，

則AαP，BαQ.由

Aα∪Bα=Xα=Xβ=Aβ∪Bβ

知AβP，BβQ或AβQ，BβP.

這表明E（β）={P，Q}={A，B}=E（α）.

由Aα=Xα∩P=Xβ∩P=（Aβ∪Bβ）∩P

知，Aα等于Aβ或Bβ.類似可知Bα也等于Aβ或Bβ.

上述討論證明了Xα=Xβ，Kerα=Kerβ，E（α）=E（β），且對任意U∈X/E，都有V∈X/E使得UαVβ.對偶可證，對任意U∈X/E，都有V∈X/E使得UβVα.由引理2知（α，β）∈H.這就證明了H=H*.? 】

稱半群S左正則（右正則， 完全正則），若對任意a∈S，有aLa2（aRa2，aHa2）.

由文獻［9］定理4.4.3可得下列結果：設S是正則半群，則S左正則當且僅當S右正則當且僅當S完全正則.

命題6? 對半群TE（X），下列結論等價：

（1）TE（X）左正則；

（2）TE（X）右正則；

（3）TE（X）完全正則；

（4）X≤2.

證明? （1）（4）， （2）（4）， （3）（4）.設X≥3.若E=εX或E=ωX，則由引理4可知TE（X）=T（X）.取a，b，c∈X并定義α∈T（X）如下：

xα=b， x=a，c， x≠a，

則Xα={b，c}，但是Xα2={c}，于是Xα≠Xα2.由引理1知（α，α2）L，故TE（X）不是左正則.又因為（a，b）Kerα，而（a，b）∈Kerα2，這表明Kerα≠Kerα2.由引理1知（α，α2）R且（α，α2）H.這說明TE（X）既不右正則也不完全正則.

設E≠εX且E≠ωX.此時存在兩個不同的E-類A，B使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，并定義α∈T（X）如下：

xα=a1， x∈A，a2， xA，

則α∈TE（X）且Xα={a1，a2}，但是Xα2={a1}，于是Xα≠Xα2.由引理2知（α，α2）L，這說明TE（X）不是左正則.又因為（a2，b）Kerα，而（a2，b）∈Kerα2，這表明Kerα≠Kerα2.由引理2知（α，α2）R且（α，α2）H.故TE（X）既不右正則也不完全正則.

（4）（1），（2）和（3）.若X=1，則（1）～（3）顯然成立.若X=2，則E=εX或E=ωX.由引理4知TE（X）=T（X）.設X={a，b}且α∈TE（X）.設Xα≠Xα2，則由Xα2XαX={a，b}知Xα2=1且Xα={a，b}.于是存在x，y∈X使得xα=a，yα=b，從而Xα2={a，b}，矛盾.這說明Xα=Xα2.故由引理1知（α，α2）∈L，即TE（X）左正則.據事實T（X）正則知TE（X）右正則且完全正則.? 】

最后給出TE（X）中冪等元、正則元和富足元形成子半群的充分必要條件.

命題7? TE（X）中冪等元形成子半群當且僅當X≤2.

證明? 若X=1，則TE（X）中冪等元顯然形成子半群.若X=2，則E=εX或E=ωX，由引理4知TE（X）=T（X）.設X={a，b}并記

α=abaa，

β=abbb，

γ=abab，

δ=abba，

則T（X）={α，β，γ，δ}且其冪等元集為E（T（X））={α，β，γ}.易證E（T（X））形成子半群.

設X≥3.若E=εX或E=ωX，則由引理4知TE（X）=T（X）.取a，b，c∈X并定義e，f∈T（X）如下：

xe=a， x=a，b， x≠a;

xf=b， x=b，c， x≠b.

則e2=e，f2=f.由a（ef）2=cef=b≠c=aef知ef≠（ef）2.若E≠εX且E≠ωX，則存在兩個不同的E-類A，B使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，定義e，f∈T（X）如下：

xe=a2， x∈A，b， xA;

xf=a2， x=a2，a1， x∈X＼{a2}.

