考慮干縮裂隙動態變化的優勢流入滲模型

程 實,陳 瑾,羅 易

(1.湖北經濟學院工程管理系,湖北 武漢 430074;2.湖北經濟學院碳排放權交易省部共建協同創新中心,湖北 武漢 430074;3.湖北省地質實驗測試中心,湖北 武漢 430074; 4.中國地質大學(武漢),湖北 武漢 430074)

自然界中,土體因失水收縮產生表面裂縫的現象十分普遍,對于含親水性礦物(伊利石、蒙脫石)較多的裂土,這種現象尤為突出[1-3]。干縮裂隙的產生為雨水入滲提供優勢通道,導致大量雨水繞過土體基質進入裂隙底部,形成優勢流[4-5]。優勢流使雨水快速入滲至土體深部,是造成地下水污染[6]、水資源流失[7]及邊坡失穩破壞[8-9]的重要影響因素。

為模擬雨水在裂土中的運移過程,Chen等[10-11]基于雙孔隙域理論建立了優勢流入滲模型。此類模型將土體孔隙分為大孔隙(常指植物根孔、生物孔洞及天然裂縫,本文特指裂隙域)與小孔隙域(常指土體基質域),認為入滲只發生在大孔隙域內(如干縮裂隙)。然后,諸多學者利用Richard方程[12]或Green-Ampt入滲模型[13]、Poiseuille方程[14]、運動波方程[13]等描述大孔隙域內的水體流動特征。然而,大量試驗表明[7,15-17],雨水在裂土中的入滲同時發生在基質域與裂隙域內,雨水只在裂隙域內入滲的假設與真實情況不符。為此,Gerke等[18]基于Richard方程提出了雙重滲透模型,可模擬雨水在大孔隙與小孔隙域內的入滲過程。該模型因具有明確的物理意義得到了廣泛使用。Larsbo等[19-20]將其改進后用于模擬裂土的水分運移過程。其中大多數研究均假定土體基質域與裂隙域的孔隙體積及孔隙分布特征保持不變。然而,裂土中的孔隙系統往往隨著含水率變化而動態變化,導致雨水入滲過程十分復雜。例如,干縮裂隙在降雨入滲過程中隨含水率的增加會逐漸閉合,Favre等[21-22]認為裂隙閉合會顯著降低土體滲透性,甚至使優勢流現象消失。因此,靜態的雙域入滲模型難以用于預測干縮裂隙中產生的優勢流。Liu等[23]將兩域的孔隙體積變化作為土體收縮指標的函數,考慮了裂隙動態變化對入滲過程的影響,但其提出的函數關系不僅缺乏物理一致性,還包含大量難以確定的參數,導致模型存在等效性問題。此外,上述模型均基于Richard方程,存在較為明顯的數值收斂問題。

Green-Ampt入滲模型因其物理意義明確、形式簡單而被廣泛應用于一維均質入滲問題的研究中。該模型可預測積水時間、累積入滲量及濕潤鋒深度等水文參數,對研究地表徑流、評價灌溉效率及邊坡穩定性具有重要意義。然而,目前僅有少量學者將Green-Ampt入滲模型[24-26]用于模擬裂土中的優勢流,但同樣未考慮干縮裂隙的動態變化。Stewart等[26]雖然考慮了干縮裂隙的動態變化,但其參數過多且僅適用于裂隙發育程度較低的情況。此外,不論是基于Richard方程還是Green-Ampt入滲模型,在模擬裂土中的優勢流時,均將裂隙域作為透水材料處理,賦予其水力學參數,如滲透系數或單位水力梯度。然而,裂隙的水力學參數不能通過試驗測得,其水力梯度也常遠大于單位梯度,經驗賦值或反算法不僅帶來了誤差,還嚴重削弱了模型的預測能力。

為此,本文基于雙孔隙域入滲理論,結合Green-Ampt入滲模型,提出了可考慮干縮裂隙動態變化的優勢流入滲模型,探討了降雨強度、裂隙初始面積率及裂隙深度對土體兩域積水時間、優勢流入滲量及入滲深度的影響規律。

