賀凱麗,趙華新,劉娟娟
(延安大學 數學與計算機科學學院,陜西 延安 716000)
算子半群的逼近是算子半群理論研究的重要內容,在物理學、微分方程和非線性方程中都有著廣泛的應用,許多學者對此作了大量研究工作。文獻[1-2]討論了C半群和指數有界C半群的逼近;文獻[3-4]研究了雙參數C半群和指數有界雙參數C半群的逼近等性質;文獻[5]討論了α次積分C半群的Trotter-Kato 逼近;文獻[6-7]討論了雙連續C半群的逼近和概率逼近問題;文獻[8-9]進一步探討了雙連續α次積分C半群的逼近和概率逼近問題;文獻[10-11]討論了n階α次積分C半群和雙參數n階α次積分C半群的逼近;文獻[12-13]給出了雙連續n次積分C半群的定義及其性質;文獻[14]研究了指數有界雙連續n階α次積分C半群的定義及其性質;文獻[15]討論了指數有界雙連續n階α次積分C半群的生成定理。對于指數有界雙連續n階α次積分C半群的逼近未見研究。
本文在上述文獻的基礎上,給出指數有界雙連續n階α次積分C半群的逼近的結果并進行證明,從而進一步豐富了雙連續n階α次積分C半群的相關理論。
本文假設X為無限維的復Banach 空間,B(X)是X上的有界線性算子全體所組成的代數,D(A)為線性算子A的定義域,X′是X的共軛空間,τ是X上的一個局部凸拓撲并具有以下性質:
1)τ-拓撲比‖? ‖-拓撲粗且是Hausdorff 拓撲;
2)空間(X,τ)在‖? ‖-有界集上序列完備,即對每個‖? ‖-有界的柯西列在(X,τ)中收斂。
設T(t) ∈B(X),n∈N,α≥0,
T=0當且僅當存在n≥0使JnT(t)=0,t≥0。
定義3[12]設T(t)∈B(X),若存在M≥0,ω∈R使成立,則算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數有界的。
定義4[14]設C∈B(X)為單射,n∈N,α≥0,若:
2)存在閉線性算子A,滿足:
3){T(t)}t≥0τ-連續,即對每個x∈X,映射t→T(t)xτ-連續;
4){T(t)}t≥0等度雙連續;
5)存在M≥0,ω∈R,‖T(t) ‖≤Meωt,?t≥0。
則算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數有界雙連續n階α次積分C半群。其中A為其次生成元,把Gτ(M,ω,C)記為X內的所有指數有界雙連續n階α次積分C半群構成的集合。
定義5[14]設{T(t)}t≥0是由A次生成的指數有界雙連續n階α次積分C半群,若Ra(λ)C=Ra(λ,A)=λn-1(λn-A)-1C,有定義在Banach空間X上的有界逆算子,則稱λ為指數有界雙連續n階α次積分C半群的次生成元的C正則點,Ra(λ)C是A的C預解式。
引理1[15]令n∈N,α≥0,C∈B(X)是單射,A:D(A)?X→X為閉線性算子并滿足A?C-1AC,{T(t)}t≥0?B(X)τ-連續并滿足:
‖T(t) ‖≤Meωt,?t≥0。
則有下式成立:
引理2[14]令雙連續n階α次積分C半 群{T(t)}t≥0的次生成元為A,并且{T(t)}t≥0∈Gτ(M,ω,C),則對?x∈X,有
而且兩式的右端積分在關于t的有限范圍內是一致收斂的。
定 理 1設A,An∈Gτ(M,ω,C),{T(t)}t≥0,{Tn(t)}t≥0分別是由A、An次生成的指數有界雙連續n階α次積分C半群,可得下列命題等價:
(a)若對?x∈X,Reλ>ω,則有
Ra(λ,An)x→Ra(λ,A)x(n→∞);
(b)若對?x∈X,t≥0,則有
Tn(t)x→T(t)x(n→∞)。
證明(a) ?(b):
對?x∈X,在固定區間t∈[0,t]上有
1)關于D1:
因為‖Tn(t) ‖≤Meωt≤MeωT,
所以由命題(a)及范數的性質可得
即D1→0。
2)關于D3:
由于對?x∈X,
Ra(λ,A)x→Ra(λ,An)x(n→∞),
則T(t)x∈{T(t)x:0 ≤t≤T},有
Ra(λ,A)T(t)x→Ra(λ,An)T(t)x(n→∞),即D3→0。
3)關于D2:
由引理2可得形
算子半群理論所研究的內容十分豐富,但關于指數有界雙連續n階α次積分C半群的逼近未見討論。本文在指數有界雙連續n階α次積分C半群的生成和lapace 逆變換的基礎上,給出了指數有界雙連續n階α次積分C半群預解式逼近和半群逼近的等價關系,從而豐富了雙連續n階α次積分C半群的理論。雙連續n階α次積分C半群中還有許多問題值得去研究,接下來可以對以下幾方面進行探索:
1)雙連續n階α次積分C半群的概率逼近;
2)雙連續n階α次積分C半群在高階Cauchy 問題中的應用;
3)雙連續n階α次積分C半群的微積分性質。