小波型框架和小波型Riesz基的一些擾動性質

張 磊，張建平，申 鵬

（延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

1952年，DUFFIN等［1］在研究非調和Fourier級數時引入了Hilbert 空間中框架的概念，然而并沒有引起很大的反響。1986 年，DAUBECHIES 等［2］研究發現利用框架可以將L2(R)中的函數展開成類似標準正交基的級數，并且用框架研究函數時所需的條件要比用標準正交基寬松的多。因此，框架理論才開始蓬勃發展起來。在框架理論研究中，框架擾動是一個活躍的研究方向，它主要研究的是兩個序列，若其中一個是框架，當另外一個序列與這個框架滿足何種“接近”時，該序列也構成一個框架［3-7］。研究某一Hilbert 空間上具有特殊結構形式的框架是框架研究中一種重要的研究類型［8-9］。

小波型框架就是一種具有特殊結構形式的框架，其思想來源于小波理論。在小波理論中，一組基是由Hilbert空間H中的一個可數酉算子族和一個（或有限個）向量構成的。如果U是H上的一個酉算子，Ψ是與之對應的母小波，那么UΨ就是H的一組標準正交基，小波理論中研究的基就是這種形式。SHAMOOSHAK 在文獻［10］中首次給出了小波型框架的定義，解釋了其理論來源和構造結構并且探討了其幾個基本性質。文獻［11］從小波型框架向量的角度出發，分兩個方面對小波型框架的擾動進行了探討，同時探討了小波型框架中相似、補集、強補集、不相交、強不相交等的關系，推廣了Hilbert 空間中關于具有特殊結構形式框架的擾動性質研究的已有結果。

本文在已有的框架擾動定理的基礎上，從預框架算子的角度去刻畫框架的擾動，研究了Hilbert 空間中具有特殊結構形式的小波型框架和小波型Riesz基的一些擾動性質，分別給出了小波型框架和小波型Riesz 基的2 系數以及3 系數擾動的新結果。從而推廣了Hilbert 空間中關于框架擾動性質研究的已有結論。

1 基本概念及引理

本文中，J表示可數集或有限集，H表示可分的Hilbert 空間表示在H中的內積，由內積定義其上的范數為

定義1.1［12］設x={xj：j∈J}?H，如果存在常數A，B>0，使得對于任意的x∈H，有

則稱x={xj：j∈J}是H中的框架，這里A、B分別稱為框架x={xj：j∈J}的框架下界和上界。特別的，若A=B，則稱x={xj：j∈J}是H中的緊框架。

若式（1）只有右半不等式成立，則稱x={xj：j∈J}是H中的Bessel序列。

定義1.2［12］設{xj：j∈J}是H中的點列，{ej：j∈J}是H中的規范正交基。若存在H中的線性有界可逆算子U，使得對于任意的j∈J，都有xj=Uej，則稱{xj：j∈J}是H中的Riesz基。

定義1.3［11］設U={fj：j∈J}是H中的有界算子列，h∈H，那么

1）如果Uh={fjh：j∈J}是H中的框架，且界為A、B，則稱({fj：j∈J}，h)是H中的小波型框架，且界為A、B。

2）如果{fj：j∈J}是一列可逆算子且Uh={fjh：j∈J}是H中的緊框架，則稱({fj：j∈J}，h)是H中的小波型緊框架。

3）如果{fj：j∈J}是一列可逆算子且Uh={fjh：j∈J}是H中的規范緊框架，則稱({fj：j∈J}，h)是H中的小波型規范緊框架。

4）如果{fj：j∈J}是一列可逆算子且Uh={fjh：j∈J}是H中的規范正交基（Riesz 基），則稱({fj：j∈J}，h)是H中的小波型規范正交基（Riesz基）。

引理1.1［13-14］設U：X→X是一個線性算子。若存在常數λ1，λ2∈ [0，1) 使得

則U是線性有界可逆算子，且對任意的x∈X有

框架算子有以下引理1.2所描述的性質。

引理1.2［15］設{xj：j∈J}是H中界為A、B的框架，算子是框架{xj：j∈J}的框架算子，那么

1）S是線性有界正定算子；

2）{S-1x：j∈J}是H中的框架，界為A-1、B-1，且它的框架算子是S-1；

3）對任意的x∈H，

且級數無條件收斂。

在文獻［12］第七章第一節中給出了一個框架是Riesz基的等價條件。

引理1.3令{xj：j∈J}是H的一個框架。則以下條件等價：

1）{xj：j∈J}是H的一個Riesz基；

2 主要結果

定理2.1設f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型框架，g={gjh：j∈J}是H中 的Bessel序列，Tf、Tg分別為f、g的預框架算子。若存在常數λ，μ≥0，使 得，并且對于任意的，有

證明由f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型框架，Tf是其預框架算子，得

下面證明g={gjh：j∈J}的框架下界。由于f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型框架，那么其框架算子有界可逆，而=是f=({fj：j∈J}，h)的對偶框架，并且其框架上界為考慮映射：

那么對于任意的x∈H，有

又因為Tf為其預框架算子，所以

再根據式（9），有

推論2.2 的證明過程可直接利用三角不等式和框架界以及Bessel序列邊界的性質進行證明。

對比兩個推論，可以發現，在推論2.2 中取λ=-1，便得到推論2.1。

定理2.2設f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型框架，g={gjh：j∈J}是H中的Bessel 序列，Tf、Tg分別為f、g的預框架算子。若存在常數λ1，λ2，μ≥0，使得，并且對于任意的，有

小波型Riesz 基與小波型框架的擾動有著類似的擾動性質：

定理2.3設f=({fj：j∈J}，h)是H中界為A、B的小波型Riesz基，g={gjh：j∈J}是H中的Bessel序列，Tf、Tg分別為f、g的預框架算子。若存在常數λ，μ≥0，使得λ+1，并且對于任意的

證明對于上界的證明，可直接參照定理2.1證明，主要對下界進行證明。因為f是H中的Riesz基，且界為A，B，則對于任意的{cj}j∈J∈l2(J)，有

證明對于上界的證明，可直接參照定理2.2證明，主要對下界進行證明。因為f是H中的Riesz基，且界為A、B，則對于任意的，有