1 優勢流概念模型

如圖1(a)(b)所示(圖中β為裂隙面積率),將土體中多條干縮裂隙按照等效面積與體積視為單個裂隙域,裂隙兩側和底部的土體基質分別劃分為L基質域、B基質域。降雨過程中(定雨強),由于土體基質吸水膨脹,裂隙域與B基質域的體積將會減小。本文假設:①裂隙深度不變,土體表面的沉降忽略不計,則各域的體積與其表面積成比例變化,如圖1(c)所示;②雨水僅在豎直方向運移,不考慮通過裂隙壁在L基質域與裂隙域之間的水分交換;③土體基質域的飽和滲透系數遠小于裂隙域,則降雨時基質域表面將先于裂隙域積水(裂隙域積水指裂隙空間被雨水填滿)。將基質域與裂隙域的積水時間分別表示為tp,m與tp,c。當降雨強度大于基質域飽和滲透系數時,考慮上述假設可將入滲過程分為3個階段:

圖1 裂土優勢流建模過程示意圖Fig.1 Modeling process of preferential flow in cracked soil

a.基質域積水前,t

b.裂隙域積水前,基質域積水后,tp,m≤t

c.裂隙域積水后,t≥tp,c。裂隙域被雨水填滿后,B基質域內的入滲由定水頭邊界條件下的Green-Ampt模型求解。

此外,基于大量土體干縮裂隙發展演化規律室內試驗成果,在上述過程中引入裂隙面積率、質量含水率與時間之間的經驗函數,考慮了干縮裂隙動態變化對入滲過程的影響。

2 模型控制方程

2.1 雙孔隙域Green-Ampt入滲模型

裂土的總入滲速率定義為[18]

(1)

式中:itotal為總入滲速率;Q為水通量,下標m和c分別代表基質域與裂隙域;A為表面積;i為入滲率;β為裂隙域的體積權重系數,本文中與裂隙面積率相等。

將基質域內的入滲視為活塞流(Green-Ampt入滲模型中的假定)并對式(1)應用Darcy定律可得:

(2)

式中:Ktotal為裂土的整體飽和滲透系數;dψ/dz為豎向水力梯度;Km為土體基質的飽和滲透系數(包括L與B基質域)。

需要說明的是,以往的雙孔隙域滲透模型也將式(2)右端第2項裂隙域中的入滲過程視為活塞流,然后為裂隙賦水力學參數并應用Darcy定律?？紤]裂隙為容水空間而非透水性材料,Darcy定律不適用于雨水在裂隙中的運移過程,因此本文式(2)中只給出裂隙域的滲透速率廣義表達式。

根據Green-Ampt入滲方程解,可得水力梯度的表達式為

(3)

其中zw=I/nn=θs-θ0

式中:h0為土體表面積水深度;sf為濕潤鋒處土體基質吸力水頭;zw為濕潤鋒深度;I為累積入滲量;n為容水孔隙體積率;θs、θ0分別為土體的飽和與初始體積含水率。

根據累積入滲量與入滲速率的導數關系,聯立式(2)與式(3)得濕潤等深度與時間的關系:

(4)

裂隙面積率變化是本文考慮干縮裂隙動態變化的核心思想。大量室內外裂隙發展演化規律試驗結果[8-9]表明干縮裂隙形成時,裂隙面積率與表層土體質量含水率具有良好的線性關系,即:

β=aw+b

(5)

式中:a、b為擬合參數,可通過裂隙面積率與含水率曲線得到[7];w為質量含水率。當認為土體脹縮為一可逆過程時,式(5)可用于描述降雨過程中裂隙的閉合規律。

降雨過程中w隨時間的變化曲線可通過現場實測得到。為便于后續模型的敏感性分析,本文基于室內不同降雨強度下得到的土柱表層質量含水率測試結果,采用Boltzmann生長模型描述含水率增長過程:

(6)

式中:ws為土體飽和質量含水率;w0為初始質量含水率;tmid為含水率達到w=(w0+wmax)/2的時間;tcon為擬合參數。需要說明的是,此處選用Boltzmann生長模型不僅是因為其與測試數據的擬合程度較高,還考慮到該模型有較為清楚的物理意義,與定雨強條件下表層土體質量含水率的增長過程相符。

將式(6)代入式(5)可得:

(7)

2.2 分階段基質域與裂隙域入滲方程

2.2.1 入滲方程(t

當t

(8)

(9)

式中:r為降雨強度;AL-m為L基質域表面積。

各域的累積入滲量為

(10)

(11)

2.2.2 入滲方程(tp,m≤t

當tp,m≤t

(12)

式中:λ為常數,常取為2/3;sf,m為土體基質域中濕潤鋒處的基質吸力水頭;nm為基質域的容水孔隙體積率。

令C=Km/nmsf,m,聯立式(8)與式(12)可得tp,m的隱式表達式:

(13)

tp,m確定后,L基質域內的累積入滲量可表示為

(14)

將式(10)、式(12)代入式(14)可得:

(15)

對于裂隙域,在其未被雨水填滿之前,入滲速率可由降雨強度與L基質域的入滲速率之差求得:

ic=r-iL-m

(16)

相應的裂隙域累積入滲量為

(17)

為確定裂隙域的積水時間,現對B基質域的雨水入滲過程進行分析。B基質域在積水前,其入滲速率和入滲量與裂隙域相等,仍可由式(9)(11)求得。當積水開始出現在B基質域表面時,由式(12)可得其入滲速率為

(18)

式中iB-m為B基質域入滲速率。

聯立式(9)與式(18),可得B基質域積水時間tp,B-m的隱式表達式:

(19)

顯然,B基質域與L基質域的積水時間相等。

B基質域表面積水后(裂隙域積水前),其邊界條件由流量邊界轉為變水頭邊界。根據式(3),iB-m可表示為

(20)

式中:hc既為B基質域的表面水頭高度,也為裂隙內的水位高度;IB-m為B基質域累積入滲量。

根據累積入滲量與入滲速率的導數關系,IB-m的隱式微分表達式為

(21)

將式(7)、式(20)表達式代入式(21),可得IB-m關于時間的常系數隱式微分方程:

(22)

2.2.3 入滲方程(t≥tp,c)

當t≥tp,c時,首先確定裂隙域積水時間。定義有效裂隙深度Dc表示裂隙有限的容水空間,當裂隙內水位深度達到有效裂隙深度時,裂隙域即產生積水,由hc表達式可得:

Ic-IB-m=Dc

(23)

式(23)可通過式(22)得到的Ic、IB-m的時間變化曲線求解。

然后,裂隙域積水后,整個土體表面均開始產生積水,在土層緩傾斜的條件下,將產生徑流,此時L基質域仍將處于弱積水狀態,其入滲速率與累積入滲量仍可按式(12)、式(14)計算。

B基質域在裂隙域積水后將處于定水頭邊界條件直至降雨停止,其累積入滲量的隱式微分表達式為

(24)

因此,通過式(10)(11)(15)(17)(22)(24),可求得降雨期間各域任一時刻的累積入滲量。最后,各域的濕潤鋒深度按照容水孔隙空間大小可計算為

(25)

zc=Dc-hc

(26)

(27)

式中:zL-m、zB-m、zc分別為L基質域、B基質域及裂隙域的濕潤鋒深度;Sm,a為L基質域面積率的平均值;Sc,a為裂隙域面積率的平均值;θs,m、θ0,m分別為基質域的飽和體積含水率與初始體積含水率。

總體說來,本文所提模型主要包括以下參數:a、b、w0、ws、tmid、tcon、r、Km、nm、Dc、sf,m、λ。除了最后2個參數,其他參數均可通過試驗獲得,具有較高的實用性。其中,sf,m可由Morel-Seytoux等[28]提出的預估模型求得。

3 實例模擬驗證

選取文獻[28]邊坡足尺模型試驗用土作為模擬對象,土體基本物理及水力學參數:相對密度為2.72,液限為35.7%,縮限為8.2%,塑性指數為17.3%,最佳含水率為17%,最大干密度為1.71g/cm3,自由膨脹率為42.5%。土體水力學擬合參數αm為0.002mm-1、mm為0.53,初始體積含水率為20.7%,飽和體積含水率為38.1%,殘余體積含水率為10.1%,飽和滲透系數為8.45×10-3mm/min,nm為0.174,sf,m為173.36mm。土體裂隙率與質量含水率的線性關系式為(土體初始質量含水率為14.7%,飽和質量含水率為27.6%)為

β=-0.0019w+0.0542

(28)

不同降雨強度下的土體入滲試驗測得表層土體(2～5cm)的質量含水率變化曲線及Boltzmann生長模型擬合曲線如圖2所示。隨后開展降雨強度、裂隙初始面積率、裂隙深度變化對雨水入滲過程的影響分析,各工況模擬參數見表1。

表1 不同工況模擬參數Table 1 Simulation parameters of different conditions

圖2 不同降雨強度下質量含水率變化擬合曲線Fig.2 Fitting curves of mass water content under different rainfall intensity