則e，f∈TE（X）且e2=e，f2=f.于是由b（ef）2=a1ef=a2≠a1=bef知ef≠（ef）2.? 】

命題8? TE（X）的正則元形成子半群當且僅當E=εX或E=ωX.

證明? 若E=εX或E=ωX，則由引理4知，TE（X）中所有元素均正則.此時，TE（X）的正則元集顯然形成子半群.若E≠εX且E≠ωX，則存在兩個不同的E-類A，B使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，并定義α，β∈T（X）如下：

xα=a1， x∈A，x， x∈X＼A;

xβ=a1， x=a1，a2， x∈（A＼{a1}）∪B，x， x∈X＼（A∪B）.

則α，β∈TE（X）且

xαβ=a1， x∈A，a2， x∈B，x， x∈X＼（A∪B）.

注意到A∩Xα={a1}=Aα，A∩Xβ={a1，a2}=Aβ，則由引理3知α，β正則.因為A∩Xαβ={a1，a2}，故對任意C∈X/E，A∩Xαβ不包含在Cαβ中.再由引理3知αβ不是正則元.? 】

命題9? TE（X）的富足元集形成子半群當且僅當每個E-類至多含2個元素或至多有一個非單點集E-類.

證明? 若所給條件成立，則由引理6（3）知，TE（X）中每一個元素均富足，此時TE（X）中的富足元當然形成子半群.若所給條件均不成立，則存在兩個E-類A，B使得A≥3，B≥2.取a1，a2，a3∈A，b1，b2∈B，并定義α，β∈T（X）如下：

xα=a1， x=a1，a2， x∈A＼{a1}，x， x∈X＼A;

xβ=a2， x=b1，a3， x∈B＼{b1}，x， x∈X＼B.

容易看出α，β∈TE（X）且α2=α，β2=β.于是α，β都正則，從而α，β都是富足元.然而，由于

xαβ=a1， x=a1，a2， x∈（A＼{a1}）∪{b1}，a3， x∈B＼{b1}，x， x∈X＼（A∪B），

故αβ∈TE（X）且所有Eαβ-類是C和F=A∪B，其中C∈（X/E）＼{A，B}.另外，F恰含3個Kerα-類：K1={a1}，K2=（A＼{a1}）∪{b1}，K3=B＼{b1}.容易驗證，對任意的D∈X/E，都存在某個Ki，使得D∩Ki=.由引理6（2）知αβ不是富足元.這說明TE（X）的富足元集不能形成子半群.? 】

參考文獻：

［1］? PEI Hui-sheng.Equivalences，α-semigroups and α-congruences［J］.Semigroup Forum，1994，49（1）：49.

［2］? PEI Hui-sheng.Regularity and Greens relations for semigroups of transformations that preserve an equivalence［J］.Commun Algebra，2005，33（1）：109.

［3］? PEI Hui-sheng，DENG Wei-na.A note on Greens relations in the semigroups［J］.Semigroup Forum，2009，79（1）：210.

［4］? PEI Hui-sheng，ZHOU Hui-juan.Abundant semigroups of transformations preserving an equivalence relation［J］.Algebra Colloq，2011，18（1）：77.

［5］? SARKAR M，SINGH S N.On unit-regular elements in various monoids of transformations［J］.2021，arXiv：2102.10282v2.

［6］? SARKAR M，SINGH S N.Regular，unit-regular and idempotent elements of semigroups of transformations that preserve a partition［J］.Semigroup Forum，2022，104（1）：148.

［7］? SUN Lei.Compatibility on naturally ordered transformation semigroups preserving an equivalence［J］.Semigroup Forum，2019，98（1）：75.

［8］? SUN Lei，PEI Hui-sheng，CHENG Zheng-xing.Naturally ordered transformation semigroups preserving an equivalence［J］.Bull Aust Math Soc，2008，78（1）：117.

［9］? CLIFFORD A H，PRESTON G B.The Algebraic Theory of Semigroups.Volume I［M］.Mathematical Surveys and Monographs，vol 7.Providence RI：American Mathematical Society，1961.

（責任編輯? 馬宇鴻）