3.1 不同降雨強度的影響

由圖3可知,裂隙域累積入滲量在降雨前期小于L基質域入滲量,隨后超過L基質域并快速增加;隨著降雨過程的進行,L基質域入滲速率降低,累積入滲量增幅逐漸變緩;B基質域累積入滲量較少,后期受裂隙閉合影響較大,累積入滲量增幅減小?？傮w看來,裂隙域最終累積入滲量顯著大于基質域,且隨降雨強度增大而增大,增幅達29.73mm;L基質域的最終累積入滲量也隨降雨強度增大而增大,但其增幅較小,僅為0.28mm;然而,B基質域最終累積入滲量卻隨降雨強度增加而減小,降幅分別為0.09mm及0.16mm。此外,隨降雨強度增大,基質域積水時間與裂隙域入滲量超過基質域入滲量的時間均明顯縮短。

圖3 累積入滲量Fig.3 Cumulative infiltration amount

由圖4可知,L基質域入滲深度隨降雨時間增加增幅逐漸變緩;B基質域入滲深度積水后先陡增,后緩增,最后以近線性方式增加;裂隙域積水水位高度(入滲深度)逐步上漲,并在降雨強度為30mm/h及45mm/h的條件下與L基質域濕潤鋒(入滲深度)相交?？傮w看來,B基質域最終入滲深度遠大于L基質域,并隨降雨強度增大而增大,增幅分別為69mm及124mm;L基質域最終入深深度隨降雨強度增大增幅較小,僅為1.486mm及0.5113mm;裂隙域內最終積水水位高度隨降雨強度而增大,分別為22.02mm、51.76mm及81.65mm,均小于100mm,故裂隙域未達到積水產生的時間。

圖4 入滲深度Fig.4 Infiltration depth

3.2 不同初始裂隙面積率的影響

式(28)表明在初始質量含水率為14.7%時,裂隙面積率為2.63%,在飽和質量含水率為27.6%時,其裂隙面積率為0.176%。保持飽和含水率對應的裂隙率不變,通過改變初始含水率下的裂隙面積率,可模擬土體脹縮能力對降雨入滲的影響。模擬的工況參數見表1,計算結果如圖5所示。

圖5 不同初始裂隙面積率條件下累積入滲量與入滲深度Fig.5 Cumulative infiltration amount and infiltration depth with different initial crack area ratios

由圖5(a)可知,隨著裂隙面積率增大,裂隙域與B基質域的累積入滲量增大,L基質域累積入滲量逐步減小,裂隙域入滲量超過基質域入滲量的時間也逐步縮短。然而,總體看來,不同裂隙面積率下的各域最終入滲量差值相差較小,其中B基質域的變化較裂隙域和L基質域明顯。由圖5(b)可知,隨著裂隙面積率增大,L基質域入滲深度逐漸減小,裂隙域積水水位深度增加,但二者變化均較小。B基質域入滲深度變化較大,主要表現為隨裂隙面積率增大而減小。

3.3 不同裂隙深度的影響

由圖6(a)可知,干縮裂隙深度為50mm時,裂隙域在第76.23分鐘積滿水,由于裂隙域按面積占比計算的降雨強度(18.2×10-3mm/min)大于土體飽和滲透系數(也大于B基質域入滲速率),故裂隙域內累積入滲量、積水水位高度將不再變化,此時B基質域表面由變水頭邊界轉換為定水頭邊界,其最終累積入滲量較裂隙域未積水有所減小;當干縮裂隙深度為100mm及300mm時,裂隙域未積滿水,二者各域累積入滲量變化曲線一致。由圖6(b)可知,隨著干縮裂隙深度增加,裂隙域內的積水水位與L基質域濕潤鋒深度相交的時間延后甚至不相交;B基質域最終入滲深度增加;L基質域入滲深度隨裂隙深度增加無明顯變化。

3.4 討論

3.4.1 干縮裂隙對優勢流入滲的影響

降雨強度增大不僅增加總降雨量,還會顯著縮短裂隙兩側基質域表面積水時間,導致積水更早進入裂隙域,故裂隙域內最終累積入滲量隨降雨強度增大而增大。同時,基質域入滲速率在表面積水后將不再受降雨強度控制,不同降雨強度下其最終入滲量差值主要由積水前雨水完全入滲引起,由于基質域積水時間較短,故不同降雨強度下的最終累積入滲量差值亦較小。值得注意的是,隨降雨強度增大,裂隙面積減小速度加快,裂隙底部基質域在積水前按面積占比所獲得的雨水完全入滲量減少,故其累積入滲量隨降雨強度增大不增反減。此外,由于降雨時裂隙兩側基質域膨脹引起的面積增量遠小于基質域面積,且不同降雨強度下基質域累積入滲量相差較小,故其入滲深度變化曲線較為平滑且變化較小;裂隙域內積水水位深度與其累積入滲量成正比,故其隨降雨強度增加而增加;雖然裂隙底部基質域累積入滲量因裂隙面積的快速減小而減小,但裂隙面積減小不僅使其上部水頭快速增大,還使雨水下滲所要填充的總容水孔隙空間減小,故其下滲深度仍隨降雨強度增大而增加。

裂隙面積率通過影響各域的受水面積及容水孔隙空間進而影響入滲量及入滲深度。當其他參數不變時,較小的裂隙初始面積率會使優勢流入滲量(裂隙域與B基質域入滲量)減小,但卻會引起優勢流入滲深度的增加。例如,當降雨強度為15mm/h,裂隙深度為100mm時,1.43%初始裂隙面積率的優勢流最終入滲深度大于裂隙初始面積率為2.43%與5.43%的入滲深度。上述模擬結果或可解釋在諸多前人的試驗中存在的普遍現象[7,29],即在裂隙或者大孔隙不易被觀察到的土體中,優勢流仍使雨水快速下滲至土體深部。

裂隙深度主要影響裂隙域積水時間、優勢流入滲量及入滲深度。隨裂隙深度增大,其容水空間也逐漸變大,當不限制降雨時長時,裂隙域積水時間會逐漸變長。裂隙域積水后,大量雨水通過徑流流失,使得優勢流入滲量減小,其入滲深度隨之減小。本文的模擬結果表明,土體干縮裂隙產生的優勢流入滲量占總降水量的73.4%～91.4%,優勢流入滲深度為裂隙深度的3.1～7.2倍。

3.4.2 優勢流模型存在的問題

由于本文的優勢流模型是基于Green-Ampt入滲理論發展而來的,故該模型也將水分在土體基質域的運移過程視為活塞流,且濕潤鋒后的土體假設達到完全飽和,這有可能高估基質域內(L基質域和B基質域)的累積入滲量,進而高估了優勢流的入滲深度。此外,雨水進入干縮裂隙時,部分雨水會通過裂隙側壁水平入滲至基質域,但該模型目前的形式中未考慮裂隙側壁的水平入滲,其入滲量可能成為了模型中裂隙域內積水深度hc及B基質域入滲量IB-m的一部分,導致相應計算結果偏大。有學者認為干縮裂隙形成后其側壁會產生顯著的毛細屏障作用[28],水平入滲效應被嚴重削弱,即該部分入滲量對計算結果的影響可能較小,但仍需進一步驗證。

盡管本文所提優勢流模型存在上述問題,但其具有較為明確的物理意義且較好地體現了干縮裂隙對雨水入滲過程的影響。同時,所提優勢流入滲模型將干縮裂隙作為容水空間而非透水性材料,與實際物理過程相符,還可避免為裂隙賦水力學參數帶來的不便與誤差。該模型還可為目前大量應用Green-Amp入滲理論預測邊坡失穩的模型提供新思路。未來對該模型的改進應將裂隙底部的雨水彌散與側壁水平入滲考慮在內。

4 結 論

a.土體干縮裂隙產生的優勢流入滲量占總降水量的73.4%～91.4%,優勢流入滲深度為裂隙深度的3.1～7.2倍。

b.降雨強度增大使基質域積水時間縮短,裂隙閉合速度加快,裂隙兩側基質域及裂隙域內累積入滲量增加,裂隙底部基質域累積入滲量減小,各域入滲深度均增大。

c.干縮裂隙動態變化顯著影響優勢流入滲量與入滲深度。降雨過程中裂隙率減小使優勢流入滲量減小;裂隙初始面積率增大使基質域入滲量及入滲深度減小,優勢流入滲量增大但入滲深度減小;裂隙深度增大主要使優勢流入滲深度增大。

d.模型計算結果可較好地反映干縮裂隙雨水入滲的規律,與前人試驗結果相符。同時,模型將雙孔隙域入滲理論中的裂隙域作為容水空間而非滲透性材料,與實際干縮裂隙入滲過程相符,參數選取簡單快捷。